книги из ГПНТБ / Казей, Игорь Иванович. Динамический расчет пролетных строений железнодорожных мостов
.pdfили
|
|/-Дл-Пф. k) + ,*K(k)] |
(19,2) |
|
V 1 + ? |
|
|
|
|
где F |
—функция Лежандра первого рода, причем 9— ампли |
|
туда |
интеграла и k — модуль его, выражаются так: |
|
z2= sin2 <р +'(1 + ф) cos2 <р =.1 + ф — ф sin2 9;
К (k)— полный эллиптический интеграл Лежандра первого рода.
Значит, искомый интеграл может быть представлен так:
X
9 =
Поскольку К (k) не зависит от X,уравнение отклонений (19; 1)
может принять вид:
ап = |
In (1 + ф sin2^-^ п —*i |
0n2e' i+Ф |
nFm у |
||
у |
\ |
2 / |
Ф |
|
___ |
|
|
хт |
|
|
|
|
х j и In |
1 + ф sin2 |
е г |
1++ b°nF |
(19,4) |
о
где
F = f[9=^(1-X), 4 = /^ •
Модуль k, фигурирующий в нашей задаче в неполном интеграле
Лежандра первого |
рода, может меняться от |
k = 0, когда |
ф->0, |
до значения k=\ |
рад (57°17'45"), когда ф -> оо. |
|
|
На рис. 32 приведены графики функции |
Лежандра первого |
||
рода (F) при изменении параметра ф от 0 до ои. |
в за- |
||
Примечательно, |
что функция F при ф = 0 |
изменяется |
|
х |
по строго линейному закону; с возрастанием |
||
висимости от а = -j- |
|||
* И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений,
ОГИЗ, 1948.
122
ф закон изменения функции F приобретает все более криволи нейный характер. Однако отступления от линейного закона да же в случае, когда ф->оо, оказываются сравнительно небольши ми и относятся преимущественно к области малых значений X.
Рис. 32. Графики функции Лежандра первого рода (Г) при изменении параметра ф от 0 до оо
Как показывают выполненные исследования, с достаточно высокой достоверностью можно считать, что функция Лежандра,
фигурирующая и нашей задаче, меняется по закону
= К. *)(!->.), |
(19,5) |
где
K0(k) = ^-+\n^= 1,1197 + 1пК(&),
2
a К (k) — по-прежнему полный эллиптический интеграл Лежандра
первого рода при модуле k —
Ф
1+ф'
123
Так как K0(k) не зависит от X, то уравнение отклонений, записанное нами в формуле (19,4), может быть теперь представле но так:
ат = ^-In (1 + ipsin2-^) |
|
|-^оп2е |
" К“ <&) "т х |
||||||
>. |
/ |
|
|
\ |
2 |
1 /~ |
___ |
|
|
т |
( 1 |
4- ф sin2 |
1 |
$° пК°<А)Х с/Х. |
(19,6) |
||||
X f |
и In |
) е' |
' |
1++ |
|||||
J |
\ |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначив для сокращения записи |
|
|
|
||||||
|
2 |
/ |
1 |
|
|
|
|
|
(19,7) |
|
vl/тяИЛп/<о(/г) = 7? = СОП51, |
||||||||
приводим уравнение отклонений |
к |
следующему виду: |
|
||||||
(19,8)
Однако и после этих упрощений интеграл, содержащийся в выражении (19,8), не может быть взят через элементарные функ ции.
Имея в виду необходимость получения приближенного реше
ния задачи |
в элементарных |
функциях, пойдем на дальнейшее |
|
упрощение выражения, содержащегося под интегралом. |
|
||
Примем, |
что |
|
|
|
In fl 4- ф sin2 |
= « Ci X 4- С2 sin ка, |
(19,9) |
|
----- |
||
/, , . кХ
у14-ф5т2у
где Ci и С2 — постоянные величины, зависящие |
от параметра ф. |
|
Погрешности, связанные с подобным упрощением, если пара |
||
метры меняются в пределах: X — от |
0 до 1 иф— от 1 до 8, видны |
|
из графиков на рис. 33. |
|
|
Полагаем, что численные значения приближенного выраже |
||
ния должны совпадать с точными |
значениями |
отношения при |
124
X = ‘О, |
| И л |
|
|
= 1. Три указанных условия будут соблюдены, |
|
если принять: |
|
|
|
Сх = |
(19,10) |
|
1 + |
1 |
|
С2 |
|
|
(19,11) |
|
Рис. 33. Кривые функции
In |
^1 |
+ ф sin2 |
/1 +Ф |
|
|
1П(1+Ф)- 1 Г |
л х |
|
у |
1 |
+|sin2 -~2 |
при разных значениях |
k |
|
параметра ф = — |
||
Теперь имеем
eRldk
KeRX d'K + С2 j sin ~KeRl d\.
