книги из ГПНТБ / Рогов Е.Ф. Основы теории автоматического регулирования учебное пособие

i—1

—передаточная функция эквивалентного эвена.

Следовательно, передаточная функция параллельно соединен­ ных звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций отдельных звеньев.

В. Встречно-параллельное соединение звеньев

(обратная связь)

Встречно-параллельное соединение звеньев изображено на рис. (2.38), где на входе звена в виде круга с перекрестием обозначен сумматор.

лении, т. е. выходной сигнал с выхода основного звена снова по­ дается на его вход через звено обратной связи. Следовательно, под обратной связью понимают встречно-параллельное соединение двух звеньев. Если сигнал обратной связи X 0i.(p) складывается с основным входным сигналом Х вх(р), то такая связь называется положительной обратной связью, если сигнал Х ас (р) вычитается из сигнала Х вх(р), то получаем отрицательную обратную связь.

60

Положительная обратная связь имеет у сумматора знак плюс, от­

рицательная — знак минус.

Определим передаточную функцию эквивалентного звена. Выходной сигнал основного звена при отсутствии звена обрат­

Введем звено обратной связи, тогда сигнал обратной связи будет

[1 + w oc(p) W{P)} Х вых(р) = W(p)XBX(p),

откуда передаточная функция эквивалентного звена будет

где знак плюс соответствует отрицательной обратной связи, знак минус — положительной.

Й1

ГЛАВА 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 3.1. Способы получения и формы записи дифференциальных уравнений САР

При анализе динамики САР необходимо прежде всего соста­ вить дифференциальное уравнение системы, которое описывает закон ее движения.

Обычно рассматривают два вида уравнений САР — уравнения установившегося движения (иногда их называют уравнениями статики) и уравнения переходных процессов (уравнения динамики САР).

Уравнения статики, в которых управляющие и возмущающие воздействия принимаются постоянными, в большинстве случаев являются алгебраическими.'(Более подробно этот вопрос будет рас­ смотрен в следующей главе).

Уравнения динамики САР, как правило, — дифференциальные или интегродифференциальные. Они определяют поведение сис­ темы в переходном режиме.

Исследование или проектирование САР включает следующие этапы.

Вначале составляется схема взаимодействия элементов САР. При этом уточняется схема соединения элементов и функции, ко­ торые должен выполнять каждый элемент в системе.

Затем, на основании физических законов, для каждого элемен­ та составляются уравнения динамики. Естественно, что движение САР определяется однозначно системой уравнений динамики ее элементов.

Как и для элемента, дифференциальное уравнение САР связы­ вает значение выходной величины \x[t)} с входными воздейст-

62

виями системы (управляющими и возмущающими). В общем виде это уравнение может быть представлено так:

dnx(t) , dn~1x(t) а° di*— +ai dt

где аь bh ct— постоянные коэффициенты;

x{t)— выходная (регулируемая) величина; g(t)— управляющее воздействие;

f ( t ) — возмущающее воздействие;

k, п, т — целые положительные числа, обычно /и-О , k<Ji.

Втеории автоматического регулирования уравнения системы принято записывать таким образом: слева — выходная величина,

асправа — входные величины (воздействия).

Ввыражении (3.1) для простоты допущено, что в системе

имеется одна регулируемая величина, одно управляющее и одно возмущающее воздействия.

Если даны уравнения элементов, то дифференциальное урав­ нение САР может быть получено следующими способами:

1.Решением системы дифференциальных уравнений элементов относительно входной и выходной величин САР путем исключения промежуточных переменных.

2.Решением системы дифференциальных уравнений элементов относительно входной и выходной величин с использованием опре­ делителей (метод Крамера).

3.Составлением структурной схемы САР, соответствующей за­ данной системе уравнений звеньев, с последующим ее свертыва­ нием и определением передаточных функций. (Этот вопрос будет рассмотрен в главе 6.).

Для уравнения системы (3.1), так же как и для уравнений

звеньев, могут быть три формы записи:

1. Классическая форма записи. Е этой форме уравнение имеет

. вид, которым обычно пользуются в математике при записи диффе­

63

где

R (F)) — а0 Dn-|- п±Dn- 1 -4-....... -f- Яп—1D -f- йп;

Такой формой (3.2) пользуются для более компактной записи диф­ ференциальных уравнений САР.

