4.4. Закон сохранения момента импульса.

ФОРМУЛИРОВКА: Момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Отметим, что момент импульса остается постоянным и для системы, подвергающейся внешним воздействиям, при условии, что суммарный момент внешних сил, действующих на тела системы, равен нулю.

Может случиться так, что результирующий момент внешних сил относительно точки «О» отличен от нуля , однако равна нулю составляющаявекторапо некоторому направлениюz. Тогда будет сохраняться составляющаямомента импульса системы по осиz.

4.5. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через ось Z(рис. 4.15). Все плоскости могут вращаться вокруг осиZс угловой скоростью. Тангенциальная составляющая скоростиi-ой точки может быть записана в виде:.

Тогда, учитывая, что

О

Рис. 4.15

ПРЕДЕЛЕНИЕ: моментом импульса относительно осиZназывается составляющаяпо этой оси момента импульсаотносительно точки «О», лежащей на оси (рис. 4.16):, можно показать, что, где– составляющая радиус-вектора, перпендикулярная осиZ;– составляющая вектора, перпендикулярная к плоскости, проходящей через осьZи точку «m».

Подставив значение для в формулу дляполучим выражение для момента импульса точки относительно осиZ:

.

Это можно записать, воспользовавшись свойством двойного векторного произведения и учтя, что векторы ивзаимно перпендикулярны.

Просуммировав это выражение по всем точкам и вынося общий множитель за знак суммы (), найдем для момента импульса системы относительно осиZследующее выражение:

,

где – момент инерции системы материальных точек относительно осиZ.

Тогда . Учитывая, что, получаем

Рис. 4.16

. (4.3)

Это основное уравнение динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнениемII-закона Ньютона:.

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции есть величина постоянная относительно фиксированной оси. Следовательно, для абсолютно твердого тела основное уравнение динамики вращательного движения примет вид:

, (4.4)

где – угловое ускорение тела;

– результирующий момент внешних сил, действующих на тело.

Сопоставив уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что при вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы – момент инерции и т.д. (см. таблицу).

Поступательное движение	Вращательное движение
– сила	или– момент силы
m– масса	– момент инерции
– линейная скорость	– угловая скорость
– линейное ускорение	–угловое ускорение
– импульс	–момент импульса

Все приведенные выше формулы справедливы для случая, если ось вращения тела неподвижна.

4.6. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.

1

Рис. 4.18

. Рассмотрим вращение тела вокругнеподвижнойосиZ. Разобьем все тело на множество элементарных массm_i. Линейная скорость элементарной массыm_i–v_i=·R_i, гдеR_i– расстояние массыm_iот оси вращения. Следовательно, кинетическая энергияi-ой элементарной массы будет равна. Полная кинетическая энергия тела:, здесь– момент инерции телаотносительно оси вращения.

Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси равна:

(4.5)

Рис. 4.17

2. Пусть теперь теловращаетсяотносительно некоторой оси, а самаось перемещаетсяпоступательно, оставаясь параллельной самой себе.

НАПРИМЕР: Катящийся без скольжения шар совершает вращательное движение, а центр тяжести его, через который проходит ось вращения (точка «О») перемещается поступательно (рис.4.17).

Скорость i-той элементарной массы тела равна, где– скорость некоторой точки «О» тела;– радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке «О».

Кинетическая энергия элементарной массы равна:

.

З

Справка 3

Учтем, что , т.е. квадрат вектора равен квадрату его модуля.

АМЕЧАНИЕ: векторное произведениесовпадает по направлению с вектороми имеет модуль, равный(рис.4.18).

Учтя это замечание, можно записать, что , где– расстояние массыот оси вращения. Во втором слагаемом сделаем циклическую перестановку сомножителей, после этого получим

.

Чтобы получить полную кинетическую энергию тела, просуммируем это выражение по всем элементарным массам, вынося постоянные множители за знак суммы. Получим

.

Сумма элементарных масс есть масса тела «m». Выражениеравно произведению массы тела на радиус-векторцентра инерции тела (по определению центра инерции). Наконец,– момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «О». Поэтому можно записать

.

Если в качестве точки «O» взять центр инерции тела «С», радиус-векторбудет равен нулю и второе слагаемое исчезнет. Тогда, обозначив через– скорость центра инерции, а через– момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «С», получим:

(4.6)

Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.