Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление_эл.учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2015

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

1) график функции выпуклый ( ) при x ( ,0) , график функции вогну-

тый ( ) при x (0, ) ;

2)точек перегиба у графика нет.

Найдите асимптоты графика функции.

Помочь?

Подсказка 6.

IV. Асимптоты графика функции.

1) Если x a –

точка разрыва функции второго рода (бесконечный раз-

рыв), то x a – вертикальная асимптота графика. Следовательно,

x 0

– вертикальная асимптота.

Наклонные асимптоты ищут в виде y kx b :

k lim

f (x)

lim

x e1/ x

lim e1/ x

b lim

f ( x) kx lim xe1/x x

lim x (e1/x 1)

x x

lim x

x 1

x x

т.е. график функции имеет асимптоту y x 1.

Объедините информацию, полученную по каждому блоку исследования

функций, и постройте его график.

…?

101

Подсказка 7.
		y(x)
			e
			1
			0		1			x
							x3
Пример 2. Построить график функции							y x2	1 .
Ответ:
ymax y		3 , ymin y	3 ;	возрастает			при	x ,	3	3, ,
убывает	при	x 3, 1	1,0		0,1	1, 3 ;		график	вогнутый		при
x 1,0	1, , выпуклый при			x , 1			0,1 , x 0 – точка перегиба;
асимптоты: x 1 и x 1 – вертикальные, y x – наклонная.
										Помочь?
Подсказка 1. Смотрите подсказку 1 из примера 1.

Напомнить?

Подсказка 2. Смотрите подсказку 2 из примера 1.

102

Не получается?

Подсказка 3.

I. Общие исследования:

1) область определения функции: D[ y] , 1

1,1

1, ;

2) x1 1 и x2

1 – точки разрыва функции.

Выясним характер разрыва функции в этих точках, вычислив односто-

ронние пределы:

( 1 0)3

lim

( 2 0)( 0)

x 1 0 x2

x 1 0

( x 1)( x 1)

(1 0)3

lim

( 0)(2

x 1 0

( x 1)( x 1)

т. е. x1 1 и x2 1 – точки разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

( x)3

3) Так как y( x)

y(x) , то заданная функция явля-

( x)2 1

x2 1

ется нечетной, значит, ее график симметричен относительно начала координат.

Функция непериодическая.

4) Точки пересечения графика функции с осями координат:


	OX y 0 : 0	x3
с осью				x 0 ;
		x2	1
с осью	OY x 0 : y(0)		0		0 , т.е. график функции проходит через

			0 1

начало координат. Других пересечений с осями ОХ и ОУ нет. 5) интервалы знакопостоянства функции:

y(x)	x3
		:
	(x 1)(x 1)

y(x)
	1	0	1	x
		103

т.е. y(x) 0	при x ( 1,0)	(1, ) ,
y(x) 0	при x ( , 1)	(0,1) .

6) поведение функции при x :

lim x3 .

x x2 1

Продолжите исследовать функцию с помощью первой производной.

Как это делать?

Подсказка 4.

II. Исследование функции с помощью первой производной.

	x3			3x2 (x2 1) 2x x3		x4 3x2	x2 (x2 3)
y(x)			y '(x)					.
	x2			(x2	1)2	(x2 1)2	(x2 1)2
		1

Критические точки первого рода: x1 0 , x2,3 3 , x4,5 1.


y (x)
	3	1	0	1	3	x


1) функция возрастает при x ( , 3) (		3, ) , функция убывает

при x ( 3, 1)	( 1,0) (0,1) (1, 3);

2)по первому достаточному признаку экстремума:

при x 3 функция достигает максимума,

ymax y( 3) 323 2,6 ,

при x 3 функция достигает минимума,

104

ymin y(3) 3 23 2,6 .

Исследуйте функцию с помощью второй производной.

Не получается?

Подсказка 5.

