книги из ГПНТБ / Казей, Игорь Иванович. Динамический расчет пролетных строений железнодорожных мостов

тем делить

балку

на

слишком

большое

число

участков

нет

нужды. На точность расчетов

влияет быстрота изменения

пара­

метров и, j и <и от участка к

участку. Поэтому число

и

длину

участков следует брать, сообразуясь лишь

с

тем,

чтобы указан­

ные параметры менялись не слишком резко.

Если

длину

участ­

ков принять равной двум, трем или

k окружностям колеса,

то,

как видно из уравнений (7,5)

и (7,6), нужно изменить только

тригонометрические функции, содержащие время t.

В самом деле, если колесо делает на участке т не один, a k

оборотов, то время его движения по участку будет

2"

~ <0

’

Относительное отклонение

балки

и скорость этого отклонения

в момент, когда колесо достигнет конца т-го участка,

будет:

/im=

um

(qm-i —

cos 9) sin k$m +

+ (/Zm-i — -^-T]msin <p) cos k$m -I-

7)m sin <p;

(7,20)

qm -- (qm-\ — T)m cos 9) cos k$m — um \hm_i — — 7)msin 9 )

x

\

wm

/

где по-прежнему

X Sin/?p,„ + 7)OTC0S9,

(7,21)

Когда при движении по участку 'имеет

место

условие

шт =

= итар, то

отклонения и их скорости определяются уравнениями

(7,16) и (7,17). Подстановка в эти уравнения

приводит к

выводу:

hm =

— T.jm U2m £coscp;

(7,22)

qm = qm—\

+ z/m «m/г sin 9. ..

(7,23)

Выражения (7,22)

и

(7,23)

отличаются от (7,18) и

(7,19)

тем,

4 Зак. 1873

49

Когда периодические силы не зависят от

скорости движения

нагрузки и правая часть уравнения (7,2) имеет

вид:

p/mz/^sin(0)mZ ср),

коэффициент rim равен

шт

V •

(7'25)

У‘- “ ■'« -V •---------------- „

’•р

1______1

/

Шт \

1

9

I

I

U>n

\ rJ'P /

Для случая движения

wm = llm^p

формулы

связи (7,18) и

(7,19) изменяются так:

а) когда периодические силы пропорциональны первой сте­

пени скорости:

hm =

— ~jn ит cos ср,

(7,26)

qm = qm-\ + -jmu^ sin cp;

(7,27)

б) когда периодические силы не зависят

от

скорости движе­

ния нагрузки:

hm~ hm—1

~jт COS ср,

(7,28)

Qin — qm—\ 4“ ~jm Um SIH V-

(7,29)

отклонений.

найдем

Из уравнения (7,13)

q,n~'

1

,

sinpm

'm-l — ^^Sincp

cospffl,Ят -|

Um cos pm

1 — cos pffl T^cosep.

'm

(8,1)

cospm

Подставив теперь выражение Qm-1 в

уравнение

(7,12),

после

преобразований

получим

= 1

sin

1 — cos рш

Sin ф —

т

“т

COSpm

^

COSsJ'"'

l,’m

------- „

т

cos pm

1

sMm

COS ср.

(8,2)

----------- о

По аналогии

с

C0SPm

т

полученным выражением (8,2)

для относитель­

ного отклонения

i

можно написать

такое уравнение:

_

1

•

sinpm-i„

1

т—1 —

Чщ— I

7----

Qm—\ Т

---- п------

COS Pm—1

COS Pm—1

аР

1— COS pm—1

7i'n-’

.

1

Sin pm—1

,o

u)m—1

'

cos В

,

Sln 9 ~~u----- *соя"Й -------71m~1 C0S 91 <8-3>

COb

—i

Um—i COS

рщ—i

Подставив в уравнение (8,3) выражение (8,1) для qm-\ и вы­

полнив соответствующие преобразования, получаем

Ищ-

cos р,

,1т-

cospm

Ят

1

1 sin

р’.т— 1

Л.и

SinPm (h

ар

•

\

—

'

m cospm

\hm-'

— 7)т51Пф

1

— COS P„

'т

j

Um—}

,

--------- ----- — flm COS ф +

sin Pm—1

lm~2 ~

cos pm----------Y

ар

1

—COS Pm-1

-/)m-1

SIП ф — 7]m— 1

COS ф.

(8,4)

— »m-1 ------ •----

-7—5--------

—1

Sin уm— 1

Умножив обе части

уравнения

(8,2)

на

“--у-,

приведем его

к виду:

‘

т

Z^L-/Z =...

1

а + ....

11-п

h

, _1 ~cospm

sin?,”

cosf),

4'^

sinMosfc,

sin^cosf>mX

1

(8,5)

X ^'П'Р-^^тСОЗф.

4*

51

+ (rlm — 7]m-l)COS? = 0.

