книги из ГПНТБ / Казей, Игорь Иванович. Динамический расчет пролетных строений железнодорожных мостов
.pdfто площадь сечения нетто поясов главных ферм пролетного строе ния в середине пролета примерно будет равна
и) = А |
М и.зг _ |
А(Р ~i~ к) I2 . |
(21,6) |
|
ha |
8 Ло |
|
где р — постоянная нагрузка на |
пролетное строение; |
|
|
k—расчетная эквивалентная нагрузка (по нормам проекти рования) с учетом динамического коэффициента, если таковой вводился в расчет;
I — расчетный пролет;
h — расчетная высота ферм в середине пролета;
а— расчетное допускаемое напряжение по нормам проекти рования;
А— некоторый, достаточно постоянный для балочных ферм
коэффициент, близкий к единице.
Момент инерции пролетного строения I в середине пролета
может быть выражен так: |
|
1 = В-2^у=в^, |
(21,7) |
или после подстановки вместо ш значения (21,6) |
получим |
/ - АВ (p + k)l4i |
(21,8) |
16а |
|
где В — коэффициент, аналогичный коэффициенту А.
По аналогии с простой балкой можно считать, что характе
ристика жесткости С пролетного строения находится в следую
щей зависимости от перечисленных выше величин: |
|
EI |
(21,9) |
C = D.^t |
|
где Е—модуль упругости материала; |
|
D — некоторый постоянный для ферм коэффициент пропор |
|
циональности (для однопролетной сплошной |
балки по |
стоянного сечения |
D = 48). |
|
||
Подставляя вместо I его выражение (21,8), получаем |
||||
С = |
АВ (Р |
|
lZh = N^p + h , |
(21,10) |
|
1Л |
16а |
16/а |
|
где N = ABD — некоторый обобщенный, достаточно |
постоянный |
|||
коэффициент.
Величину приведенной массы Мр пролетного строения можно выразить так:
где g—ускорение силы тяжести.
162
мр
Значит, отношение |
равно |
|
|
Мр_17 |
16 |
5 р |
*I |
С 35 |
Ng |
Е р + k |
h |
Теперь формула (21,4) приобретает вид:
Тр = \/^* . |
(21,13) |
|
р |
|/ Е p + k у h |
|
о / 272 |
— постоянный коэффициент. |
|
где ’-2'Р 3W |
|
|
Можно ожидать, что при правильном выборе значения коэф
фициента а расчетные |
периоды колебаний будут весьма близки |
к опытным величинам. |
Возможное отклонение опытных данных |
от средних величин видно из самой структуры формулы (21,13), которую будем называть основной.
Формула (21,13) может быть представлена и в других видах.
В самом деле, отношение нагрузок |
может быть заменено отно |
|
шением напряжений |
|
|
Р + k |
<5 |
’ |
где -зр — напряжения в поясах |
средней панели от постоянной |
|
нагрузки. |
|
|
Следовательно,
Что касается коэффициента а, то теоретическим путем его значение может быть определено лишь ориентировочно, так как значения коэффициентов А, В и D, вообще говоря, могут быть
известны лишь |
приблизительно. Если полагать по |
аналогии |
|
с двухопорной |
балкой постоянного сечения, |
что |
АВ = 1 и |
D = 48, то |
N = ABD = 48, |
|
|
|
|
|
|
| 35 Ng 1^0,0165 сек?1м = 0,1284 |
сек!м'В |
||
и |
а = 0,8064 сек!м'В. |
|
|
|
|
|
|
Однако предложенные формулы будут давать значительно более
благоприятные результаты, если будет взято не теоретическое
значение коэффициента а, а средние его значения, найденные из анализа имеющихся опытных данных.