III. Исследование функции с помощью второй производной.

y(x)		x3	, y '(x)	x4	3x2
	x2 1			(x2 1)2

y (x)		(4x3	6x)(x2 1)2 (x4 3x2 ) 2(x2 1) 2x			,
					(x2 1)4

т.е. y (x) 2x (x2 3) . (x2 1)3

Критические точки второго рода: x1 0, x2,3 1.


y (x)
	1	0	1	x

1)	график функции выпуклый (	) при x ( , 1) (0,1),
	график функции вогнутый (	) при x ( 1,0)	(1, );
2)	x 0 – точка перегиба графика функции.
	Найдите асимптоты графика.

Помочь?

Подсказка 6.

IV. Асимптоты графика функции.

1) по информации из I блока исследования функций: x 1 и x 1 – точ-

ки разрыва функции второго рода (бесконечный разрыв). Следовательно, x 1

и x 1 – вертикальные асимптоты графика.

105

2) Наклонные асимптоты: y kx b .

k lim

f (x)

lim

x x(x2

b lim

f ( x) kx lim

x x

lim

x3 x

lim

x2 1

x x2

т.е. y x – асимптота графика функции.

Объедините информацию, полученную в каждом блоке исследования

функции, и постройте её график.

…?

Подсказка 7.

y(x)

1 0 1 3

106

Задания для самостоятельной работы

Построить графики функций:

	1. y x e x .
	Ответ:		ymax y(1) ; возрастает при x ( ,1) , убывает при x (1, ) ,
x 2	– точка перегиба; график вогнутый при x (2, ) , выпуклый x ( ,2) ;
y 0	– асимптота при x .
	2. y	x2 16		.
			x 2

	Ответ:		Экстремумов нет; возрастает при x ( , 2)				( 2, ); график
вогнутый при x ( , 2),					выпуклый при x ( 2, ) ;	x 2 – вертикальная
асимптота, y x 2 – наклонная асимптота.
	3. y x3 6x2 9x 2 .
	Ответ:		ymax y( 3),		ymin y( 1); возрастает при	x ( , 3)		( 1, ),
убывает при			x ( 3, 1) ;		график выпуклый при x ( , 2) , вогнутый при
x ( 2, ) ,			x 2 – точка перегиба; асимптот нет.

107

2.11.6. Задачи из приложений дифференциального приложения

Пример 2.40. Составить уравнение касательной к линии y x2 3x 5 перпендикулярной прямой x 5y 7 0 .

Решение. Уравнение касательной в точке касания M0 x0 ; y0 имеет вид y y0 y x0 x x0 ,

то есть для составления уравнения касательной необходимо найти точку касания M0 x0 ; y0 . По условию зада-

чи касательная			перпендикулярна прямой x 5y 7 0 ,			следовательно, угловой коэффициент касательной
y x0	1					1
		, где	k	– угловой коэффициент прямой	k		.

	k					5

Таким образом, 2x0 3 5,	x0 4. Вычислим y x0 :
	y x0 y 4 16 12 5 9 .
Запишем уравнение касательной:
	y 9 5 x 4 или 5x y 11 0.
Пример 2.41. Найти угол, под которым пересекаются линии
		y x3 x2 8 и y x2 .
Решение. Углом φ между кривыми		y f1 x и y f2 x				в точке пересечения M0 x0 ; y0 называется
угол, образованный касательными к данным кривым в указанной точке.
Решив следующую систему, найдем точку пересечения M 0 :
y x2	,		y x2 ,				y x2		,

	x2 8;			x3 x2 8;				8	0;
y x3	x2 8;		x2	x3 x2 8;			x3	8	0;

	x0 2,			y0 4,	M0 2; 4 .

Найдем угловые коэффициенты касательных к кривым в точке M 0 :

1)y 2x, y 2 4, то есть k1 4 ;

2)y 3x2 2x, y 2 16, то есть k2 16 .

Вычислим угол между касательными прямыми по формуле

tg φ

k2 k1

1 k k

16 4

tg φ

, откуда φ arctg

1 16 4

Пример 2.42. Точка движется по прямой так, что ее расстояние S

от начального пункта через t секунд

равно

2t3

5t2

. В какие моменты времени ее скорость равна нулю?