• 3. Операционная форма записи. Как и для уравнений элемен­ тов, в решении уравнений систем при нулевых начальных условиях широко используется преобразование Лапласа, позволяющее пе­ рейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим.

Если в уравнении (3.1) перейти от оригиналов к изображе­ ниям, то оно может быть представлено в операционной форме за­ писи:

Далее рассмотрим более подробно методы получения уравне­ ния системы по дифференциальным уравнениям элементов.

§ 3.2. Получение дифференциального уравнения САР по дифференциальным уравнениям элементов путем исключения промежуточных переменных

Как было отмечено в § 3.1, при получении дифференциального уравнения САР. система уравнений элементов решается относи­ тельно выходной величины и входных воздействий. В этом случае исключаются все промежуточные величины, кроме выходной вели­ чины и входных воздействий. Уравнения элементов САР можно записывать как в символической, так и в операционной форме,

64

Пусть дана САР, уравнения элементов которой имеют вид:

Решим данную систему относительно величин x(t), / (t), g(t). Для этого подставим, например, в выражение (3.4в) значение x^t ) и решим его относительно х2 (t):

64

Иногда полезно знать не само значение регулируемой вели­ чины, а ее отклонение от заданного значения, как функцию вход­ ных воздействий. В этом случае систему уравнений (3.4) решают относительно s (t), g{t), f{t)- Аналогично выводу выражения (3.8) можно получить

Если уравнение (3.8) называют дифференциальным уравне­ нием САР относительно регулируемой величины, то уравнение (3.9) — дифференциальным уравнением САР относительно ошиб­ ки. Заметим, что в общем случае система уравнений (3.4) может быть решена относительно любых интересующих нас переменных.

Если уравнения элементов заданы в операционной форме

Е(P) = G ( p ) - X ( p ) ,

N1(p)X1(p) = M1(p)E(p),

X 3(p) = X2(p) + F(p),

K,(P)X(p) = Ms(p)X3(p),

где

R(p) = N(p) + M(p)-

N/ (p) = M1i(p)N1{p)Nt (p);

N(p) = N 1(p)N2(p)N.i (p);

M(p) = M 1(p)M2(p)Ms (p).

Если в системе уравнений (3.4) отсутствует уравнение (3.4а) и уравнение (3.46) имеет вид

N1(D)x1(t) = Ml {D)g(t),

66

то САР уже не будет замкнутой. Решая такую систему уравнений, получим дифференциальное уравнение разомкнутой САР:

где л:Р (t) — выходной сигнал разомкнутой САР.

В заключение заметим, что в данном параграфе рассмотрен более простой случай, когда передаточная функция цепи обратной связи равна единице. В противном случае полиномы M(D), Nf {D) будут связаны с полиномами Mt {D)' и N^D) другими соотно­ шениями.

При использовании метода Крамера, как и при решении сис­ тем алгебраических уравнений, составляется определитель систе­ мы. Уравнения элементов записываются в операционной или сим­ волической форме и располагаются в виде специальной матрицы. При этом справа записываются все воздействия, а слева — все пе­ ременные.

Запишем систему уравнений (3.10) в виде матрицы, распола­ гая одинаковые переменные в один ряд:

Если решить систему уравнений относительно X (р), то полу­

чим

Х 1 р ) = ^ ш

ИЛИ

где, как известно, значение определителей А и Ах(Р) можно вы­ числить по следующим формулам.

<?7

Для того чтобы вычислить определитель АХ(Р), необходимо в определителе системы А пятый ряд, соответствующий переменной X (р), заменить на ряд свободных членов, т. е.

69

где

и в этом случае мы получим дифференциальное уравнение систе­ мы в операционной форме. Аналогичным образом может быть по­ лучено уравнение . САР в символической форме.

§ 3.4. Пример составления дифференциального уравнения САР

Последовательность составления дифференциального уравне­ ния САР покажем на примере системы автоматического регулиро­ вания скорости вращения вала двигателя [3].

Схема взаимодействия такой САР представлена на рис. 1.3. Работа системы описана в главе 1.

Составим уравнение элементов системы. При этом некоторые уравнения будем брать в готовом виде и только линеаризовать.

А. Уравнение теплового двигателя (регулируемого объекта)

69