книги из ГПНТБ / Казей, Игорь Иванович. Динамический расчет пролетных строений железнодорожных мостов

-

П

ТП

!

-,Т>

J

т

X J

g—$о U-X

0

dx.

(17,5)

о

Проводя аналогичные рассуждения,

можно получить

следую­

qm= — vsincP е

0

-D

,то

хт

u*

xj jxu(e~°*

dx.

(17,6)

о

Видно, что максимальное отклонение будет иметь место при

въезде

неуравновешенного

колеса на балку без сдвига фазы дей­

ствия

периодической силы <р —• 0.

Если принять функцию приведения /=siny

и перейти к

„

параметру

.

X

то вы­

безразмерному относительному

длины а =

ражения

для

максимального отклонения

(при

<р

— 0) и

макси­

мальной

скорости

отклонения I

при

будут:

_

— $0

n j

udk

р

$о п j

ud\

d/.,

а

= ^-пе

0

I sin -л и(е~&° “—-1)е

0

(17,7)

'°о

J

о

_ —

п

'•/Л

р

So п j udX

( a dr. I

wm=-^-ne

0

\

sin -X и2 (e~ft° "—1) е

0

d'K,

(17,8)

$0

J

причем п = I .

о

Поскольку

п_ 1

=

&о и2

3!

2!

то интеграл /а в выражении (17,7) можно

представить

в виде

суммы следующих интегралов:

/а = — $о jsin кк w2 е°п

d'k + 2? J sin кк и3 е^°п £ ud' dk —

■9-3 С

г

5ткк^еМ“^/.+ ...

Поскольку в задачах, рассматриваемых

нами, декремент за­

тухания ч}(| = г0 Тр является

малой величиной, можно без

боль­

шой погрешности для выражений ат и wm принимать:

—

tn

J

tn

л

&on

udX Г

So n J

\ат{ — ~пе

°

j sin irk и2 е

°

dk;

(17 9)

о

Х_.

т

X

—

т

(

Л

9о п

и dx Г

&„ п j udx

\wm\ — r.ne

°

JsinKku3e

°

dk.

(17 10)

о

Отыскание в

общем виде

точных

аналитических

выражений

для интегралов,

содержащихся в выражениях

(17,9)

и

(17,10),

даже для простых схем движущейся временной

нагрузки, пред­

X

т

ud:

л

sinitk u2d\—rc&0n2e

-%n j

am = im I

°

X

о

x

90 n J ud\

X

sin irk и2 dt. ue °

dk.

(17,11)

8 Зак. 1873

113

менная нагрузка, включая и вес

колеса, будет мала,

а

качение

колеса будет равномерным со скоростью а> — а

движении изме­

Частота

собственных колебаний балки при

няться не

будет, т. е. функция и = 1. Поэтому

J и d\ — '>* т и J и cd = X.

о

о

Выражение для максимальных

отклонений

(17,7)

в

данном

случае получит форму

ат=-£-(е~—1)пе—&0

f sinitX е9> пХ сГк.

о

/

м

— cos лХ + 1

„

.

„ лХ

ах = (—

1)

п--------

1!---- = —2п sin2

у •

Этот результат был найден и другими путями [см. § 6, фор­

мулу (6,5) и § 12, формулу(12,11)].

что величина

Вернемся теперь к выражению (18,1).

Видно,

отклонения ат зависит от местоположения

колеса

на

балке.

Можно определить такое положение колеса,

при котором

на­

блюдаются наибольшие отклонения

балки, и

найти

максималь­

ные размеры этих отклонений.

местоположения

колеса

Для

определения

неблагоприятного

(хо = ^) приравняем нулю производную атпо ).

Так как пере­

менной

частью

выражения

(18,1)

является

числитель

второй

дроби,

то для

отыскания

значения

Хо

достаточно

приравнять

нулю производную числителя:

d

/ 9vi sjn

— cos

е_9о пХ\ _ q

аХ \ л

у

После

выполнения

дифференцирования

и

преобразований

получаем следующее трансцендентное уравнение:

Э-о п cos лХ0 + л sin лХ0 = ■Э'оПв-9» пХ,

(18,2)

где Э-о = г0 То — декремент затухания;

п = Z

— число оборотов

колеса.

На рис.

30

решение этого уравнения дано в графической фор­

ме. Место максимальных отклонений Хо =

представлено в

за­

висимости

от параметров — и

или

К

Зная величину Хо, легко определить

и

сами

размеры

макси­

мальных относительных отклонений.

значение

е_^»пХ, найденное

Подставляя в выражение (18,1)

из уравнения (18,2),

и

проводя преобразования,

получим

g—». 1л.

■

,

^тах —

к;

— sinirX0.

(18,3)

8*

115

а—— 1

О.

(18,4)

Отах =

а

,г0

Функция Ло, так же как

и Хо, есть

функция параметра п.

На рис. 31 дан график функции Ао, позволяющий

легко ре­

шать задачи об отыскании максимальных отклонений.

Если декремент затухания сравнительно мал (до 0,25—0,30),

то можно принимать

Формула для отыскания атах упростится так:

Отах — Ао П-

(18,5)

Декремент затухания % = гпТр ........................

0,1379

0,1735

0,1079

0,0760

0,0598

0,0243

Прогиб в середине от статического действия

силы Р = 1 т; 8П =-^г мм .................................

0,100

0,128

0,096

0,091

0,101

0,103

В табл.

14 выполнено определение

максимальных

отклонений

и опасных

положений колеса на пролетном строении.

неуравнове­

В указанной выше работе предполагалась, что

шенное колесо имеет диаметр D = 1,32

м (^D = 4,147 м)

и ка­

чение его

происходит с критической

скоростью

(<»

= ар).

При

этом всякий раз возникает периодическая сила

с максимальным

значением, равным 1 т.

относительные

По выведенным выше формулам вычисляются

величины отклонений. Для перехода

к

абсолютным значениям

Р а2

1

- 1

81Ь

М

С

Пролеты 1

в м

55, 1

65,9

87,6

109, г|

126,0 158,4

Относительное

положение

неурав­

По исследованиям проф.

С. А. Илья-

новешенного колеса на

пролетном

0,79 |

0,76 |

севича

строении (Хо = х0 :

/), при

котором

0,78 | 0,80 | 0,82 | 0,85

возникают

наибольшие

отклоне­

По расчетам автора

ния

середины балки

0,795|

0,745|

0,770|

0,784|

0,795| 0,866

Наибольшие

отклонения

середины

По исследованиям проф.

балки в мм при максимальной ве­

1,394|

С. А. Ильясевича

личине пульсирующей

силы, рав­

1,824]

1,901|

2,399|

3,264(5,184

ной

1 т

1,276|

По расчетам автора

1,524]

1,769|

2,252|

3,063| 5,126

Сравнение данных

расчетов

убеждает в правильности предла­

гаемых формул и

графиков.

Данные

проф.

С. А. Ильясевича по

отклонениям на 1,5—18% больше, что, видимо,

связано с неко­

торой погрешностью

в

его

развернутой

формуле отклонений

(см.

§ 5).

нагрузки, когда выражение для

и имеет конкретный

вид (4,3),

получим

2

/

КА \

ат= J Л 1П I

1 +<psin2-s

j —

— 4м2е

6

I uln [ 1 + <psin2^-]

e 0

dx.

(19,1)

T

•/

'

/

0

Для решения задачи

необходимо найти

значение

интеграла