Дифференциальное исчисление_эл.учебник

x 3 – вертикальная асимптота, y x 3 – наклонная асимптота.

Помочь?

Подсказка 1. Смотрите подсказку 1 в примере 8.

Не понятно?

Подсказка 2. Смотрите подсказку 2 в примере 8.

Дальше?

Подсказка 3.

x 3 – точка разрыва функции. Вычислим в ней односторонние пределы:

Следовательно, y x 3 – наклонная асимптота графика функции.

91

Задания для самостоятельной работы

1.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:

у2 x3 6x2 18x 7 .

2.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:

уx2 4x 2ln(x 2) 7.

Ответ:

Функция возрастает при x (3, ) , функция убывает при

x (2,3), уmin y(3) 4 .

3. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции: у x4 48 . x

Ответ:

yнаим. y(1) 1

yнаиб. y( 1) 13 .

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Ответ:

yнаим. y(2) ln 4 2 ,

92

Ответ:

x 1 – вертикальная асимптота, y x 3 – наклонная асимптота.

9.Найти асимптоты графика функции у 7x x2 .

x3

Ответ:

x 3 – вертикальная асимптота, y x 4 – наклонная асимптота.

10. Найти асимптоты графика функции у x e4 x .

Ответ:

y 0 – горизонтальная левосторонняя асимптота.

93

2.11.5. Схема исследования функции и построение ее графика

Для построения графика функции y f x целесообразно провести сле-

дующие исследования:

1)найти область определения функции, интервалы непрерывности,

точки разрыва;

2)проверить функцию на четность и периодичность;

3)найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это не очень сложно);

4)выяснить вопрос существования асимптот;

5)найти интервалы монотонности и точки экстремума;

6)найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

По полученным данным легко строится эскиз графика функции.

Решение.

1)Функция определена на всей числовой оси, кроме точки x 3 .

Интервалы непрерывности , 3 , 3, , x 3 – точка разрыва.

2)Функция непериодическая, общего вида.

3)Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью OY x 0 : y 43 .

4) Асимптоты.

Прямая x 3 является вертикальной асимптотой, так как

Итак, y x 7 является наклонной асимптотой.

94

Вточке x 8 функция имеет максимум, причем y 8 20 .

Вточке x 2 функция имеет минимум, y 2 0 .

6)Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.

95

y

8 3

7

20

Рисунок 2.26

Выполните практическое занятие 10.

96

Практическое занятие 10

Тема: Исследование функции и построение ее графика

перегиба нет; асимптоты x 0 – вертикальная, y x 1 – наклонная.

Помочь?

Подсказка 1. Проведите исследование функции по общей схеме, приве-

денной в теоретической части.

Напомнить?

Подсказка 2.

Общая схема исследования функции.

I. Общие исследования:

1)область определения функции;

2)точки разрыва и интервалы непрерывности;

3)четность, нечетность, периодичность;

4)точки пересечения графика функции с осями координат;

5)интервалы знакопостоянства;

6)поведение функции при x .

II. Исследование функции с помощью первой производной:

1)интервалы монотонности;

2)экстремумы функции.

III. Исследование функции с помощью второй производной:

1)интервалы выпуклости, вогнутости;

2)точки перегиба.

IV. Асимптоты графика функции:

1) вертикальные;

97

2) наклонные.

Информации, полученной в результате исследования функции по приве-

денной схеме, как правило, достаточно для построения ее графика.

Начните с общих исследований.

Не получается?

Подсказка 3.

относительно оси OY ;

б) y x y x , то y x – нечетная функция, ее график симмет-

ричен относительно начала координат;

в) если функция ни четная, ни нечетная, то говорят, что y x обще-

– периодическая функция, число Т – ее период.

Очевидно, заданная функция непериодическая.

4) точки пересечения функции с осями координат:

с осью OX y 0 : 0 x e1 x , x ?,

с осью OY x 0 : y ? Но x 0 не входит в D[ y] .

Вычислим:

98

с другой стороны, lim x e1/ x 0 , следовательно, пересечений с осями координат

x 0

у графика функции нет.

Замечание. Вычисленные односторонние пределы доказывают, что x 0

–точка разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

5)интервалы знакопостоянства функции:

Продолжите исследовать функцию с помощью первой производной.

Как это делать?

Подсказка 4.

II. Исследование функции с помощью первой производной.

99