2.6. Криволинейное движение.

2.6.1. Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение).

Если траектория движения материальной точки представляет собой кривую линию, то такое движение мы будем называть криволинейным.

При таком движении изменяется как по величине, так и по направлению. Следовательно, при криволинейном движении.

Рис. 2.11

Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной траектории (рис. 2.11). Вектор скорости движения в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Пусть в точкеM₀скорость, а в точке М – . При этом считаем, что промежуток времениtпри переходе из точки М₀в точку М настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь.

В

Рис. 2.12

ектор изменения скорости. (В данном случае разность 2^хвекторовибудет равна). Разложим вектор, который характеризует изменение скорости как по величине, так и по направлению на две составляющиеи. Составляющая, которая является касательной к траектории в точке М₀,характеризует изменение скорости по величине за времяt, в течение которого была пройдена дуга М₀М и называетсятангенциальнойсоставляющей вектора изменения скорости (). Вектор, направленный в пределе, когдаt0, по радиусу к центру, характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальной составляющей вектора изменения скорости ().

Таким образом, вектор изменения скорости равен сумме двух векторов.

Тогда можно записать, что

.

При бесконечном уменьшении t0 уголпри вершинеM₀АС будет стремиться к нулю. Тогда векторомможно пренебречь по сравнению с вектором, а вектор

будет выражать тангенциальное ускорениеи характеризовать быстроту изменения скорости движения по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение численно равно производной от модуля скорости по времении направлено по касательной к траектории.

Вычислим теперь вектор , называемыйнормальным ускорением. При достаточно маломtучасток криволинейной траектории можно считать частью окружности. В этом случае радиусы кривизныM₀OиMOбудут равны между собой и равны радиусу окружностиR.

Повторим рисунок. М₀ОМ =МСD, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 2. 12). При маломtможно считать |v₀|=|v|, поэтомуМ₀ОМ =МDCподобны как равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при вершине.

Поэтому из рис. 2.11 следует

,

но S=v_ср.t, тогда.

Переходя к пределу при t0 и учитывая, что при этомv_ср.=vнаходим

, т.е. (2.5)

Т

Рис. 2.13

.к. приt0 угол0, то направление этого ускорения совпадает с направлением радиусаRкривизны или с направлением нормали к скорости, т.е. вектор. Поэтому это ускорение часто называютцентростремительным. Оно характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального и нормального ускорений (рис. 2.13). Т.к. вектора этих ускорений взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения равен; Направление полного ускорения определяется угломмежду векторамии:

2.7. Кинематика вращательного движения.

2.7.1. Угловая скорость.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движениембудем называть такое движение, при котором все точки абсолютно твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

В

Рис. 2.14

качестве координаты, определяющей положение точки при вращательном движении, берут угол, характеризующий мгновенное положение радиус-вектора, проведенного из центра вращения к рассматриваемой точке (рис. 2.14)

Для характеристики вращательного движения вводится понятие угловой скорости

.

Вектор направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемуюправилом правого винта(рис. 2.15).

Модуль вектора угловой скорости равен . Если=const, то такое движение называется равномерным, при этом, следовательнои приt₀= 0 получаем.

Если ₀= 0, то = ·tили.

Таким образом, при равномерном движении показывает на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Размерность угловой скорости []=рад/сек.

Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения T, под которым понимают время, за которое тело делает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2. В этом случае, следовательно.

Ч

Рис. 2.15

астота вращения (число оборотов в единицу времени):=1/T=/2. Отсюда=2.

Дополнение 1.

Поворот тела на некоторый малый угол dможно задать в виде отрезка, длина которого равнаd, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Таким образом, повороту тела можно приписать некоторое численное значение и направление. При этом направление вектораможно определить, связав его с направлением вращения тела. Такие вектора называютсяаксиальнымиили псевдовекторами, в отличие от истинных илиполярныхвекторов, для которых направление определяется естественным образом (,,и т. д.), при операции инверсии системы координат(x→ -x’,y→ -y’,z→ -z’) последние меняют знак на противоположный:.