книги из ГПНТБ / Пфлейдерер, Карл. Лопаточные машины для жидкостей и газов водяные насосы, вентиляторы, турбовоздуходувки, турбокомпрессоры

121. РАСЧЕТ ВАЛА С УЧЕТОМ КРИТИЧЕСКОГО ЧИСЛА ОБОРОТОВ

Расчет вала должен в первую очередь удовлетворять требованию достаточной прочности и гарантировать отсутствие недопустимых деформаций. Оба расчета ничем не отличаются от подобных расчетов для других валов. Внешней силой, действующей на вал наряду с вращающим моментом и собственным весом (уменьшенным на вели­ чину поддерживающей архимедовой силы), является еще и осевая сила, которая, однако, в большинстве случаев может не приниматься

в расчет.

Определение прогиба вала может быть объединено, как подробно изложено ниже, с третьим расчетным исследованием, необходимым ввиду высоких чисел оборотов центробежных насосов, а именно

сопределением критического числа оборотов [456] — [458]. Даже после тщательной балансировки ротора всегда остается

небольшая неуравновешенность и вместе с нею центробежная сила которая вызовет определенный прогиб вала. Вследствие прогиба расстояние центра тяжести от оси вращения увеличится еще больше, так что в конце концов все возрастающая центробежная сила может изогнуть вал настолько, что он сломается.

а) Критическая скорость в случае одного колеса на невесомом валу. Колесо веса G и массой т = -у закреплено на невесомом

вертикальном валу таким образом, что его центр тяжести S отстоит от оси на величину е (фиг. 382). Возникающая центробежная сила изогнет вал в направлении е, причем для начала прини­ маем, что колесо остается при прогибе вала параллельным самому себе.

612

Если через у обозначить прогиб вала в месте посадки колеса (точка W), то расстояние центра тяжести от оси вращения будет равно у + е и центробежная сила

Так как, с другой стороны, деформация пропорциональна силе,

то

где постоянная для данного случая нагрузки величина а (жесткость вала) представляет неизменное число, которое равно силе, прогибаю­ щей вал на единицу длины. Из равенства обеих сил следует

откуда

Если увеличить ш до того, чтобы знаменатель обратился в ноль, т. е. чтобы ш приняла величину

инерции, одинаковый по всей длине вала, через а и 6 — расстояния диска от подшипников, через £ — модуль упругости материала, из которого изготовлен вал, то принимая, что вал свободно лежит на двух опорах, получим

Если число оборотов станет больше nk (см. фиг. 385), то мы най­ дем, что у становится отрицательным, но по абсолютной величине

613

убывает. Вал, следовательно, снова приближается к прямолиней­ ной форме. При п = со будет у = — е, т. е. центр тяжести S сов­ падет с осью вращения. Точка закрепления 1Е и центр тяжести S поменяются, следовательно, местами (фиг. 383, б). Следовательно, ротор при возрастании числа оборотов сверх критического стремится к новому состоянию равновесия, в котором сохраняется прогиб, равный отрицательному эксцентрицитету е. В надкритической области

ственным весом G, направленный вертикально вниз и не зависящий от числа оборотов. Центр тяжести S диска описывает теперь окруж­ ность, центр которой О смещен вниз на величину у0. Радиус окруж­ ности неизменно равен у + е. Следовательно, к настоящему случаю применимы результаты приведенного ранее исследования.

Таким образом всякий вал обладает одной и той же критической скоростью, независимо от того, как он расположен, горизонтально, вертикально или наклонно Е

Зависимость между прогибом от собственного веса и критическим

числом оборотов. Так как по уравнению (15. 18) а

то по уравнению (15. 15а) величина прогиба от собственного веса равна

G _ Gg = _G__

(15.21)

1 Попеременные подъем и понижение собственного веса на величину диаметра круговой траектории центра тяжести вызывают колебание скорости и, следовательно, критическое состояние второго рода, которое, однако, редко имеет значение.

614

или

Таким образом, приняв определенную критическую угловую скорость, мы тем самым одновременно определяем и допустимую деформацию от собственного веса, независимо от того, какими раз­ мерами, в частности, обладает вал. Этот вывод необходимо иметь в виду при выборе критического числа оборотов, полагаемого в основу расчета вала.

Полностью уравновешенный ротор. Если е = О, т. е. если имеется полностью уравновешенный ротор, то согласно уравнению (15. 156), имеем

ту<о2 = лу. (15.22)

Это уравнение, так как оно совпадаете уравнением (15. 17), может, если у не равен нулю,

поддержания равновесного со­ стояния.

Это положение, как и предыдущее, относится к любому роду нагрузки и является основой приведенного в дальнейшем метода расчета.

