книги из ГПНТБ / Казей, Игорь Иванович. Динамический расчет пролетных строений железнодорожных мостов

ражается через отношение

отклонений.

г У = In — .

У1

Отклонения у0 и yi отделены друг от друга одним периодом

колебаний. Между отклонениями существует зависимость

У1 = Уое—‘т.

(15,1)

Энергия, рассеянная системой за один полный период

коле­

баний, составляет

AU7 = ^_^l = -j2(l-e-2‘r).

(15,2)

£1

£

£

Среднее значение энергии

системы во время этого периода

колебаний приближенно может быть выражено двояко:

а) как полусумма энергии

системы в начале и конце периода

= т

+= (1 + е-2еГ);

(15>3)

2

— 2

)

= ^(l+e-r)2.

(15,4)

Относительное уменьшение энергии за полный период

коле­

баний составит:

1—е-2еТ

ДЦ7

<1М>

S-=WT = 2TT^:

встречающихся в

наших задачах,

оба

коэффициента 8

имеют

близкие значения.

Действительно, например, даже при еТ = 0,25

8а = 0,490 и 8б = 0,497.

Будем считать, что за каждый полный период колебаний си­

стема рассеивает определенную часть энергии

колебаний:

(15,7)

после m периодов

Положим, что

колебаний

система с

зату­

ханием имеет отклонение

Ут = ?ьт-

наличия трения рассеяла

За т колебаний система вследствие

рассеянную энергию и вместо энергии

Су™

имела

л

энергию

бы

колебаний, равную

пг

т

+8

+ S 2 >г« =

2

Вся накопленная системой энергия

при

отсутствии

трения

могла обратиться в потенциальную энергию колебаний,

и при­

веденная масса получила бы отклонение уто = phm0.

Для определения уто имеем уравнение

m

htno '— hm +

2* I WK

(15,8)

Приведенные уравнения легко

разрешимы относительно от­

У10 — Р-^Ю, У20 — ?hzoy-,

Уко — phK0, •••, Уто ~ phmo-

Средняя энергия колебаний системы во время ее первого ко­

лебания будет

1 1СУо

Су2Д Су2

W1=~2

2’^ /

Значит,

h2 =----- Цг-^о.

(15,9)

Имея в виду

выражение (15,9), окончательно получим

/г2 =----L— / /г^о------- Afo \ =---------- U- (/220 - 8Л?).

(15,10)

1 +т\

1 + 2

У

1 +-2

Аналогичные рассуждения, выполненные для т-го колебания,,

дают

Уто : Ут + °

у21 + у2 + • • • + ук + • • • + Ут — 1 + =

9

/

+

8 \

т~'

9

= H*y

-2-),+ 8

2

ук,

следовательно,

9

1 /

9

9

\

(15,11)

Ут =

I

Уто — 0

2 Ук

I

‘+tv

'

-

I+P

1 /

У

2

с1У

2

2

2

2

+ 2Um я° ~dT + Um ар Ут = pUm ]'т Шт sin (Wmt +

где ит, ]'т и

шт — средние значения переменных

параметров для

участка т.

Общим решением уравнения (3,11) является следующее:

Ут = Ат е~£т ‘ sin (aJ + kJ + Вт sin (шт t + <р + оJ,

причем

em = “iUo

и

лт = итьр.

(16,1)

Скорости

происходящих отклонений

будут

= Ат е~£т *

I— zm sin (am t + kJ + a,„ cos (am t + kJ] +

+

0>m cos (com t

+ <P + 8J.

(16,2)

Величины Am и km

являются

произвольными

постоянными,

Bm и om являются функциями средних значений параметров.

Если обозначить

= е0 Тр = £о

р

>

то можно установить,

что

t,

/ 1

2

\

^.^sin(a>m/ + 9)-

4-^-1 COS(oJm/ + ?)

(16,3)

тс an

I

\ Um

м

/

/

Р

U’P

Если дополнительно принять обозначения:

ит \

% )

1

= 2

т>

(16,4)

1

—

»0 Ф шт _ Д

(16,5)

то уравнения (16,1) и (16,2) могут быть представлены так:

Ут = Ат е~‘° “т *

sin (Um “р t + >'ОТ) ~ 91т

X

Х О2 ”1^2 [Qm Sin

Z + ?) +

C0S (0)^ Z

i (16>6)

“Г

1

о

‘

£o w«sin (z/m

% t +лта)] +

2

4- 1

[ Am sin(u)m / + ?) — (2OT cos (u)m

<p)|. (16,7)

+ ?im 11in шт o 2

_i_

Д2

г

LAm

Уравнения (16,6)

и (16,7) должны давать при

t = 0 относи­

/7CT-i = А

sin

о

<2

4- 1

(2Ш sin<p + Am cos 9);

(16,8)

P

“-/n "T" ^tn

q,n- 1 =

( — o-

sin X/n + Z/mC0S

+

p

\

]

+ /m ll'n A •

7'A A2"

sin 45 — Q'ncos ?)•

(16>9)

ap

--m +

Поскольку длина участков

равна окружности колеса, время

прохода колесом участка т будет

2-

~т ~

При съезде колеса с участка относительные параметры коле­

баний балки

определятся

из

уравнений

(16,6)

и (16,7)

при под­

становке t = тт:

2

2-

,

.

hm= -^e"6“u-“-sin(2^ +7.J-

r

+ 1

\

шт

'

2

--

(--m sin <P +

cos9);

(16,10)

~ M

O2m

, Л2

4“

qm

Am £a

m "‘m

0

2 •

(0 ap ,

-

= ~re

9- »msin

12-------|-/.m

и hm-i

и qm_] выражается весьма

громоздкими

формулами,

пользоваться которыми при решении

практических

задач

чре­

звычайно

трудно.