(8,6)

Интересно отметить, что в уравнении (8,6) связываются

меж­

ду собой отклонения не при двух положениях колеса,

а при

трех. Условимся поэтому называть его уравнением трех

откло­

относительных скоростей

отклонений:

1

qm

COS Pm

COS Pm-1

"msinPm

Um sin Pm

Mm-1 Sin pm—I

+ «m-l Sill Pm-1 q'n

2

«p

Kp

sin ? —

0>m Г‘т

1

/ 1

~COSp

‘

1 — COS pm-1 T,m-1 1

COS? = 0.

(8,7)

I

Si’11 3m

Um- 1 sin pm—1

Из уравнений (8,6)

и

(8,7) получим уравнения связи для двух

частных случаев.

колеса на

балку равен нулю (<р = 0).

Обозначая

(Л)?=о = «

и

(<7)т=о — v, получим

— а

sTtF COS3m-l )

«m-i +

Sin 3m

COS m + Sin Pm-1

/

I

•_ q

z,

v

„

— n-

(8,8)

“Г

O-in—2 “Г

Cm

^m—1

— <J,

Sin pm-1

1

v

_ /

COS 3m

COS 3m-1

\

»msinpm

m

\llm Sin Pm

'

//m-1 sin Pm-1 /

1

Vin—2

-j-----------: g-----

U,n-\

Sin pm-1

~

/1—COS pm..

tn

,

1—COS pm-1

„

,\_n

I

•

r\

1

Z/m-1

*

a

lffl1

1

" 'J'

I

um Sin

Pm

Sin Pm-1

/

II. Угол сдвига фазы действия периодической силы при

(К \

.

<р =

Обозначая (А)

к = b и

(<?)

„

— w, получим:

¥ = ~2

' = “2“

4т

sTHe- cospm+-^-cos Pp^K-.

sin£m

Sinpm

Sin;jm-1

I

Sinpm-1

U

«р

1 — COS

ар

1 COS Pm-_i

\

_

,Q .

т^т

sin m

------

•—■—s---------Um-1

— 0;

(8,10)

0,pi—1

Sin Ppi—1-----------/

1

(

cospp,

cos рр,-1

---------------yy

m

\

u^sinPp,

«m-i sinp^-i

"piSinPp,

1

-----

,

Kp

"П

(8,11)

™т-2~г

—

i sin p^-~i------------ u>m

Понятно, что

уравнения

связи

между

тремя отклонениями,

или тремя скоростями отклонений,

будут

справедливы

пока су­

ществуют условия:

Когда

<>* /п— =!=■

lltn—1 Яр

И

о>,р =/= Ит Лр .

имеет

место

совпадение

частоты загруженной балки

с частотой действия периодической силы

(^т = ита.р),

возраста­

ние отклонений

и их

скоростей определяется формулами

(7,18)

на конце участка т,

когда условия движения колеса на

участ­

ках т — 1

и т таковы:

^т—1 :

Utn—1

&-р И Olpj

Ищ'^р •

Дело в том, что уравнения (8,6) и (8,7) будут содержать

неопределенные члены,

поскольку при указанных условиях:

sinp,„_i=0,

cospm_j = l,

TJpj — I

= ОО.

Можно избежать

затруднения при

нахождении относитель­

ного отклонения

hm, используя уравнение связи четырех

после­

довательных отклонений:

sin й

bm—\ cos рт)

Sin pm—2 (Лт—з

Л/п—2 cos

2) —

(

aP ■

1 — C0S

•

3

\

m l,,m

sin

"h ~]m— 1

4m— 1 “b

— COS p,n_2

1

Ът-2 sin cp 4-

4- 4m—2--------

шт—2

sin pm_2

— VJm-2) COS<p

- 0.

(8,12)

Аналогичный вид имеет уравнение связи

четырех

последова­

тельных скоростей отклонений:

„ JnR (<7т — Я’п-1 cos (3„,) -|-

11т dI 11 rm

- ----- 4—д-----(qm-3 — qm~2 cos ,„_2)

tint—2 SIH р„г_2

aP

r(m_2) sin<p —

<om—2

1 — cos

,

2

«m Sin (3m

4" n]rn— 1

1 — COS pw-2

7],n-2

COS <p

= 0.

(8,13)

«m-2 Sin Pm_2

условие, справедливость

которого

можно легко

показать:

и

ар

1 — cos [3

1 • з'

<о

sin [3

71 “*

если

W И7.р.

Для характерных частных случаев уравнения (8,12) и (8,13)

будут иметь следующий вид:

I.

Угол <р — 0

(ат — а,п-1

COS [3m)

+

“т

(ат_3 — ат_2 cos (3„г_2) +

Sinpm

Sinpm-2

~i‘

^lm—2

~ 0,

(8,14)

-n R-(vm — vm-i cos3,„) +

um 5111 Pm

um-2 sin (3,„_2 ^Vm

3

t»m_2COS (3,„_2) —

1 — cos |3m

~ ,

2

.