11* 163
|
|
|
|
|
Таблица 29 |
|
|
|
Генеральные размеры |
Периоды собственных вертикальных |
|||
Нормы *про |
ферм в м |
|
колебаний в сек |
|
||
|
|
по предло |
|
|
||
оптирования |
|
|
определен |
разница |
||
пролет 1 |
высота h |
женным фор |
||||
|
|
мулам при |
ные во время |
в % |
||
|
|
|
|
опытов |
||
|
|
|
|
а— $,§сек/м'12 |
|
|
|
|
33,44 |
1,56 |
0,150' |
0,16 |
— 7 |
|
|
54,85 |
7,31 |
0,240 |
0,24 |
0 |
1875 |
г. |
54,85 |
7,13 |
0,240 |
0,26 |
— 8 |
54,85 |
7,13 |
0,240 |
0,26 |
— 8 |
||
|
|
65,74 |
6,29 |
0,310 |
0,27 |
13* |
|
|
109,20 |
11,37 |
0,450 |
0,477 |
— 6 |
|
|
22,40 |
2,35 |
0,131 |
0,13 |
1 |
|
|
32,92 |
3,66 |
0,139 |
0,15 |
— 7 |
|
|
33,12 |
3,66 |
0,185 |
0,16 |
13* |
|
|
43,69 |
7,16 |
0,189 |
0,18 |
5 |
|
|
43,89 |
5,44 |
0,173 |
0,18 |
— 4 |
1884 |
г. |
44,40 |
4,76 |
0,189 |
0,17 |
10 |
54,86 |
6,51 |
0,234 |
0,21 |
10 |
||
|
|
55,47 |
7,16 |
0,220 |
0,22 |
0 |
|
|
54,86 |
5,59 |
0,250 |
0,225 |
10 |
|
|
65,84 |
7,01 |
0,298 |
0,31 |
— 4 |
|
|
66,04 |
9,04 |
0,258 |
0,24 |
7 |
|
|
87,23 |
9,35 |
0,357 |
0,36 |
— 1 |
|
|
87,47 |
10,81 |
0,335 |
0,35 |
— 4 |
|
|
54,85 |
7,64 |
0,205 |
0,22 |
— 7 |
|
|
66,50 |
8,46 |
0,245 |
0,26 |
— 6 |
1896 |
г. |
78,0 |
10,97 |
0,287 |
0,275 |
4 |
|
|
78,0 |
10,97 |
0,287 |
0,28 |
1 |
|
|
109,73 |
15,44 |
0,378 |
0,41 |
— 8 |
|
|
22,80 |
3,00 |
0,094 |
0,10 |
— 6 |
|
|
33,20 |
4,50 |
0,137 |
0,13 |
5 |
|
|
54,90 |
7,68 |
0,196 |
0,19 |
3 |
|
|
55,10 |
8,56 |
0,186 |
0,19 |
— 2 |
1907 |
г. |
65,88 |
8,55 |
0,238 |
0,25 |
— 5 |
76,80 |
8,00 |
0,288 |
0,27 |
6 |
||
|
|
80,48 |
11,87 |
0,262 |
0,28 |
— 7 |
|
|
87,00 |
14,00 |
0,276 |
0,28 |
— 1 |
|
|
109,20 |
17,32 |
0,360 |
0,38 |
— 5 |
|
|
109,20 |
17,82 |
0,375 |
0,40 |
— 7 |
1923 |
г. |
66,00 |
11,60 |
0,210 |
0,22 |
— 5 |
|
|
66,24 |
8,00 |
0,249 |
0,26 . |
— 4 |
1925 |
г. |
109,20 |
18,20 |
0,338 |
0,33 |
3 |
|
|
109,20 |
18,20 |
0,338 |
0,35 |
— 4 |
1930 |
г. |
45,0 |
9,00 |
0,158 |
0,153 |
3 |
|
|
109,2 |
18,00 |
0,331 |
0,325 |
2 |
* Пролетные строения, у которых верхние пояса интенсивно работают на местный изгиб.
164
Продолжение
|
Генеральные размеры |
Периоды собственных вертикальных |
|||
Нормы про- |
ферм в м |
|
колебаний в |
сек |
|
|
|
по предло |
|
|
|
е ктирования |
|
|
определен |
разница |
|
пролет 1 |
высота Л |
женным фор |
|||
|
мулам при |
ные во время |
в % |
||
|
|
|
опытов |
||
|
|
|
а=0.9 сек[м.х1г |
|
|
1947 г. |
44,0 |
8,50 |
0,16 |
0,16 |
0 |
66,0 |
8,50 |
0,247 |
0,265 |
—6 |
|
|
77,0 |
14,00 |
0,243 |
0,248 |
—2 |
|
110,0 |
14,00 |
0,410 |
0,391 |
4 |
Опытные значения коэффициента а были определены по фор муле
,------Т-^=—г (21,15)
I/---
|/ Е p + k h
для 50 разнообразных пролетных строений, где экспериментальным путем были надежно установлены периоды собственных вертикаль
ных колебаний. Эти подсчеты показали, что значение коэффициента
а меняется в пределах от 0,8 до 1 и его следует принять в размере а = 0,9 .*сек.1м'1 Только для двух изученных пролетных строе ний, работа верхних поясов которых имеет специфический харак тер (сжатие с местным изгибом при сравнительно большой длине
панели), этот коэффициент оказался равным 0,765 .*сек1м'1 Таким образом, если принять указанное среднее значение коэффициента а,
то в самых неблагоприятных случаях можно иметь ошибку, состав ляющую примерно 10%. Это вполне удовлетворительная точность для подобных расчетов. Нужно учесть, что ошибки, связанные с получением опытных значений, могут составлять 5—7%.
