книги из ГПНТБ / Рогов Е.Ф. Основы теории автоматического регулирования учебное пособие

рис. 1.15,а, обеспечивает вид временной характеристики 1.14,a, a импульсный элемент, изображенный на рис. 1.15,6, обеспечивает вид временной характеристики 1.14,6.

Нелинейные системы автоматического регулирования — это та­ кие системы, процессы в которых описываются нелинейными диф­

ференциальными уравнениями.

САР будет уже нелинейной, если она имеет хотя бы один нели­

нейный элемент.

Нелинейные элементы могут быть весьма разнообразны. Боль­ шую группу составляют нелинейные элементы релейного типа. Вид статических характеристик этой группы элементов изображен на рис. 1.16.

Х6ых

э л е м е н гп

Рис. 1.16.

На рис. 1.17,а представлена характеристика гидравлического сервомотора, управляемого золотником. По оси абсцисс в этом слу­ чае откладывается относительный ход золотника, а по оси орди­ нат — относительная величина скорости поршня сервомотора.

Рис. 1.17.

20

\ .

На рис. 1.17,6 изображена характеристика мембранного меха­ низма, нагруженного золотником. По оси ординат отложен относи­ тельный ход золотника, а по оси абсцисс — относительная величи­ на давления на мембране.

Б. Статические и астатические САР

Системы автоматического регулирования подразделяются на статические и астатические в зависимости от свойств системы в установившемся состоянии.

САР называется статической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся к некоторому установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины стремится к постоянному значению, зависящему от ве­ личины воздействия. Такой системой является, например, САР, схема которой представлена на рис. 5.15.

САР называется астатической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся к некоторому ус­ тановившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины стремится к нулю независимо от величины воздействия. Например, система, представленная на рис. 1.3, является астатиче­ ской по отношению к возмущающему воздействию (изменению нагрузки на валу двигателя 1).

САР называется статической по отношению к управляющему воздействию, если при управляющем воздействии, стремящемся к некоторому установившемуся постоянному значению, ошибка (от­ клонение регулируемой величины) также стремится к постоянному значению, зависящему от величины управляющего воздействия. Система, представленная на рис. 5.1, является статической по отно­ шению к управляющему воздействию.

САР называется астатической по отношению к управляющему воздействию, если при управляющем воздействии, стремящемся к некоторому установившемуся постоянному значению, ошибка стре­

Одна и та же САР может быть статической по отношению к возмущающему воздействию и астатической по отношению к уп­ равляющему воздействию и наоборот.

21

ГЛАВА 2

СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ

§ 2.1. Классификация элементарных звеньев. Передаточная функция звена

Как раньше было установлено, САР представляет собой сово­ купность элементов, выполняющих вполне определенные функции: измерение отклонения регулируемой величины, усиление и преоб­ разование управляющего сигнала, воздействие на объект регули­

рования и др.

Все элементы САР, следовательно, и сами системы — направ­ ленного действия, т. е. пропускают сигнал в одном направлении. Поэтому и различают у элемента вход и выход по направлению прохождения сигнала. Выходная величина элемента зависит от входной величины, но в то же время выходная величина не влияет на изменение входной величины. Исходя из этого, можно диффе­ ренциальные уравнения элементов, включенных в САР, составлять

независимо друг от друга.

Независимая переменная (входная величина) во всех уравне­ ниях звеньев записывается справа, а переменная величина (выход­ ная величина) — слева.

Все многообразие возможных элементов довольно трудно представить, поэтому прибегают к определенной классификации и разделению их по признакам. Но не каждое разделение дает воз­ можность систематизировать бесконечное число элементов, приме­ няемых в САР. Так, например, разделение по конструктивному выполнению не приносит желаемого результата. Эту задачу можно решить лишь в том случае, если различать элементы по их динами­ ческим свойствам.

При таком рассмотрении элементов САР выяснилось, что разнообразные элементы различной конструкции и с различными принципами действия имеют одинаковые дифференциальные урав­ нения, связывающие входную и выходную величины. Например, груз, подвешенный на пружине, и колебательный контур, состоя­ щий изL, С ,/? элементов, имеют одинаковый вид равнения, опи­ сывающего физические процессы в них.

22

Разделение элементов по их динамическим свойствам дало воз­ можность заменить большое количество разнообразных элементов САР небольшим числом элементарных звеньев.

Элементарным звеном называется такое звено, движение кото­ рого описывается уравнением не выше второго порядка. Любая линейная САР может быть расчленена на элементарные звенья.

Уравнение для I -го элементарного звена (см. рис. 2.1) записы­ вается в общем виде так:

Рис. 2.1.

В теории и практике автоматического регулирования широко используются передаточные функции.

23

Передаточная функция звена характеризует связь между входной и выходной величинами, а также описывает его статиче­

ские и динамические свойства.

Передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины

где

00

Х(р) = \ x{ t ) e~pld t .

6

Зная передаточную функцию, можно всегда найти выходной сигнал при известном входном сигнале, если воспользоваться об­ ратным преобразованием Лапласа.

