8.9. Затухающие колебания.

При выводе уравнения гармонических колебаний считалось, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления (например, это может быть сила трения в точке подвеса, сопротивление среды, в которой совершаются колебания). Действие этих сил приводит к тому, что энергия колеблющейся системы (или точки) будет непрерывно убывать. Эта убыль энергии будет равна работе против сил трения и сопротивления. Т.к. полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды , то наличие сил трения и сопротивления приведет и к непрерывному убыванию амплитуды колебаний. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать (и носят названиезатухающих).

Итак, затухание колебаний в любой колебательной системе (механической, электрической и т.п.) обусловлено потерями энергии в этой системе. Потери энергии колебаний в механических колебательных системах происходят из-за трения (внешнего и внутреннего) и излучения упругих волн в окружающую среду; в электрических – из-за наличия активного сопротивления проводников и т.п.

Рассмотрим свободные (или собственные) колебания. Это значит, что система, будучи выведена из положения равновесия в результате внешнего воздействия, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы F=kxи силы сопротивления среды, значит она будет совершать затухающие колебания вдоль оси “x”.

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость (v) системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости:

,

где r– коэффициент сопротивления среды. Знак минус (“”), т.к.иимеют противоположные направления.

Под действием сил Fиfтело приобретает ускорение “a”, и для колеблющегося тела уравнениеII-закона Ньютона имеет вид:

или.

Обозначим ;, тогда

(8.15)

– дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Здесь ₀– та частота, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды (т.е. приr= 0). Эта частота называетсясобственнойчастотой колебаний системы.– коэффициент затухания колебаний (зависит от свойств данной системы и среды).

Наличие сопротивления среды приводит к тому, что амплитуда колебаний со временем будет уменьшаться. Поэтому будем искать решение уравнения (8.15) в виде:

где a(t)– некоторая функция времени.

Продифференцируем это выражение по времени и найдем и:

После подстановки этих выражений в уравнение (8.15) и несложных преобразований придем к следующему соотношению:

.

Для того чтобы уравнение удовлетворялось при любых значения “t”, необходимо равенство нулю коэффициентов при “sin” и ”cos”. Т.е. приходим к двум следующим уравнениям:

	(8.16)
	(8.17)

Первое уравнение представим в виде:

или .

После интегрирования получим , где– постоянная интегрирования. После потенцирования найденного выражения получим. Видно, что, а. Подставим эти значения в (8.17), получим

.

Отсюда .

При ₀>, величинабудет вещественной и тогда решение дифференциального уравненияможет быть представлено в виде

.

Таким образом, при не слишком большом затухании колебания описываются функцией

Рис. 8.9

.

График этой функции показан на рисунке 8.9. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Движение такой системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой и амплитудой, изменяющееся по законуВерхняя из пунктирных кривых дает график функцииa(t), причем величинаa₀представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещениеx₀зависит, кромеa₀, также от начальной фазы:.

Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называюткоэффициентом затухания. Найдем время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в “e” раз. По определению.

Следовательно, коэффициент затухания равен обратной величине того промежутка времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в “e” раз.

С учетом того, что , апериод затухающих колебаний можно определить как

.

При незначительном сопротивлении среды период колебаний практически равен. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Для характеристики колебательной системы (а именно: убывания амплитуды колебаний в зависимости от числа колебаний) вводится величина, называемая логарифмическим декрементом затухания().

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период равно

– это отношение называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания.

, т.е.. Т.к., то. Отсюда следует, что логарифмический декремент затуханиязависит от свойств данной системы и среды.

В

Справка 5.

ыразими запишем закон убывания амплитуды в виде. За время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в “e” раз система совершитколебаний. Из условияполучаем. Поэтому.

Следовательно, логарифмический декремент затухания равен обратнойвеличине числа колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда уменьшается в “e” раз (– безразмерная величина).

Для характеристики колебательной системы также часто употребляется величина , называемаядобротностьюколебательной системы. Как видно из определения, добротность пропорциональна числу колебанийN, совершаемых системой за время, за которое амплитуда колебаний убывает в “e” раз.

Как известно, энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому энергия системы при затухающих колебаниях убывает со временем по закону

,

где E₀– значение энергии приt= 0.

Продифференцировав это выражение по “t”, получим скорость возрастания энергии

.

Изменив знак на обратный, найдем скорость убывания энергии: .

Если энергия мало изменяется за время равное периоду колебаний, то убыль энергии за период будет равна .

С учетом иполучим, т.е. при слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя 2равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний.

Из формулы для периода колебаний следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается, а при=₀период колебаний обращается в бесконечность, т. е., движение перестает быть периодическим.

И последнее, математический анализ показывает, что при условии движение носит апериодический (непериодический) характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.