Для оценки достоинств предложенных формул приводим табл. 29 расчетных и опытных значений периодов вертикальных колебаний,
найденных для различных металлических пролетных строений
мостов |
нашей железнодорожной |
сети. |
§ 22. О |
ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ |
МЕТАЛЛИЧЕСКИХ БАЛОЧНЫХ |
ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ МОСТОВ
Собственные свободные колебания пролетных строений мостов
имеют затухающий характер, амплитуды этих колебаний непре рывно уменьшаются. В процессе колебаний энергия не только пере ходит из одной механической формы в другую (из потенциальной
вкинетическую и обратно), но вследствие наличия в системе трения
инеупругих сопротивлений превращается в тепловую, звуковую, электрическую и др. Принявшая эти формы энергия рассеивается
вокружающей среде.
165
Неупругие сопротивления системы колебаниям принято делить на внутренние и внешние. К внутренним прежде всего относятся неупругие сопротивления в самом материале при его деформациях или при изменении напряженного состояния. В конструкциях,
имеющих соединения отдельных элементов между собой, к внутрен ним сопротивлениям относят также трения во взаимных соеди
нениях элементов конструкции.
Внешними сопротивлениями считают трение, существующее в опорных частях данной конструкции, трение частей верхнего
строения пути при смещениях во время колебаний, лобовое сопро
тивление воздуха и т. д.
Наиболее часто изучались неупругие сопротивления в самом ма териале. Силы неупругого сопротивления, возникающие от внеш них причин, по сути дела еще не подвергались систематическому изучению.
Непосредственно измерить силы неупругих сопротивлений от разных причин в таком сложном сооружении, каким является
пролетное строение моста, нельзя. По характеру свободных колеба
ний можно составить некоторое представление лишь об общем, сум
марном значении всех этих сил. Обычно для этого изучаются за коны изменения амплитуд свободных затухающих колебаний.
Когда система имеет одну степень свободы и совершает соб ственные затухающие колебания, ее отклонения от положения ста
тического равновесия отвечают следующим общим законам.
1. Условие динамического равновесия сил (принцип, сформули рованный Даламбером):
(22,1)
где у — отклонения массы системы во |
время колебаний; |
|
d2y |
ускорение; |
|
-т„-—мгновенное |
|
|
dt2- |
колеблющаяся масса системы; |
|
М — приведенная |
||
С — характеристика жесткости системы; |
||
R — неупругие силы сопротивления |
системы. |
|
2.Условие сохранения энергии:
1 |
1 |
/dv\2 |
(22,2) |
|
-Су^-М{^\ |
=W0~W, |
|||
£ |
£ |
\ а* / |
|
|
где дополнительно: |
|
|
|
|
dy — v — мгновенная ркорость |
отклонении системы; |
|
||
Wo—энергия, сообщенная системе в начале колебаний; |
||||
W — энергия, рассеянная |
системой за время t, |
прошедшее |
||
с момента |
начала собственных колебаний. |
|
||
Легко показать, что уравнение динамического равновесия (22,1)
непосредственно вытекает из уравнения (22,2). Беря производные
166
правой и левой частей уравнения (22,2) по t, приравнивая их
друг другу и сокращая на общий множитель dyat имеем
(22,3)
Энергия, расходуемая системой, представляет собой работу сил внутреннего сопротивления на соответствующих перемеще ниях. Производная этой работы по перемещению, как известно, равна самой силе, т. е.
dW =
(22,4)
dy “
Таким образом имеем лишь различные дифференциальные формы уравнения отклонений свободных затухающих колебаний.
