4.7. Работа внешних сил при вращательном движении твердого тела.

Найдем работу, которую совершают силы при вращении тела вокруг неподвижной оси Z.

Пусть на массу действуют внутренняя силаи внешняя сила(результирующая силалежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения) (рис. 4.19). Эти силы совершают за времяdtработу:

.

Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей, находим:

,

где ,– соответственно, моменты внутренней и внешней сил относительно точки «О».

Просуммировав по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt:

.

Сумма моментов внутренних сил равна нулю. Тогда, обозначив суммарный момент внешних сил через , придем к выражению:

Рис. 4.19

.

Известно, что скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго на направление первого, учтя, что , (направления осиZисовпадают), получим

,

но ·dt=d, т.е. угол, на который поворачивается тело за времяdt. Поэтому

.

Знак работы зависит от знака M_z, т.е. от знака проекции векторана направление вектора.

Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, а работа внешних сил определяется формулой .

Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования

.

Если проекция результирующего момента внешних сил на направление остается постоянной, то ее можно вынести за знак интеграла:

, т.е. .

Т.е. работа внешней силы при вращательном движении тела равна произведению проекции момента внешней силы на направлениеи угол поворота.

С другой стороны работа внешней силы, действующей на тело идет на приращение кинетической энергии тела (или равна изменению кинетической энергии вращающегося тела). Покажем это:

и тогда

;

Следовательно,

. (4.7)

Самостоятельно:

Упругие силы;

Закон Гука.

ЛЕКЦИЯ 7

§5. Гидродинамика

5.1. Линии и трубки тока.

Гидродинамика изучает движение жидкостей, однако ее законы примени- мы и к движению газов. При стационарном течении жидкости скорость ее частиц в каждой точке пространства есть величина, независимая от времени и являющаяся функцией координат. При стационарном течении траектории частиц жидкости образуют линию тока. Совокупность линий тока образует трубку тока (рис. 5.1). Будем считать жидкость несжимаемой, тогда объем жидкости, протекающей через сеченияS₁иS₂, будет одинаков. За секунду через эти сечения пройдет объем жидкости, равный

, (5.1)

где и- скорости жидкости в сеченияхS₁иS₂, а вектораиопределяются каки, гдеи- нормали к сечениямS₁иS₂. Уравнение (5.1) называют уравнением неразрывности струи. Из него следует, что скорость жидкости обратно пропорциональна сечению трубки тока.

5.2. Уравнение Бернулли.

Будем рассматривать идеальную несжимаемую жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) отсутствует. Выделим в стационарно текущей жидкости тонкую трубку тока (рис. 5.2) с сечениямиS₁иS₂, перпендикулярными к линиям тока. В сечении1 за малое времяt частицы сместятся на расстояниеl₁ , а в сечении2- на расстояниеl₂ . Через оба сечения за времяt пройдут одинаковые малые объемы жидкостиV =V₁=V₂и перенесут массу жидкостиm=V , где- плотность жидкости. В целом изменение механической энергии всей жидкости в трубке тока между сечениямиS₁ иS₂ , произошедшее за времяt, можно заменить изменением энергии объемаV, произошедшим при его перемещении от сечения 1 до сечения 2 . При таком движении изменится кинетическая и потенциальная энергия этого объема, и полное изменение его энергии

, (5.2)

где v₁ и v₂- скорости частичек жидкости в сеченияхS₁иS₂соответственно;g - ускорение земного притяжения;h₁ иh₂- высоты центра сечений.

В идеальной жидкости потери на трение отсутствуют, поэтому приращение энергии Eдолжно быть равно работе, совершаемой силами давления над выделенным объемом. При отсутствии сил трения эта работа:

. (5.3)

Приравнивая правые части равенств (5.2) и (5.3) и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим

. (5.4)

Сечения трубки S₁иS₂были взяты произвольно, поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока справедливо выражение

. (5.5)

Уравнение (5.5) называется уравнением Бернулли. Для горизонтальной линии тока h=const ,и равенство (5.4) приобретает вид

/2 + p₁ = ·/2 + p₂ , (5.6)

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.