книги из ГПНТБ / Феодосьев В.И. Введение в ракетную технику Учеб. пособие
.pdf3. Полет За пределами атмосферы |
351 |
3.ПОЛЕТ ЗА ПРЕДЕЛАМИ АТМОСФЕРЫ
ВПОЛЕ ЗЕМНОГО ТЯГОТЕНИЯ
Уравнения движения
Ракета дальнего действия, как и высотная метеорологическая: ракета, большую часть своей траектории проходит в столь разре женных слоях атмосферы, что на этом участке полета представляет ся возможным пренебречь аэродинамическими силами, действую щими на ракету. Если к тому же полет совершается при неработаю щем двигателе, то уравнения движения ракеты как материальной точки могут быть проинтегрированы в конечном виде при любом? сколь угодно большом удалении ракеты от поверхности Земли.
Из курса физики известно, что всякое тело, брошенное под углом 0о к горизонту со ско ростью v0, движется (если не учитывать сил сопротивления воздуха) по параболе. Действи тельно, спустя время t после на чала движения, координаты брошенного тела будут'
|
x — v 0t cos 90; |
Фиг. 8 . 10. Траектория тела, брошенного |
|||
y |
= |
v 0t sin 0О— |
под углом |
к горизонту |
(парабола). |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
Исключая _отсюда t, найдем |
уравнение |
параболы, |
показанной |
||
на фиг. |
8. |
10: |
|
|
|
g
У = х tg 60 — а:2
2 г>о cos2 0о '
Полученное выражение, однако, справедливо лишь в ограничен ных пределах. При его выводе ‘предполагалось, что вектор ускоре ния силы тяжести g для всех точек траектории остается параллель ным оси у и не изменяется по величине. На самом деле это не так. Ускорение силы тяжести g по мере набора высоты уменьшается про порционально квадрату расстояния до центра Земли. Кроме того, сила притяжения Земли направлена постоянно к ее центру и век торы g в различных точках траектории не будут параллельны друг другу. Эти особенности земного ‘тяготения не могут иметь сущест венного значения, если речь идет о малых высотах и малых дально стях бросания тела. Но если нас интересуют большие дальности и высоты, характерные для дальних баллистических и многих ме теорологических ракет, указанное обстоятельство необходимо при нимать во внимание.
Задача об определении траектории полета ракеты в такой поста новке совпадает с задачей определения орбит небесных тел (задача Кеплера). Теория движения тела в этих условиях носит название
-352 Гл. VIII. Траектория полета баллистических ракет
«эллиптической» в отличие от элементарной упомянутой выше за дачи о полете тела по параболе. Наибольший интерес эллиптическая теория представляет при решении таких основных задач космонав
тики,- как определение |
орбит |
искусственных спутников Землй |
||
и орбит космических ракет. |
|
системе |
координат |
|
Рассмотрим движение |
ракеты в полярной |
|||
с полюсом в центре Земли. |
на фиг. 8. 11 |
точкой А, |
движется |
|
Пусть ракета, изображенная |
||||
ло инерции по некоторой траектории и находится в данный момент
ds |
б |
на расстоянии г |
от центра Земли. |
|
|
|
При переходе из |
точки А в точ |
|
|
|
ку В кинетическая энергия ракеты |
||
|
|
Ми2/2 изменится на величину |
||
|
|
d(Mv2/2). Потенциальная энергия |
||
|
|
изменится на величину d(Mgrr). |
||
|
|
Ускорение |
силы |
тяжести g r при |
|
|
этом не является величиной посто |
||
|
|
янной. |
|
|
|
|
Изменение кинетической энер |
||
|
|
гии равно |
изменению потенциаль |
|
|
|
ной энергии, поскольку двигатель |
||
|
|
ракеты не работает: |
||
|
|
* { * £ - м е л ) = о. |
||
|
|
Так как масса М остается по |
||
|
|
стоянной, |
то |
|
■Фиг. 8. 11. К выводу уравнения дви |
1,2 |
|
||
жения ракеты в полярной |
системе |
|
||
^ ---- ё / = const. |
||||
координат. |
|
|
|
|
Ускорение силы тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли:
_£2
ёг = Г2
где k2 — константа поля тяготения [см. формулу (2.2)]. Таким образом,
V 2 /г2
— = const.