Решение дифференциального уравнения (22,1) в общем виде, когда функция имеет неявный вид, невозможно. Для выяснения характера сил сопротивления используют следующий путь. На основании различных предварительных соображений задают 7? — конкретное аналитическое выражение и получают в математиче ской форме законы уменьшения амплитуд во время собственных колебаний. Сопоставляя полученное уменьшение амплитуд с экс
периментальным, выясняют, насколько то или иное принятое ана
литическое выражение для 7? соответствует действительности.
Рассмотрим законы изменения амплитуд колебаний при раз
личных |
неупругих сопротивлениях системы. |
|
А. Внутреннее неупругое сопротивление системы пропорцио |
||
нально |
первой степени скорости движения. |
Эта гипотеза о внут |
реннем |
неупругом сопротивлении материалов была высказана |
|
в 90-х |
годах прошлого столетия Фохтом. |
В настоящее время |
она имеет наибольшее распространение при динамических рас
четах сооружений. Предполагается, что |
|
7? = Л^, |
(22,5) |
где L — коэффициент внутреннего неупругого |
сопротивления, |
численно равный силе сопротивления системы при скорости,
равной единице.
Уравнение динамического равновесия системы (22,1) прини мает вид:
а► + al |
= |
(22,6) |
Не проводя самого решения |
уравнения (22,6), |
напишем его |
вокончательном виде х:
1Проф. С. А. Бернштейн. Основы динамики сооружений, Стройиздат, М., 1941.
167
|
у — e~st |
Уп |
/ |
|
2 |
(22,7) |
|
— sina£ 4- у0 |
\ |
cos а/ -j---- sin at |
|||
|
|
a |
|
a |
|
|
где e = |
—коэффициент затухания; |
|
|
|||
|
|
a0 — частота |
собственных |
колебаний |
в |
системе |
без |
||||
|
|
|
I |
, ' ~с\ |
|
|
|
|
|
||
|
|
затухания ^a0=j /И/ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
а — частота |
собственных |
колебаний |
в |
системе с |
за |
||||
/ dy \ |
туханием; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
—скорость |
движения в |
момент начала отсчета |
вре- |
||||||||
Уо = I |
\ |
||||||||||
\dt //=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
мени; |
|
момент начала |
отсчета времени; |
||||||
|
|
у0 — отклонение в |
|||||||||
|
|
t—время, прошедшее с |
момента |
начала |
колебаний. |
||||||
Если система выведена из положения равновесия |
путем от |
||||||||||
клонения |
|
на у0, а свободные |
колебания начались без толчка |
||||||||
(Уо = о), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
у = уо |
I cos at -1- |
sin at j . |
|
|
|
(22,8) |
|||
Максимальные отклонения системы будут наступать в моменты |
|||||||||||
времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = — п, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
где |
п — целые числа. |
|
|
|
Наибольшие отклонения системы по прошествии т полных |
||
периодов колебаний будут |
|
|
|
|
_ |
2-т |
(22,9) |
|
Ут = Уов~‘ |
“~= Уо е~-Тт = уо е~'}т |
|
где |
2- |
|
|
Т= —---- период собственных колебаний системы. |
|
||
Затухание колебаний системы характеризуется постоянным коэффициентом г, равным
1п^
e = L |
Ут |
(22,10) |
2M |
mT |
* |
168
Моменты времени t0, когда отклонения системы равны нулю,
определяются условием
t = — n---- Larctg—. |
(22,11} |
аа е
Диаграмма свободных затухающих колебаний, когда силы неупругого сопротивления пропорциональны скорости колебаний,
приведена на рис. 43.