Изгибные колебания покоящегося вала

икритическое число оборотов. Из критического

Это выражение совпадает с выражением для числа собственных изгибных колебаний такого же вала. Таким образом, критическое число оборотов может быть найдено при помощи экспериментального определения частоты собственных колебаний. Следовательно, крити­ ческое состояние есть не что иное, как явление резонанса между числом собственных колебаний вала и его круговых колебаний, выз­ ванных вращением вала.

б) Случай нескольких распределенных масс. Рассмотрим следую­

615

В этом случае, очевидно, возможны обе изображенные на фигуре формы упругой линии / и II. Обеим упругим линиям соответствуют различные значения числа а. Ввиду симметричности нагрузки, уравнения, выведенные выше для одного диска, могут быть приме­ нены и для данного случая. Отсюда получим для случая /:

При двух колесах, следовательно, возможны две критические скорости, которые для рассмотренного частного случая относятся

как 1 : | 8=1: 2,83.

Результат остается тем же, если учесть и эксцентрицитеты, которые могут лежать и не в одной плоскости, если только эти эксцен­ трицитеты достаточно малы по сравнению с прогибом.

Если оба диска имеют различную величину и произвольно распо­ ложены, то это изменит численные значения, но и в этом случае также получается два значения критических чисел оборотов, одно первого, а другое второго порядка.

Подобным же образом при трех колесах будем иметь три значе­ ния, а при п колесах — п различных значений критического числа оборотов.

Если учитывается и масса вала, то, вследствие вызванного этим равномерного распределения массы, для каждого ротора получается бесконечный ряд теоретически возможных критических чисел обо­ ротов. Для гладкого вала, свободно лежащего на двух опорах, например, критические числа оборотов относятся друг к другу сле­ дующим образом

Следовательно, они более удалены друг от друга, чем у невесо­ мого вала, нагруженного посередине.

в) Влияние окружающей среды на критическое число оборотов.

Так как у центробежных насосов ротор целиком вращается в подавае­ мой среде, например воде или воздухе, то следует ожидать влия­ ния среды, окружающей ротор в двух направлениях.

Во-первых, вода, окружающая ротор, находится в некотором вращательном движении. Вследствие этого центробежная сила р, действующая на вал, уменьшается на величину центробежной силы вытесненного объема воды. Если бы вода обладала той же угловой скоростью, что и колесо, т, е. находилась бы по отношению к колесу

616

в покое, то уменьшение центробежной силы можно было бы учесть тем, что ввести в расчет массу ротора, уменьшенную на величину массы вытесненной воды.

Уравнение (15. 17) показывает, что в этом случае критическая скорость <Dft повышается. Если этот упрощенный расчет и не пол­ ностью отражает действительные явления, ввиду того, что движение воды отличается от принятого нами, то все же заключение о том, что критическая скорость повышается вследствие вращения среды, окружающей колесо, справедливо.

У такому же выводу приходят тогда, когда исходят из частоты собственных колебаний ротора, так как колесо входит при каждом прогибе вала в зону более высокого давления, следовательно, к инер­ ционному сопротивлению его массы прибавляются еще внешние силы, стремящиеся уменьшить прогиб.

Если в соответствии с прежними допущениями (раздел 99) при­ нять, что вся вода, окружающая ротор, вращается с угловой ско­ ростью, равной половине скорости ротора, то вычету подлежала бы только одна четверть массы вытесненной воды, так как центро­ бежная сила возрастает пропорционально квадрату угловой ско­ рости.

При среднем удельном весе материала ротора в 8 г/см3 и удельном весе окружающей его (подаваемой) жидкости, равном 1 г/см3, массу

согласно уравнению (15. 17) критическое число оборотов возросло бы на 1,5%. Остюда следует, что этим влиянием в случае газовых машин можно пренебречь.

Во-вторых, как уже было показано в разделе 15а, между водой и ротором возникают силы трения. Эти силы дают при строго цен­ тральном расположении рабочих колес только моменты вращения, которые не влияют на прогиб. При отклонении вала возникают односторонне действующие силы трения, которые изменяют вели­ чину и направление прогиба. Влияние этих сил на критическое состояние вала заключается в том, что прогиб остается конечным. Между эксцентрицитетом и прогибом возникает фазовый сдвиг, кото­ рый в критическом состоянии равняется 90°. В том же направле­ нии, как и трение колеса, действуют также демпфирующие свойства материала вала.

жидкости, в особенности при подаче воды, становится значительным, в то время, как в случае подачи газа оно значительно менее заметно. Если еще учесть, что при подаче воды гладкие и узкие зазоры у вала и рабочих колес действуют как промежуточные опоры даже при малых отклонениях то становится понятно, что здесь часто вообще не наблюдаются критические режимы. Тем не менее и в этом случае их необходимо принимать во внимание, потому что этим можно избежать быстрого износа промежуточных уплотнений и достигнуть более спокойного хода машины.

