книги из ГПНТБ / Казей, Игорь Иванович. Динамический расчет пролетных строений железнодорожных мостов

tgr =

(1 —

] o> sin (? + 81) — г cos (<p + Si)

Ni

— Ns

+ 2^ j

(5,20)

1

w sin (<p4-82) — г cos (<p + B2)

Будем иметь дело не с

абсолютными отклонениями у и ско-

„

dy

а

с их

относительными величинами:

ростями отклонении

Ц- ,

dt

1

У

и

I

dy

h=

~

q -------

Р

Р%

dt

Постановка произвольных постоянных дает:

h =

j[— TVi c°s (tp f

Oi) + A4cos(<? 4- 82)j

x

sin (/ар — г

e~i{ H- ./Vicos

i-_L

sin 7

2n

— Л^2 cos

,

+ T„

(5,2l>

q =

r °i) + jV2 cos (<j> 4- o2)]

x

— cos( |/ ар — 312t

4- y)---- —sin (]/"ap— e3 t 4~ 7)

cep

Яр

g-г/ .---

sin f

1 —

—WiSin

1 —

4~ <p-1- 6i

4-

2n/ aP

1 i

sinf 1/у2п_ ezt _i_ 7п)

а — -Tj- и— Ni cos о14~ Л^г cos 62) —---------—------- -1— e~'d 4-

2 1

sin

7i

4-JV1cosl /1— 2^) wf45i

—A^2cos

J

>2

, (5,23)

2п

ствия периодической

силы на

, уравнение относительных

отклонений

имеет вид:

b = -1.! (У±sin 81 — М2 sin 82) sin

\е~'л—

2

|v

sin у2

— Л/isin

о;/

-[■ 81 + N2 sin

*2 , (5,25)

причем

(Л\ sin 81 + A?2 sin82) x

Решение рассматриваемой

задачи

приведено

в работах

проф. С. А. Ильясевича

выводов

имеется в

работах дру­

Окончательное решение без

dt2 + 2г dt + а2у = A sin Д/ sin r ’,

(5,27)

где

у — полуамплитуда колебаний середины балки;

t—время, отсчитываемое от момента

въезда колеса

In k

на балку;

, ,

z — ^n~r^rp---- коэффициент затухания, определяемый опытным

туда сводных затухающих

колебаний

балки

уменьшается в k раз;

А =

Д2 = од2;

Мр

5П/-Д2— максимальное значение

пульсирующей силы,

возникающей при качении неуравновешен­

ного колеса по балке;

Мр— приведенная масса балки;

/ С

2-

частота

собственных

колебаний

х=1/ -г- = -=А— круговая

I

Мр

2 р

балки;

вертикальной

жесткости

С — характеристики

балки;

частота

воздействия пульсирующей

Д = io — круговая

силы,

равная

числу

оборотов

колеса

Уравнение, рассматриваемое проф. С.

А.

Ильясевичем, совпа­

дает с уравнением (5,2),

если принимать

<р

= 0. Поэтому реше-

1 Проф. С. А. Ильясевич. Основы динамического расчета балоч­

ных металлических мостов.

Госмашиздат, М., 1934. Его же. Металличе­

ские мосты. М., Воениздат,

1940.

сплоток по металличе­

2 Статья И. И. Казея.

Пропуск паровозных

ние, полученное проф. С.

А. Ильясевичем, следует сравнивать

с решением, полученным

нами для отклонения а (при ср = 0)

+ гп2 sin у2) sin i.t + (ni sin 71 — п2 sin 72) cos /7

(5,28)

Для сокращения

записи

приняты следующие обозначения:

Д1 = Д —р;

Д2 = Д + ; л = ]/а2 —г2;

_____ 1__________ .

П1

/(а2_ Д2)2_|_ 4Д2 £2 ’

________ р______ .

I (а2— Д2)2+4Д1 г2’

71= arc tg

а2 —Д?