Б. Колебаниям препят ствуют только постоянные
силы трения, направленные против движения. Положим,
что причиной неупругого
сопротивления системы яв ляется сила трения F,воз
никающая |
на |
подвижных |
|
|
опорных |
частях балки (рис. |
|
|
|
441. Она |
пропорциональна |
|
|
|
величине опорной реакции и |
Рис. 43. Диаграмма свободных затуха |
|||
направлена в сторону, про |
||||
тивоположную |
движению. |
ющих колебаний, когда силы неупругого |
||
Если сила |
F вызывает в се |
сопротивления пропорциональны ско- |
||
редине пролета |
отклонение, |
|
тормозиться |
|
равное А, |
то вертикальные колебания балки будут |
|||
действием |
вертикальной силы |
+ АС, приложенной |
в середине |
|
пролета. |
|
|
|
|
В данном случае сила неупругого сопротивления системы будет
7?=^ДС. |
(22,12} |
|
Отклонения середины балки |
при свободных колебаниях будут |
|
описываться в зависимости от |
направления движения одним из |
|
двух дифференциальных уравнений: |
|
|
^ + а2о(у-Д) = О, |
(22,13} |
|
+ а2 (у + Д) = 0, |
(22,14) |
|
где по-прежнему |
с_ |
|
2 |
|
|
а0 = М' |
|
|
Положим, что колебания начались без толчка при начальном отклонении, равном у0. Легко установить, что уравнение откло
нений середины балки в первой половине^периода (до перемены
направления движения) будет
У — (Уо—A) cos а01 + Д. |
(22,15) |
169
В момент перемены направления движения скорость движения будет равна нулю. Время, прошедшее от начала процесса до
перемены направления движения, определится из уравнения
777 = — “о (у0 — A) sin а0 tx = О,
откуда
Рис. 44. Диаграмма свободных затухающих колебаний, когда колебаниям препятствуют только силы трения
Значит, |
первый |
полупериод свободных колебаний |
составит |
|||
|
|
|
L - 2L |
|
|
|
|
|
|
2 |
а0 |
|
|
Отклонение системы в конце первого полупериода будет |
||||||
|
|
|
У1 = — (Уо — 2 А). |
|
(22,16) |
|
Интересно отметить, что система пройдет через положение |
||||||
равновесия |
(у — 0) |
в |
момент |
времени, |
отличный от |
четверти |
периода: |
|
|
|
|
|
|
|
/о = — — — arc cos |
. ■ |
(22,17) |
|||
|
|
а0 |
«о |
Уо—А |
2а0 |
|
Когда рассматриваемая точка достигла отклонения уь про изойдет изменение направления движения и отклонения системы будут подчиняться уравнению (22,14).
Движение системы во время второго полупериода колебаний будет подчиняться закону
у = (Уо —3 A)cosa0 f — А. |
(22,18) |
170
После полного периода колебаний |
I |
2-\ |
отклонение |
It — Т — — |
|||
системы составит |
\ |
ао |
/ |
|
|
|
|
Уг = Уо — 4 А. |
|
|
(22,19) |
Продолжая аналогичные рассуждения, |
можно показать, что |
||
два максимальных отклонения системы от среднего положения, отделенные друг от друга полными периодами tn, будут нахо
диться в следующей зависимости:
=—4Ат. (22,20)
Диаграмма свободных затухающих колебаний, когда колеба
ниям препятствуют только силы трения, изображена на рис. 44. Измерение опытных диаграмм позволяет найти параметр А, характеризующий процесс затухания колебаний:
д = У1~У^ |
(22,21) |
4 m |
|
Часто бывает необходимо приближенно описать процесс зату хающих колебаний, где есть обыкновенное трение, с помощью урав нений, отвечающих случаю колебаний, когда силы внутреннего неупругого сопротивления пропорциональны скорости движения. Другими словами, иногда встречается необходимость в отыскании
так |
называемого |
эквивалентного |
коэффициента затухания гэ. |
|||||
Поскольку г = |
1 |
Уо |
а |
при наличии |
в системе простого |
|||
—^1пр—, |
||||||||
трения ут — Уо — 4Дт, |
то |
эквивалентный коэффициент затуха |
||||||
ния будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
= |
1 |
1П |
|
У° |
(22 22) |
|
|
э |
|
тТ |
Уо— 4 Ат |
|||
|
|
|
|
|||||
Формула будет особенно простой, если т принять равным |
||||||||
единице: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22,23) |
Видно, что с уменьшением амплитуд колебаний в этой системе |
||||||||
эквивалентный коэффициент |
затухания будет |
возрастать. |
||||||
В. Затухание колебаний происходит вследствие: |
||||||||
а) |
внутреннего неупругого сопротивления, |
которое пропорцио |
||||||
нально первой степени скорости движения; |
|
|||||||
б) |
наличия постоянных сил трения, направленных против дви |
|||||||
жения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеет место случай совместного действия сил сопротивления, |
||||||||
рассмотренных выше в |
пп. «А» |
и |
«Б». |
|
||||
171