~2 г
Полученное выражение, называемое интегралом энергии, пока зывает, что скорость полета будет зависеть только от расстояния г данной точки траектории от центра Земли. Значение постоянной в правой части этого выражения характеризует энергетический уро вень траектории и определяется начальными условиями движения.
354 |
Гл. VIII. Траектория полета баллистических ракет |
|||||
|
Т р а е к т о р и я п о л е т а |
|||||
Согласно уравнению (8. 11) |
|
|
|
|||
|
<Р= |
РоГо cos &о |
||||
|
- |
|
|
|
||
Но |
d<f |
|
d f |
d r _rfy • |
||
|
|
|||||
|
dt |
|
dr |
dt |
dr |
|
Учитывая |
это, получим |
|
|
|
|
|
|
г = |
dr |
r0r0 cos Oq |
|||
или |
|
d\p |
|
r2 |
' |
|
|
|
dr |
e |
|
||
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
r2 |
’ |
|
c — Vq^o cos &0* |
||||||
|
||||||
Подставим это выражение для г и выражение для <р, полу чаемое из (8.11), в уравнение (8.9), тогда
|
dr |
\2 |
С2 , С2 |
2*2 |
|
2*2 |
|
|
df |
) |
Г* Г2 |
|
Г |
0 |
Г( |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
го |
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
с |
|
|
, 2*2 с2 2*2 |
|||
dtp |
г2 |
|
■■V |
------------------------- |
|||
|
8 |
Го |
г2 |
г |
|||
или |
|
|
|
|
7) |
|
|
d<f=: |
|
„ |
< |
С2 , |
|
||
|
|
|
2 * 2 |
2 * 2 |
|||
/
В подкоренном выражении прибавим и вычтем постоянную величину k*/c2, введем также величину —k2/c под знак дифференциала в числителе и после этого получим
d < ? = - |
< 7 |
~ * ) |
■ |
|
, / ( 2 2*2 |
*4\ |
|
*2 V\2 |
|
|
( С |
|||
|
1/ |
|
|
—) |
Интегрирование последнего выражения дает
_*2_
Г С
<р—<p0C3arc cos
2 |
2 * 2 , *4 |
/
358 |
Гл. VIII. Траектория полета баллистических ракет |
кой скоростью, удаляется на сколь угодно большое расстояние от притягивающего центра.
Полагая r0^ R , получим для второй космической скорости сле дующее численное значение:
т>пар 11 300 м/сек.
На фиг. 8. 12 показано изменение вида траектории полета тела в зависимости от скорости при неизменном угле бросания '0'О= ЗО°.
При малой скорости брошенное под углом йо к горизонту тело, описав дугу эллипса, возвращается на Землю. По мере увеличения
|
начальной |
скорости даль |
||
|
ность полета возрастает. Уве |
|||
|
личивается также и дуга, |
|||
|
описываемая |
|
летящим |
|
|
телом. |
СКОРОСТИ |
V0 = Va,v |
|
|
При |
|||
|
траектория получает вид па |
|||
|
раболы. Тело, брошенное с |
|||
|
Земли со скоростью v0^}vmp, |
|||
|
на Землю не возвращается. |
|||
|
Для |
баллистических ра |
||
|
кет дальнего действия, зна |
|||
|
чительная часть траектории |
|||
|
которых проходит за преде |
|||
|
лами |
атмосферы, |
имеется |
|
|
возможность |
непосредствен |
||
|
ного приложения эллиптичес |
|||
|
кой теории к расчету пара |
|||
|
метров движения. |
|
||
|
До некоторой высоты, по |
|||
|
ка влияние |
аэродинамичес |
||
|
ких сил |
еще существенно, |
||
Фиг. 8 . 12. Траектория полета тела я зави |
расчет |
траектории |
ведется |
|
описанным |
выше |
методом |
||
симости от скорости бросания при О0=30°. |
численного |
интегрирования. |
||
|
||||
С того момента, когда можно пренебречь аэродинамическими силами, расчет ведется по форму лам эллиптической теории. Таким образом, имеется возможность получить для всей траектории полную картину изменения координат, скоростей и ускорений в зависимости от времени полета.
