9.5. Явления переноса. Длина свободного пробега молекул

В предыдущих разделах мы рассматривали свойства тел, находящихся в тепловом равновесии. Данный раздел посвящен процессам, с помощью которых происходит установление состояния равновесия. Такие процессы называют кинетическими. Эти процессы являются необратимыми, к ним относятся явления диффузии, вязкости и теплопроводности.

Большое значение при анализе этих процессов имеет свободный пробег молекул. Среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями, называют средней длиной свободного пробега молекулили просто длиной свободного пробега, которую обозначают сим волом. При соударении молекулы сближаются. Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул при соударении, называетсяэффективным диаметром молекулыd. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости молекулv_ср. Если за секунду молекула претерпевает соударений, то длина свободного пробега

 = v_ср /. (9.24)

Для расчета числа соударений предположим вначале, что все молекулы покоятся, а одна движется и соударяется с ними (рис.9.6) . Молекула будет сталкиваться с другими молекулами, если их центры будут лежать внутри ломаного цилиндра, имеющего диаметр, равныйd. За секунду молекула проходит путь, равныйv_ср., и объем ломаного цилиндра, пройденного молекулой, равенd²v_ср. Умножив этот объем на число молекул в единице объемаn, получим среднее число соударений молекулы за секунду:v_срn. Так как остальные молекулы также движутся, то, как показывают расчеты, соударения происходят в раз чаще. Следовательно, истинное среднее число соударений молекулы за секунду

 = v_срn. (9.25)

Подставив это значение в (9.24), получим для средней длины свободного пробега молекул следующую формулу:

 = 1/(n). (9.26)

При постоянной температуре nпропорционально давлению. Следовательно, средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна давлению. При нормальных условиях расчет по формуле (10.26) для молекул воздуха дает= 210^-7 м. Длина свободного пробега получается в 1000 раз больше эффективного диаметраd =210^-10м. С уменьшением давления длина свободного пробега растет и может стать сравнимой с размерами сосуда и больше их. Такое состояние газа называютвакуумом.

9.6. Явление диффузии

Диффузиейназываютпроцесс взаимного проникновения молекул соприкасающихся веществ, обусловленный тепловым движением. Этот процесс наблюдается в газах, жидкостях и твердых телах. Например, распространение запаха в неподвижном воздухе можно объяснить явлением диффузии.

Для описания процесса диффузии необходимо ввести понятие парциальной плотностивещества_i, которая равна массе i-того диффундирующего вещества, находящейся в единице объема смеси. Пусть диффузия происходит в направлении осиzи являетсястационарной, т.е. величина_iв точках среды остается постоянной с течением времени. Закон диффузии экспериментально установил ученый Фик: масса веществаM, проходящая за времяtчерез площадкуS, перпендикулярную к направлению диффузии, равна

M = -DSt, (9.27)

где d_i - изменение парциальной плотности вещества вдоль расстоянияdz; знак минус показывает, что диффузия направлена в сторону убывания_i;D - коэффициент диффузии. Величинуd_i /dzназываютградиентом парциальной плотности (понятие градиента подробно рассмотрено в подразд.3.5). Этот градиент показывает скорость уменьшения парциальной плотности вещества вдоль направления диффузии. Если численно положитьd_i /dz = -1,S = 1, t =1, то получим из (9.27)M =D. Отсюда следуетфизический смысл D:коэффициент диффузиичисленно равен массе вещества, перенесенной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению диффузии, если модуль градиента парциальной плотности равен единице. Размерность коэффициента диффузии [D] = м²с^-1.

Рассмотрим вывод этого закона для газов, исходя из молекулярно-кинетических представлений. Для упрощения расчетов будем считать, что молекулы обеих компонент смеси газов имеют практически одинаковые массы и размеры. Результат оценочного расчета не изменится, если хаотичное движение молекул заменить их упорядоченным движением вдоль осейx ,yиz. Тогда через площадкуSв направлении осиzза времяtпролетит лишь1/6часть тех молекул, которые находятся в объемеV =Sv_срt , гдеv_ср - средняя скорость молекул (рис.9.7). Число таких молекул равноn₁Sv_срt/6 , гдеn₁ - число молекул диффундирующего газа в единице объема для слоя 1. Аналогично сверху вниз через площадкуS из слоя 2 пролетит число молекул, равноеn₂Sv_срt/6 , гдеn₂ - число молекул диффундирующего газа в единице объема для слоя 2. Разность этих чисел даст число молекул, пролетевших через площадкуS в направлении осиz: N =(n₁ - n₂)Sv_срt/6. Эти пролетевшие молекулы перенесут через площадкуS массу веществаM = mN илиM = m(n₁ - n₂)Sv_срt/6 , гдеm- масса молекулы. Подставляя парциальные плотности вещества_i1 = mn₁ и_i2 =mn₂ , получим

M = (_i1 - _i2)Sv_срt/6. (9.28)

Свободно пролетать площадкуSмогут лишь те молекулы, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем среднюю длину свободного пробега молекул. Следовательно, слои 1 и 2 должны находиться на расстоянии друг от друга, равном2 , и в согласии с определением градиента должно выполняться соотношение(_i2 - _i1)/2 = d_i /dz. Учитывая это равенство, преобразуем выражение (9.28) к виду

M = - (1/3) v_ср(d_i /dz)St. (9.29)

Мы получили закон диффузии, используя молекулярно-кинетические представления. Сравнивая равенства (10.29) и (10.27), получим теоретическое выражение для коэффициента диффузии

D = (1/3) v_ср. (9.30)

Так как  1/p, тоD уменьшается при увеличении давления. Зависимость коэффициента диффузии отv_ср., а следовательно, и от массы молекул, позволяет использовать явление диффузии для разделения изотопов при многократном прохождении газа через пористые перегородки.

Поток паров от кипящей ртути, направленный вдоль специальной трубы, позволяет на ее концах создать разность давлений откачиваемого газа от 1 мм.рт.ст до 10^-7мм рт.ст., достаточную для получения высокого вакуума. Для откачиваемого газа только одна из 10²⁰молекул способна пробиться через поток паров ртути за счет диффузии. Устройство, основанное на этом принципе получения вакуума, называютдиффузионным насосом. Предварительную откачку газа до 1 мм рт.ст. производят другими насосами.