Решение. Скорость точки V t вычисляется по формуле V t S t ,

то есть V t t3 6t2 5t .

108

Скорость должна равняться нулю, следовательно, t3 6t2		5t 0 , откуда
	t1 0 (с), t2 1 (с), t3 5 (с).
Пример 2.43. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени
t 0 ,
Q t 3t2 5t 2 . Найти силу тока i t в конце четвертой секунды.
	t 6t 5. Следовательно, i		4 6t	5		29 (A).

Решение. Сила тока i t Q		4 Q			t 4

Пример 2.44. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной l . Какова должна быть высота воронки H , чтобы ее объем был наибольшим.

Решение. Обозначим радиус основания конуса через r , а высоту – через H (рис. 35).

Объем конуса вычисляется по формуле V 13 πr2 H. Учитывая, что r2 l2 H 2 , получаем

V 13 π l2 H 2 H .

Таким образом, задача свелась к вычислению наибольшего значения функции V H на интервале

0 H l . Найдем критические точки первого рода:


		1		2	2	1	2	2			l
	H 3				πH , 3 πl πH				0	H			.
V	H 3		πl		πH , 3 πl πH				0	H		3	.

Очевидно, l 0, l . 3

H l

Рисунок 2.27

Определим вид экстремума в точке

, пользуясь вторым достаточным условием экстремума

функции: V H 2πH ,

2πl

функция V H имеет максимум.

т.е. в точке H

Поскольку limV H limV H 0 , то

в точке H

функция V H принимает наибольшее зна-

H 0

H l

чение.

109

Список литературы

1. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф. Бермант,

И.Г. Араманович. – М.: Наука, 1973.

2. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление /

Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1988.

3. Высшая математика в примерах и задачах : учебн. пособие / под ред.

Ю. Л. Геворкяна. – Т. 1. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2005.

4. Высшая математика: Программа, методические указания и контроль-

ные задания для студентов всех специальностей заочного обучения. Ч. 1. Эле-

менты линейной алгебры и аналитической геометрии, дифференциальное и ин-

тегральное исчисление функции одной переменной, функции многих перемен-

ных, дифференциальные уравнения и системы / под ред. Ю. Л. Геворкяна. –

Харьков: НТУ «ХПИ», 2002.

5.Геворкян Ю. Л. Теория пределов и дифференциальное исчисление функции одной переменной / Ю.Л. Геворкян. – Киев; УМК130, 1993.

6.Геворкян Ю. Л. Краткий курс высшей математики : учеб. пособие:

в2-х ч. / Ю. Л. Геворкян, А. Л. Григорьев, Н. А. Чикина. – Ч. 1. –Харьков: НТУ

«ХПИ», 2009.

7. Вища математика в прикладах і задачах : навч. посібник : у 2-х томах /

за ред. Л. В. Курпа. – Т. 1. – Харків: НТУ «ХПІ», 2009.

8. Овчинников П. П. Вища математика / П. П. Овчинников,

Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. – Ч. 1. – Київ: Техніка, 2007.

9.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов / Н. С. Пискунов. – Т.1. – М.: Наука, 1985.

10.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис-

ления / Г. М. Фихтенгольц. – Т. 1. – М.: Наука, 1969.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025715.15 Кб0Дипломна робота Люда 1.docx
#
20.03.20162.53 Mб52Дипломная работа.rtf
#
01.04.202598.82 Кб0Дипломы-готов-2013.doc
#
02.02.2015428.09 Кб43Дисципліни терапевтичного профілю.rtf
#
02.02.2015222.67 Кб8Дисципліни хірургічного профілю.rtf
#
07.03.20151.88 Mб51Дифференциальное исчисление_эл.учебник.pdf
#
02.02.201587.05 Кб8дкп.docx
#
21.11.201943.79 Кб2дкр-право.docx
#
20.08.2019135.68 Кб32Для Магистров Сем 3 .doc
#
20.08.2019142.85 Кб5Для магистров сем 1 .doc
#
02.02.201513.25 Mб500Для первокурсеника.pdf