На фиг. 8. 13 показаны графики скорости и тангенциального ускорения баллистической ракеты для всей траектории полета.
Скорость возрастает до момента выключения двигателя. После выключения скорость падает, поскольку ракета по инерции наби рает высоту. После прохождения ракетой вершины траектории ско рость снова начинает возрастать. В дальнейшем под действием силы сопротивления воздуха скорость уменьшается.
3. Полет за пределами атмосферы |
359 |
Ускорение вначале нарастает по закону активного участка, по казанному на фиг. 8. 7. При переходе двигателя на конечную сту пень ускорение скачком уменьшается. Затем при полном выключе нии двигателя ускорение становится отрицательным. Оно, очевид но, равняется —g sin ft. Далее тангенциальное ускорение изменяется вследствие изменения О и g. В вершине траектории оно обращается в нуль. На нисходящем участке траектории сила земного притяже-
Фиг. 8. 13. Скорость и тангенциальное ускорение баллистиче ской ракеты на траектории.
ния ускоряет движение ракеты. При входе в верхние слои атмосфе ры начинается торможение ракеты вследствие сопротивления атмо сферы. В самом конце траектории скорость ракеты заметно падает и сила лобового сопротивления уменьшается. Ускорение по абсо лютной величине при этом также уменьшается.
С увеличением дальности баллистических ракет все более суще ственное значение для расчета траектории приобретает суточное вращение Земли. В этом случае при составлении уравнений движе ния в стартовой системе координат необходимо учитывать кориоли сово ускорение, обусловленное переносным вращением Земли.
Переход к абсолютному движению, рассчитываемому на основе формул эллиптической теории, осуществляется в результате вектор ного суммирования относительной скорости, полученной в резуль тате численного интегрирования уравнений движения в стартовой системе координат и переносной скорости в данной точке траекто рии, принимаемой за начальную точку эллиптического участка. Составляющая переносной скорости направлена с запада на восток
360 Гл. VIII. Траектория полета баллистических ракет
перпендикулярно плоскости меридиана, проходящего через данную точку, она равна
*«в Г Л®.С08<р,„ |
|
|
|
где гА и срЛ — соответственно радиус и |
географическая |
||
широта |
начальной |
точки |
эллиптического |
участка траектории; |
|
|
|
о)3= 7 ,2 9 2 М 0 - 5—----- угловая |
скорость |
суточного вращения |
|
сек |
|
|
|
Земли.
В результате вектор абсолютной скорости в начале эллиптиче ского участка будет несколько отличаться как по величине, так и по направлению от вектора относительной скорости в стартовой систе ме координат. Изменение модуля скорости за счет вращения Земли при переходе к абсолютному движению можно приближенно оце нить по формуле
Дц гА(1)э cos i,
где i — наклонение плоскости траектории к экватору Земли.
В дальнейшем, после расчета эллиптического участка в абсолют ной системе координат, следует учесть, что за время полета на этом участке t3ЛЗемля поворачивается с запада на восток на угол ю3^эл и конечная точка эллиптического участка по отношению к Земле будет дополнительно смещена по параллели в западном направле нии на величину
гсшАл cos <Рс
где г с и срс — радиус и географическая широта конечной точки
эллиптического участка.
Атмосферный участок нисходящей ветви траектории, так же как и активный участок, рассчитывается численным интегрированием уравнений движения в относительной системе координат, связанной
сЗемлей, после аналогичного перехода на этот раз от абсолютного
котносительному движению.
Так, при расчете траекторий баллистических ракет учитывается влияние вращения Земли.
|
|
Дальность полета |
|
При небольших |
скоростях дальность полета |
тела, брошенного |
|
с Земли |
под углом |
Оо к горизонту, определяется |
по элементарной |
формуле, |
получающейся из выражений, приведенных на стр. 351: |
||
L==» — sin. 20о. g
Максимальная дальность имеет место при 0о=45°. Этот результат хорошо известен.