о
125
После выполнения интегрирования и некоторых упрощений приближенное выражение для отклонений балки при особом
случае движения равномерно распределенной нагрузки будет
In (1 4- фsin2 ~~
М |
|
|
sin7dm — — cos ккт |
|
Кт |
|
7Х2 |
|
|
R |
R |
|
||
|
|
|||
|
|
|
R2 |
|
+ 1 е~^т |
|
I 1 |
|
|
|
2 |
(19,12) |
||
1 R |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
В момент съезда |
неуравновешенного колеса с балки, |
когда |
||
подвижная нагрузка займет весь ее пролет,
(19,13)
Определим для примера, пользуясь формулой (19,13), макси*
мальное относительное отклонение середины балки в момент пол ного загружения балки подвижной равномерной нагрузкой при следующих исходных данных:
ь |
I |
* = |
Э0п=г07^ = 1. |
Модуль полного эллиптического интеграла Лежандра первого
рода будет |
|
* = /т£г/ГТ2 = 0-815’ |
"ли ~46Т- |
По таблицам интегралов находим К (k)^ 1,88. |
|
Определяем |
|
K0(k) = 1,1197 + In К (А) |
1,75. |
126
Коэффициент показателя степени по формуле (19,7) равен
г. 2 |
1 |
• 1,75 = 0,645. |
Я = |
1 |
|
0,1 |
1 у I о |
|
Постоянные С будут равны: |
|
|
|
Ci - Г з |
= 0,634; |
Имеем
|
|
1 |
1 \ |
|
|
ЗД4 |
Ях=1 = Пу |
In 3 |
I п 170 |
0,645 |
|||
0,645 |
0,645) |
+ 0’173 |
, |
3,14" |
||
|
|
|
|
+ 0,6452 |
||
|
|
|
|
|
||
+ 03Г5£~0-6,70'634 + 0'173. |
3'з'14" |
\ |
+ 0,6452 ) |
[ 1,099 — 1,55 (— 0,349 + 0,034 + 0,532)] = 0,767 п.
Составление необходимых для практического пользования таб
лиц и графиков относительных отклонений при разных параметрах ф
сиспользованием полученной формулы (19,12) нам представилось нежелательным по следующим соображениям. Во-первых, выраже
ние (19,12) для относительных отклонений является приближен ным и, во-вторых, отыскание таким путем отклонений сопряжено
сбольшой вычислительной работой. Для составления необходимых вспомогательных материалов, помещенных далее, был применен
метод численного интегрирования, как более надежный и требую щий меньших вычислений при построении полных таблиц.
При выполнении численного интегрирования лучше пользовать ся не выражением (19,8), а общим уравнением отклонений (17,9):
|
'т |
|
— 9„п |
у ud>. |
Г |
| ат | = кпе |
0 |
) |
Обозначим |
|
о |
|
|
тт
—ft, п f udl С
ле |
0 |
1 sinTCku2e |
|
|
о |
К
SonJu<ZX
sinirku2e 0 di.
х
пJ ud\
0 d'K = Лх (ф, % п). (19,14)
127
Тогда
ат = Лх(ф,&оп)п. |
|
(19,15) |
|
Значения Лх находились при отношениях |
ф |
k |
встре |
=—, часто |
|||
чающихся на практике и равных 0,5; 1; 2; |
3 |
и 4. |
|
|
|
Значения |
|
|
|
параметра |
|
|
|
|
30п |
Рис. 34. Графики для определения величин Лх максимальных относи
тельных отклонений в особом случае движения (ш = и ар) при ф= —=2
Произведение декремента затухания Э-о на число оборотов п=
= —I—- неуравновешенного колеса принималось в подсчетах рав-
128
ним: »on = 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 1; 1,5; 2; 3; 5 и 7,5. Эти зна
чения &оп охватывают подавляющее большинство частных слу чаев, возможных при выполнении практических расчетов.