операций может быть

проведено

сле-

Упрощение расчетных

дующим

путем. Так как

/ &

\2

рассматриваемых

величина (

)

для

х

-

1

ctg

= — X

ит

qm-\ — jm и„

А (Аот Sin ср — Qm cos ср)

Яр

Qm + Дт

2

“

+ 1

2

(L>msin<p+ A^cosep)

hm-l + 1'т Um о2т

_

—m “г

Ат_

1

Р

sin>-m

hm-l +

2

2 _i_

1

Sin ср + Дт COS ср

(16,13)

2

После этого для

определения

hm и qm используют следу­

ющие выражения:

Л

I

и2

Р

htn —

,1е

° m“-sin(3m-l-/.m)-sin/,;

(16,14)

Ат

ит

$0 •

Г -& и2 ~

qm~qm—\

(J

2- Um

е

° '"“-sin^ + M-

—

uz —

+ ’aJ — coskm ,

(16,15)

— sinkm_+e

mcos(р„,

где, как и

прежде,

Яр

К = 2^~ 11т-

Из приведенных формул могут быть легко получены

уравне­

ния (7,12)

и (7,13) для случая,

когда

неупругие сопротивления

в системе

отсутствуют (-Э-о = 0).

Для отклонения балки после прохода

колесом

первого уча­

стка можно получить

выражение

Л1 = ji

1 1

-*(

т sin <Р + Al cos ср) х

21 + Af

е

-Ки\-аР I Я

1

0)1

“■ \

«1 sin Pi + cos i

«1

1р

—

И| — .

_

i sin ср — 2i cos ср

(16,16)

х е

sin

21 sin ср

Aicoscp

— S\h sin ср + C\h cos<р.

Простыми линейными функциями тех же тригонометрических

величин будут и последующие отклонения Л2, Аз,

•••, hm. По­

этому при

определении возможных максимальных

отклонений

в

балках с

учетом затухания колебаний остается в

силе условие

(Ат)щах — 1/F Ьт .

Выражения для характерных отклонений ат и Ьт при углах

<р,

соответственно равных 0 и 2

могут быть получены из фор-

мул (16,12) — (16,15).

§ 17. ВОЗМОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ С ВНУТРЕННИМ

НЕУПРУГИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИ НЕБЛАГОПРИЯТНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ НАГРУЗКИ

Под неблагоприятной переменной скоростью понимается та­

колеса на всех участках балки

имеет место

условие

(о^ =

ап.

т

т р

§ 16, будут:

При этом условии величины,

принятые в

Ат

1 /,

-

~Т '

sinT' hm-' +

Um ¥ cos 9

0

SlnA^V

Ito

. 2

“

a

7^1— 1 Im Um "(Г sm?

Лш = е

+ jmum^cos<p (е

—1);

(17,1)

Ят = e-8o“m7m-i —/mu£v sin <p

1).

(17,2}

Рассмотрим подробно уравнение (17,1). Для упрощения

про­

межуточных выкладок

примем:

е

' т = Ет;

]тит^- cos9= /,г

гГО

и напишем уравнение (17,1) в виде:

hm = Emhm_{ +/m(E„,-l).

(17,3)

Для отклонения hm_\ на

основании

выражения (17,3) может

быть написано уравнение

hm—1

~ Em—i hm—2 т 1т— 1 (Em- 1 "

1)-

Подстановка этого выражения в уравнение (17,3) даст

hm — Ет Ет—\ hm—2 + 1m—i (Em—i

1) Ет -J- Iт (Ет

1).

Значение hm—2

в

свою очередь может быть

выражено че­

рез hm_z и т. д. Продолжая подобные операции

и

имея в

виду,

что h0 = 0, в конце концов можно прийти к выводу

hm = Ii(Ex — 1)E2Ez>..Em 4- 1г(Е2 — 1)Ез. •

• Ет + -

■■

-г

+ IК(ЕК — 1) EK+i ... Ет 4 • • • + /m_i (£„,-. - 1) Ет -

+ Im(Em- 1) = [IK(Eh — 1) Дк+) • ■ • Ет—\ Ет].

к= 1

Если иметь в виду принятые выше обозначения для Е

и /,

то выражение для hm

может быть записано так:

т

к=т

к

TZ

1

jKuK(e-л ^^-l)e

Y1j и'J. •

(17,4)

_

''

и1

I

как элементарную

Произведение

можно рассматривать

часть площади графика функции их.

Сумма

элементарных

пло­

щадок дает полную площадь графика

иг до

конца участка т,

т. е.

на длине от

начала балки до ординаты, равной хт.

По­

1

и

Уравнение (17,4) теперь будет иметь вид:

h,n = cos <р е

•

/

—ао

К

Фигурирующую здесь сумму можно представить так:

к-т

Ас

Uz“x I

,

J

i^Ae~^UK

О

П

к=1

и рассматривать

как

сумму элементарных

площадок, имеющих

основание —■ и

ограниченных осью

абсцисс и некоторой кривой