Из выражения (2.4)

XBtal( p ) = W i(p)Xml(p)

или

По своим динамическим свойствам все элементарные звенья делятся на семь основных типов:

!) усилительное звено;

2)апериодическое звено;

3)колебательное звено;

4)дифференцирующее звено 'первого порядка;

5)идеальное дифференцирующее звено;

6)интегрирующее звено;

7)звено с постоянным запаздыванием.

Почти каждый элемент системы автоматического регулирова­ ния может быть представлен как соединение нескольких элемен­ тарных звеньев. Но для этого необходимо иметь дифференциаль­ ное уравнение элемента. Составление такого уравнения представ­ ляет определенные трудности, обусловленные большим разнообра­ зием принципов работы и конструктивным выполнением элементов. В настоящее время выработалась вполне определенная методика

24

\

составления дифференциальных уравнений элементов. Основные положения этой методики могут быть сведены к следующему:

1.Определяется место и роль элемента в общей системе регу­ лирования.

2.Уясняется смысл физических явлений, происходящих при работе элемента в системе.

3.Определяется положенный в основу работы элемента физи­ ческий закон, на основании которого выводится дифференциальное уравнение элемента.

4.Производятся некоторые преобразования полученных урав­ нений (приведение к уравнению в отклонениях и др., см. § 3.4).

Приведем пример составления уравнения центробежного из­ мерителя скорости вращения.

Если обозначить через х2 положение муфты В с направлением отсчета вниз (см. рис. 1.3) и воспользоваться вторым законом Ньютона, то уравнение движения муфты может быть записано в виде

/у — центробежная сила грузов, ппиведенная к муфте; Fn — сила пружины;

Fc — сила сопротивления (сила вязкого трения). Оказывается, что все эти силы равны:

Ti>T2^ i Л-2 —постоянные коэффициенты, зависящие от конструкции

25

В основе линеаризации лежит предположение о том, что в иссле­ дуемом процессе переменные х2 и со изменяются так, что их откло­ нения остаются все время достаточно малыми. Это условие в сис­ темах автоматического регулирования выполняется, так как оно положено в основу работы замкнутой САР. Таким образом, можно предположить, что

to — Wq— А со ^

*2 = *2° + Д *2,

где Дм и — достаточно малые величины.

Для установившегося режима работы уравнение (2.3в) будет равно

F(x.?, О, О, О = 0.

Линеаризация производится путем разложения функции в ряд Тейлора относительно значений со0 и х2° с использованием только линейных членов разложения.

Преобразуем выражение (2.3в) таким способом:

(2.3г)

где в скобках для краткости обозначены частные производные при

х 2 = х 2° , со = со0, х2 = 0, х 2 = 0 .

Вычтем из выражения (2.3г) уравнение установившегося состояния

и получим уравнение измерителя скорости вращения в отклоне­ ниях:

(

Это уравнение уже является линейным.

Разделим все члены уравнения на коэффициент при Ах2 и получим

где

Обозначим для простоты записи

w = Л to,

дг2 = А х,2

и получим окончательное уравнение центробежного измерителя скорости вращения:

В заключение заметим, что по мере увеличения кривизны линеаризируемой функции уменьшается участок изменения неза­ висимой переменной, на котором возможна линеаризация. Линеаризация становится совершенно недопустимой при скачкооб­ разном изменении функции.

§ 2.2. Статические и частотные характеристики элементарных звеньев

Для установившегося режима работы (когда переходный про­ цесс в звене закончится) все производные от входных и выходных

величин будут равны нулю. В этом случае уравнение (2.1) будет иметь вид

Зависимость установившегося значения выходной величины от ус­

тановившегося значения входной величины называют статической характеристикой звена. Величину

27

условились называть коэффициентом передачи звена. Из рис. 2.2 видно, что k — это есть тангенс угла наклона статической характе­ ристики элемента к оси абсцисс (при этом всегда используется ли­ нейный участок характеристики).

Если на вход звена подадим синусоидальный сигнал опреде­ ленной частоты ш

то на выходе звена в установившемся режиме в общем случае по­ лучим также гармоническое колебание той же частоты, но другой амплитуды и фазы:

При записи входного и выходного сигналов в комплексной форме можно найти комплексный передаточный коэффициент звена, равный

З Д „ ) = 4 ^ ^ = 1 Г , ( » ) е (2.7)

^ BXi(/o ))= Z mBXey“ ';

23

\

Комплексный передаточный коэффициент, как видно из уравнения (2.7), зависит от частоты подаваемого гармонического сигнала и поэтому он носит название и амплитудно-фазовой частотной характеристики звена. Выражение частотной характеристики звена может быть получено из выражения передаточной функции, если перейти от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье, т. е. от р к j со.

Согласно изложенному, из выражения (2.4) имеем

W( j <о) = /7(ш) + j И(ш), построенного в координатах U (со) и/V\co), при изменении частоты со от 0 до оо. Пример такой характеристики приведен на рис. 2.3.

i J V f a )

Ск)=П

Рис. 2.3.

Нередко нужно знать вид амплитудной частотной характерис­ тики звена и фазовой частотной характеристики.

29