617

В последующем мы не будем учитывать влияние среды на крити­ ческое число оборотов.

г) Определение критического числа оборотов произвольно нагру­ женного вала любого переменного сечения.

1.Гироскопический эффект не учитывается. Граммель, исходя из аналогичного хода рассуждений, на основании которых было выведено уравнение (15. 21), получил для общего случая нагрузки следующую зависимость критической угловой ско­ рости первого порядка

здесь

Gi, G2 . . . — нагрузки на вал, в которые включаются также и нагрузки от собственного веса вала;

yi, у2 . . . — прогибы в точках приложения нагрузок под влия­ нием центробежных сил; для этого следует также определить «упру­ гую линию от центробежных сил», причем можно принять любую скорость вращения;

Д, /2 . . . — прогибы в точках приложения нагрузок Gi, G2 . . .

под влиянием земного притяжения в случае горизонтального вала. Для этого следует также определить упругую линию от сил тяжести, причем следует принять в расчет воздействие сил тяжести свободно расположенных масс, которые находятся не между двумя подшип­ никами вала, а на его свободных концах, и направлена навстречу земному притяжению.

Выражение (15.25) совпадает с уравнением (15.21а), если зна­ чение дроби на правой стороне считать средним значением 1//.

Вычисление этого строго правильного уравнения (15. 25) тре­ бует предварительного построения двух упругих линий, что можно осуществить с помощью описываемого в последующем способа Мора. Упругую линию от сил тяжести можно построить без труда с помощью известных весовых нагрузок. Но упругую линию от центробежных сил можно получить только по способу последовательного прибли­ жения. Для первого приближения можно исходить из упругой линии от сил тяжести, для чего вычисляется центробежная сила mfw2 при любой угловой скорости <о (равной 1 или 10 или 100) для каждого отдельного значения массы т и для прогиба f в месте сосре­ доточения массы. Затем ее используют как силу нагрузки для построе­ ния новой упругой линии. Последняя в достаточной степени приб­ лижается к точной упругой линии от центробежных сил, потому что использованная упругая линия от сил тяжести (у которой, как упо­ миналось, консольные массы дают силы, действующие кверху) почти совпадает с искомой упругой линией от центробежных сил. Возникающая при этом ошибка практически не оказывает никакого влияния на конечный результат.

Благодаря этому сходству обеих упругих линий, можно значи­ тельно упростить способ расчета, для чего в уравнение (15. 25)

618

вместо неизвестного значения у вводится упругий прогиб под дей­ ствием веса. Тогда мы приходим к формуле Кулла

Ошибка при этом упрощении большей частью также лежит в пре­ делах точности чертежа.

а — распределение нагрузок по длине вала; б — приведенная эпюра моментов от собственного веса: в — упругая линия от собственного веса: г — приведенная эпюра моментов от центробеж­ ных сил; д — упругая линия от центробежных сил; е — многоугольник сил от собственного веса; ж — многоугольник фиктивных сил от собственного веса: г— многоугольник сил от центробежных нагрузок; и — многоугольник фиктивных сил от центробежных нагрузок.

На фиг. 385 произведен расчет по этому способу вала трехступен­ чатого насоса. На эскизе а изображен вал; на эскизах б, в, е, ж произведено определение упругой линии вала под действием соб­ ственного веса. Вес ротора был разделен на отдельные части сог­ ласно данным табл. 26 и сосредоточен в точках 1—8. Они нанесены на диаграмме сил при полюсном расстоянии Н = 32,5 кг.

619

Построенный на этом основании веревочный многоугольник представляет кривую моментов, создаваемых собственным весом, а именно, величину изгибающих моментов находят, умножая значения измеренных на чертеже ординат на полюсное расстояние Н (измерен­ ного в масштабе сил) и на обратную величину линейного масштаба 1 : т чертежа, т. е. на Нт.

Если непостоянство диаметра вала учитывается тем, что моменты приводятся к общему диаметру (в рассматриваемом случае к диа­ метру в средней части), т. е. умножается на отношение JтЦ (где Jт

иJ обозначают моменты инерции сечения вала в средней его части

ив рассматриваемом сечении), то полученная таким образом приве­ денная площадь моментов даст нам в качестве диаграммы распреде­ ления нагрузок новую веревочную кривую, соответствующую упру­ гой линии, если только полюсное расстояние было принято равным

JmE, где Е обозначает модуль упругости материала вала. В соот­

стей, например, для питания котлов, применяются меньшие значе­ ния Е; Хютте, т. 1). На фиг. 385, е начерчен новый веревочный много­ угольник, который изображает упругую линию вала под действием собственного веса в масштабе, который определяется следующим

1 При этом надо иметь в виду, что для определения площади трапеции, в кг/см2 необходимо умножить масштаб ординат и линейный масштаб чертежа на Н л2.

620