2ДХг

Решение (5,28) будет

совпадать

с приведенным

выше реше-

нием (5,23) и удовлетворять

обоим начальным условиям:

dy

1/=о = О

и

dt t=o = 0,

пользовался проф. С. А. Ильясевич,

имеется следующая связь:

Д‘= ( 1 — 2п ) ш "

1

1 \

2п °’’

Аф

N2

П1= — И , /12 = -7 ,

U)2

U)2

/. = ]/"Ир — е2,

tgYi = “Tpr и

=

Зак. 1 873

33

Поэтому:

51+72 =—cos§2;

sin 71 = —cos §i;

cos yi = sin 81;

coS72

= sin§2;

nisin(AU + 71) = —cos

U)2

n-2 sin (Д21 + 72) = — — cos

(O2

Построение диаграмм отклонений

по уравнениям (5,23) и

cos 81 = cos S2 = 1

и

sin Si = sin о2 = 0,

§i = 82 = 0,

— Mi + N2

ар

cos ср

A/i

,

1

\

—У2

1

,

1 \

' о)

' sin® ’

\

1

— о-

/

у

+

о-

2п

2п<

sin

а.р'—г2

т)

sin у

X — tg<p + cos a

t.

а.п

‘

После подстановки полученных

значений в

уравнение

(5,21)

и соответствующих преобразований

можно прийти к следующему

выражению для

отклонений:

2

,

1

Ni

— sin an t —

Лб=° = Т

2п

2п

аР

Р

— Ni sin ( 1

—

wt + N2 sin ( 1

+ J- o>t\ sin co 4-

\

2n

\

2n)

1

4-у (— Ni + N2) cos apt + Nicos fl —

51-

\ / —

2n

/

— N2 COS ( 1

4-

cos®.

(6,1)

\2n

Наибольший интерес представляет случай, когда круговая

скорость

вращения неуравновешенного

колеса

совпадает с

кру­

ходит со скоростью, называемой

критической;

возникают коле­

бания резонансного

типа.

Условие <о = ар дает:

..

4п2

N2

4н2

,

■У1--- 5-----------7 ,

-- ---- ------- !--- у

4п — 1

4n + 1

"■(‘-*a)-"

1Л _ 32n3 —4п

1 + 2п) ~

16п2 — 1

— ;V1 + /V2

=

32n3

16n2 — 1 '

Поскольку

_ x _ 2x ,

2k x

I

2k ,

V

u>D

ap

T'^D

то

2

' 32n3 — 4n

.

o .

4n2

sin(2~Xn — тсХ) —

[/i== o]w = ap —

2

16^—1

sm2./-n

4n — 1

4n2

sin (2лХп 4- лХ)

sin <p +

32n3

cos 2л/п +

4n + 1

16n2—

1

------------, COS (2ktn — лХ) 4-

4n%

cos<p

-------—f СОЗ(2лХп + лХ)

4n — 1

v

4n

+ 1

Будем искать отклонение середины балки при таких положе­

ниях колеса на балке, когда Хи = 1,

2,

т,..., где т — целое

число, меньшее п.

X

будем приписывать индекс т,

понимая под

Величинам h и

т целое число

оборотов, которое успеет

сделать

колесо к мо­

sin2rtXn = 0;

соз2лХп = 1;

sin(2лХц — лХ) = — sin лХт;

cos (2к'/.п — лХ)

= cos лХт;

sin (2лХц Ц- 7сХ) = sin лХт;

cos (2к).п + лХ) = cos к\т.

Отклонение будет

I 1“>=^р = 16п2__1

I 8п sin

sin ? — sin2

cos <р j .

(6,3)

Максимум функции

hm будет при въезде колеса

на

балку

со сдвигом фазы действия

периодической силы

на

некоторый

угол <рш, который можно найти

из условия

_ dhm _ р

d<?

'

Используя это условие,

легко

получить

ф

sin к\т

----------------- —

т

о .

8nsin2-^

£

32 п3

g^-2sin2KXm.

(6,4)

(Лт)тах — 16п2 —

Так как в задачах, с которыми мы имеем дело, длина

про­

лета балки существенно больше

длины окружности неуравно­

вешенного колеса и параметр

п

всегда

больше единицы,

выра­

жение (6,4) можно упростить так:

(/гт)тах

2п sin2

.

(6,5)

Рис.

9. Объемлющая «трубка» максимальных амплитуд

динамических отклонений середины балки

Уже при

п =

1 приближенное выражение (6,5) дает для

Лт — 1 результат,

отличный от точного решения менее чем на

7,5%. При п = 2 эта разница составляет менее 2%.

Выражения (6,4)

и (6,5) можно толковать как уравнения объем­