Найденные путем выполнения численного |
интегрирования |
||
значения коэффициентов |
содержатся в |
табл. |
16 — 20. |
На рис. 34 для образца приведены графики для определения |
|||
величин А), максимальных |
относительных |
отклонений в особом |
|
Рис. 35. Графики максимальных относительных отклонений |
тах |
се- |
|||
редины балки в особом случае движения = |
равномерной |
п |
|
||
нагруз- |
|||||
|
|
k |
|
|
|
ки при разных значениях параметра 6= — |
|
|
|
||
|
k |
|
|
значений |
|
случае движения («> = иар) при ф — — = 2 для разных |
|||||
I |
Величина |
отклонения |
в |
середине |
|
параметров ^оп = г0Т0—р . |
|||||
балки находится по формуле |
|
|
|
|
|
а'к — |
Ж/- й |
|
|
|
|
п' |
|
|
|
|
|
Из графиков видно, что с |
р |
|
|
% и |
про |
возрастанием параметра |
|||||
исходит уменьшение величин возможных динамических отклоне ний балки и меняется положение нагрузки, при котором возни
кают максимальные динамические отклонения. Максимальная
ордината объемлющей кривой отклонений |
по мере увеличения |
!>0 п сдвигается от края к середине пролета |
балки. |
9 Зак. 1873 |
129 |
На рис. 35 приведены графики максимальных отклонений
ат^ середины балки в особом случае движения (ш = пар) равно-
мерной нагрузки при разных значениях параметра ф = -k . Вид
но, что возможные максимальные отклонения уменьшаются как при возрастании относительной величины временной нагрузки,
Рис. 36. Кривая для определения положения временной нагрузки на балке в момент возникновения наибольших динамических отклонений середины балки (при особом случае движения)
гак и при возрастании параметра &оп, связанного со свойства ми балки поглощать и рассеивать энергию колебаний.
Что касается положения нагрузки а0 в момент возникновения наибольших динамических отклонений середины балки, то оно,
как показывают выполненные подсчеты, при данных значениях
параметра |
9-0 п мало меняется в зависимости от величины |
отно- |
, |
k |
|
шения ф — |
— . |
|
|
Р |
36, на |
Данные, содержащиеся в табл. 21 и на графике рис. |
||
глядно подтверждают это. Отдельные точки, нанесенные на гра
фике, |
отвечают значениям ф, меняющимся от 0,5 |
до 4; они до |
|
статочно близко располагаются |
к кривой, отвечающей случаю |
||
ф = 0, |
что указывает на факт |
незначительного |
влияния ф на |
величину л0.
130
= 0,5
л
1
16
1
8
_3 16
1
4
5
16
[00СО
7
16
1
2
Таблица 16
Величи на коэффициента Лх (ф = 0,5, 90л) для значений 9» п
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
1,0 |
1,5 |
2 |
3 |
5 |
7,5 |
0,0192 |
0,0192 |
0,0192 |
0,0189 |
0,0188 |
0,0185 |
0,0182 |
0,0179 |
0,0176 |
0,0166 |
0,0151 |
0,0754 |
0,0748 |
0,0745 |
0,0738 |
0,0732 |
0,0723 |
0,0707 |
0,0691 |
0,0660 |
0,0603 |
0,0540 |
0,1643 |
0,1634 |
0,1621 |
0,1602 |
0,1580 |
0,1552 |
0,1502 |
0,1455 |
0,1398 |
0,1216 |
0,1056 |
0,2812 |
0,2802 |
0,2793 |
0,2721 |
0,2702 |
0,2604 |
0,2501 |
0,2410 |
0,2227 |
0,1926 |
0,1637 |
0,4150 |
0,4137 |
0,4090 |
0,4006 |
0,3924 |
0,3801 |
0,3613 |
0,3446 |
0,3132 |
0,2626 |
0,2155 |
0,5683 |
0,5608 |
0,5539 |
0,5397 |
0,5265 |
0,5071 |
0,4772 |
0,4508 |
0,4028 |
0,3280 |
0,2617 |
0,7238 |
0,7116 |
0,7009 |
0,6817 |
0,6607 |
0,6337 |
0,5906 |
0,5523 |
0,4854 |
0,3842 |
0,2985 |
0,8790 |
0,8636 |
0,8489 |
0,8203 |
0,7929 |
0,7540 |
0,6955 |
0,6443 |
0,5564 |
0Д285 |
0,3248 |