1

COS (3m—2

\

(8,15)

^Sin(3m

г

7m—1

Um—

1

+ ~

R

2

I — U.

Um—2 Sin p,n-2fim—

/

II.

Угол ср — ~

«in R

Ьт—\ COS 3m)

~т—-/г---------(Лт_з

Ьт—2 COS 3m—2)

Sinpm

Sin 3m—2

/

о.р

1 — cos 3

з

-

Г *1т-' Um-'

У-р

1

COS Pm—2

\ /л.

(8,16)

+ /Z"!-2 Wm-2

Sinpm_2 71'П-2 ) " ’

„ ■

?

ft

(wm — Wm-x COS pm) +

"ms|npm

------------ i—Й-------

(^m-3

~ ^m-2 COS pm_2) +

4m-2 Sin 3m—2

°-P

v,

(8,17)

-------- 4m—2

ОТКЛОНЕНИЙ,

ВОЗМОЖНЫЕ В МОМЕНТ НАХОЖДЕНИЯ КОЛЕСА

НА ГРАНИЦАХ УЧАСТКОВ

Уравнения (7,12) и (7,13) показывают, что отклонения и ско­

рости их при

нахождении колеса на границе каждого участка

зависят не только

от средних для участка значений параметров

и, j и <0, но и

от

угла ср сдвига фазы действия периодической

когда колесо достигло конца первого участка.

Считаем, что балка

в момент

въезда на

нее колеса

находилась в состоянии

покоя

(Ло = 0; q0 = 0):

Л1 — — — v]i sin Bi cos ср

— 7]i (1 — cos Bi) sin ср,

(9,1)

Ui

(i>i

<)i — Ui — T^ sin Pi sin ср л-

7,1(1 — cos 3i) cosep.

(9,2)

0)1

Видно,

что Л1 и

7i выражаются

только

через сумму триго­

отклонения

и скорости их будут:

Л2 = — ^1 sin

/?icos р2-------t|2cos (32cos9 -j-

ti2

и2

— ^2(1• — cos (З2) sin 9;

(9,3)

О)2

q2

= <7icosp2 — w2/?isin p2 + i<2 — T(2sin B2sin<p +

(«2

T-i]2(l—cos 2) cos 9.

(9,4)

Подстановка в выражения для h2 и q2 значений (9,1) и (9,2)

для /?х и

91

снова приведет

к сумме тех же тригонометрических

тами.

В выражении

для й2 и q2 по-прежнему

нет

каких-либо

постоянных

членов,

не

зависящих от угла

9.

Следовательно,

и в

момент

нахождения

неуравновешенного

колеса

на конце

Лт = 5й81п9 + СЛсо59,

1

qm = sq sin 9 + c9cos 9 ,

j

' ’ '

где Sh, Ch, Sq

и Cq — некоторые постоянные

величины, завися­

щие от средних значений функций и, j, о>

на пройденных участках балки.

Так как система (9,5) справедлива

при всех

значениях угла 9,

в том числе и

для значении 9 = 0 и

9—

,

то нетрудно за­

Sh — bm,

Ch = ат,

Sq

И Сq — Ц,и,

где

ат = (Лот)?=о,

Ьт=-- (Мт)е = ^ ,

|

, .

г

1 2

'

(9,6)

^ = (9т)х = 0 И

^m = (9m)o=^-j

Поэтому уравнения относительных

отклонений

и их скоро­

hm= 6msin9+ amcos9,

(9,7)

qm = i£^sin9 -J- vmC0S9-

(9,8)

Полученная форма уравнений

позволяет указать такие

углы

и

сДвига фазы действия

периодической силы, при

кото­

нений или их скоростей в момент, когда

неуравновешенное ко­

лесо находится на границе данного участка т.

ее нулю:

Находим производную

hm по

и

приравниваем

dh =

cos <pmh — ат sin

= О,

значит,

ит

(9,9)

а максимально возможное

отклонение

составит

относительное

величину

(^m)max = ]/

•

(9,10)

колесо войдет на пролет с углом сдвига фазы действия

перио­

дической силы, определяемым из условия

=

(9,11)

ит

Максимальная возможная относительная скорость отклонений

будет

(<7m)max = V’

(9,12)

стей будет решена, если

будут

найдены

значения отклонений

и скоростей их для двух

частных

случаев,

отвечающих въезду

колеса на балку со сдвигом фазы действия

периодической силы

Среднее значение их для каждого участка

определяем по

фор­

мулам:

1

.

.

—7—=—>

=

| z 1

+ 2sin2^

где хт — расстояние от

опоры

со

стороны

въезда до середины

участка т.

значения

функций ит и jm на

Принятые средние численные

участках рассчитываемой балки указаны на

схеме рис. И.

имеет

При движении колеса по всем участкам,

кроме шестого,

место условие

Чт

#= ‘%-