10.4. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкостей
ТеплоемкостьютелаC называют физическую величину, численно равную количеству тепла, которое необходимо сообщить телу для нагревания его на один градус. Если сообщить телу количество теплаdQ, то температура тела повысится наdT градусов и его теплоемкость определится по формуле:
C = dQ/dT. (10.8)
Размерность теплоемкости равна [C ] = Дж/К .
Теплоемкость моля вещества называется молярной и обозначается символом C . Теплоемкость единицы массы называется удельной и обозначаетсяcуд илиc , причем легко видеть. чтоC = cуд . Теплоемкость произвольной массыmравнаC = cуд m . Отсюда следует, что достаточно знать теплоемкость моля, чтобы рассчитать теплоемкость тела произвольной массы.
Согласно первому началу термодинамики dQ = dU + dA . Отсюда следует, что количество теплаdQ, сообщенное телу при повышении его температуры наdT, будет затрачено не только от изменение внутренней энергииdU, но и на работуdA, которую газ при этом совершит. Так как процесс расширения газа на диаграммеp-V можно провести бесчисленным количеством способов, то теплоемкость газа может иметь такое же число значений. Для практических целей наиболее важными являются теплоемкость при постоянном давленииCp и постоянном объемеС v .
Рассчитаем теплоемкость моля газапри постоянном объемеCv. Первое начало термодинамики для изохорного процесса имеет видdQ = dU . Выражение (10.8) запишем в виде
Cv = dU /dT. (10.9)
Учитывая формулу (10.2), получим
Cv = i R /2, (10.10)
где i - число степеней свободы движения молекул газа,R- универсальная газовая постоянная. Из выражения (10.10) следует, что теплоемкостьCv моля произвольного газа является постоянной величиной и зависит лишь от числа степеней свободы движения молекул. Следует однако заметить, что выражение (10.10) для воздуха не является справедливым при низких и высоких температурах (рис.10.4). При высоких температурах у молекул возбуждается колебательное движение и часть энергии теплового движения передается колебаниям атомов в молекуле. Число колебательных степеней свободы движения равно 2. При низких температурах, наоборот, наблюдается “замораживание” вращательных степеней свободы движения, объясняемое квантовой механикой. Поэтому зависимость теплоемкости от температуры имеет сложный вид.
Р
Cp = dQ/dT = dU /dT + dA /dT, (10.11)
где dA = pdV - работа моля газа при изменении его объема наdV ;p - давление газа. Учитывая, чтоpV = RT , получимdA = RdT. Если числен-но положитьdT = 1 , тоdA = R . Отсюда следует, чтоуниверсальная газовая постоянная численно равна работе изобарического расширения моля газа при его нагревании на один градус. С помощью формулы (10.9) и выражения дляdA представим равенство (10.11) в виде
Cp = Cv + R, (10.12)
Выражение (10.12) называется формулой Майера. Величина =Cp /Cv представляет собой характерную для каждого газа величину, часто применяющуюся при расчетах. Используя уравнения (10.10) и (10.12) , получим
= (i + 2)/i. (10.13)
Отсюда для газа из одноатомных молекул (i = 3) получим= 1,67; для двухтомного газа (i = 5)-= 1,4; для трехатомного газа(i = 6)- = 1,33 .