Здесь L(- p a t — «возраст» |
или квадрат длины |
диффузии |
(замедления) быстрых нейтронов; Lt — |
диффузионная длина |
тепловых нейтронов; К2 — геометрический |
параметр, |
учитываю |
щий размеры и форму реактора. |
|
|
|
Доляпотерян, |
i-p |
Доля захВач. |
быстр,нгйтр. JZ |
1-Вf |
|
быстр,нейтроне!) |
|
|
j7spBf |
Количествотепловых |
|
нейтроне8 |
доля потерян. |
|
|
Доля захВач. |
! i-S , U - |
|
тепл.нзйтроноВ |
•.__ L) |
|
|
юсол. нейтр.
'/ZpfEyBt
Ф и г . 13.8. С хем а нейтронного балан са '
Геометрический параметр равен:
для сферического реактора с радиусом R, см |
|
к 2= — ; |
(13.6) |
R |
|
для куба со стороной а, см:
= 3
а
I
для прямоугольного параллелепипеда со
(13.7)
,
сторонами а, о и с, см.
для цилиндрического реактора с радиусом основания R,- cm и вы-
.сотой Н, см:
I |
2,405 |
~ |
\ 2 |
\ |
R |
-г Н |
(13.9) |
Зная вероятности Bj и B t и умея вычислять &<*> по формуле (13.3), можно определить эффективный коэффициент размноже ния 4 >фреактора конечных размеров с известной формой и разме рами:
|
кэф = к ^В / В1. |
(13.10) |
Для возможности |
проведения стационарного процесса деле |
ния в реакторе конечных размеров необходимо иметь /гэф> |
1. |
Уравнение (13.10) |
было написано в предположении, |
что ве |
роятности избежать утечки быстрых и тепловых нейтронов даны в виде выражений (13.4) и (13.5). Ниже будет дан и вывод урав нения (13.10). •
Приведем для наглядности схему, иллюстрирующую нейтрон ный баланс в реакторе конечных размеров, относя ее к одному ис ходному нейтрону, приводящему к акту деления (фиг. 13.8).
§ 13.7. ОТРАЖАТЕЛИ
Нейтронный поток в реакторе неодинаков; он зависит от типа реактора, его формы и конструкции.
Для точечного источника, испускающего п нейтронов в 1 сек. в гомогенной бесконечной среде нейтронный поток уменьшается экспоненциально с удалением от источника. Если R — радиус произвольной сферы, в центре которой помещен источник нейт ронов, то зависимость нейтронного потока от радиуса получается
|
в форме |
|
|
3 п е~ |
(13.11) |
|
4тгR l tr |
|
|
где Lt и \ г определяются из (12.13) и (12.8).
Для других источников нейтронный поток будет иметь дру гой закон изменения с расстоянием.
-В реакторе с активной зоной конечных размеров изменение нейтронного потока хотя и не следует закону (13.11), но на пери ферии реактора нейтронный поток уменьшается-. Тем не менее потери нейтронов были бы велики, если не установить отража тель, задачей которого — возвращать нейтроны обратно в актив ную зону без поглощения. Отношение числа отраженных нейтро нов ко всему числу нейтронов, попадающих на поверхность отра жателя, называется коэффициентом отражения, или альбедо (Л). Величина А является функцией длины диффузии и транспортной длины свободного пробега; кроме того, альбедо зависит от мате риала, формы и размеров отражателя. Для отражателя неограни ченных размеров величина альбедо дана в табл. 13.1.
Если ограничить толщину отражателя, то величина коэффи циента отражения уменьшится сравнительно с данными табл. 13.1. Однако, при толщине отражателя, в 2—3 раза большей длины диффузии нейтронов, относительное уменьшение альбедо будет небольшим.
|
Т а б л и ц а 13.1 |
|
Весовая |
Коэффициент |
Вещество |
плотность, |
отражения |
|
г/см3 |
(альбедо) |
f |
|
|
В о д а ............................ |
1,00 |
0,82 |
Тяжелая вода . |
1,10 |
0.97 |
Бериллий . . . . |
1,84 |
0,89 |
Окись бериллия ■ |
2,80 |
0,93 |
Графит . . . . |
1,60 |
0,93 |
На фиг. 13.9 приведено изменение отражательной способно сти бериллия и графита в зависимости от толщины*). Из гра фика видно, что уже при толщине 200 мм коэффициент отраже ния для бериллия составляет 94% от альбедо при неограничен но больших размерах отражателя.
Фиг. 13.9. Изменение отражательной способности углерода и окиси бериллия в зависимости от тол щины слоя
Отражатель дает еще то преимущество, что, уменьшая поте ри быстрых и тепловых нейтронов из системы, возвращает нейтро ны на периферийные участки активной зоны; благодаря этому из менение нейтронного потока в поперечном и продольном сечениях
*) По расчетам В. Я. Артамасова.
реактора уменьшается, что очень важно для практических целей. На фиг. 13.10 показано, как принципиально изменяется нейтрон ный поток в реакторе без отражателя и с отражателем.
Без отражатели
Фиг. 13.10. Изменение нейтронного потока в реакторе
сотражателем
§13.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РЕАКТОРА.
УСЛОВИЕ КРИТИЧНОСТИ
В реакторе в каждый данный момент рождается новое поко ление нейтронов в результате деления ядер под влиянием нейтро нов предшествующего поколения. Вместе с тем происходит погло щение вновь рожденных нейтронов ядерными и конструкционны ми материалами реактора; наконец, часть нейтронов излучается из реактора во внешнюю среду.
Основное уравнение баланса нейтронов можно записать в об щем виде так:
И = Р - У - П ,
т. е. изменение числа нейтронов (Я) равно количеству вновь ро дившихся нейтронов (Р) минус утечки (диффузия У) и поглоще ние (П ) их. Здесь поглощение рассматривается всех типов (с де лением и без деления). Следовательно, необходимо знать три чле на правой части, чтобы судить об изменении числа нейтронов.
Для стационарного режима работы реактора (тепловая мощ ность постоянна) не должно быть изменения числа нейтронов (Я — 0); следовательно, в каждый данный момент времени коли чество рождающихся нейтронов должно быть равно количеству нейтронов, теряемых через утечки и поглощение внутри реактора, т. е.
Р = Г + П.
Определим утечки (диффузию нейтронов). Интенсивность пучка нейтронов, падающих в 1 сек. на 1 см2 поверхности, или плотность нейтронного потока через 1 см2 поверхности в заданном направлении есть
где п '— число |
нейтронов, |
пересекающих поверхность AF см? |
в течение 1 |
сек. Величины / |
и <р имеют формально одинаковые |
размерности, но они, вообще говоря, не одинаковы по величине. |
В реакторе |
нейтроны облучают 1 см3 объема со всех сторон, по |
этому поток |
«р |
будет больше интенсивности I, которая указывает |
число частиц, падающих лишь на 1 см2 поверхности в 1 сек в од
|
ном направлении. |
|
|
|
|
|
|
|
В ядерной физике показывается, что между диффузией'нейт |
|
ронов и |
распространением тепла |
имеется аналогия. |
Уравнение |
|
теплопроводности в заданном направлении х |
через поверхность |
|
Д/7, как известно, пишется в.форме |
|
|
|
|
|
|
|
дТ |
(13.12) |
|
|
|
|
|
|
1F |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
X— коэффициент теплопро- |
|
|
|
|
|
|
дТ |
— градиент |
~ |
г |
■Oj-+dJj |
|
водности тела, ---- |
|
|
|
дх |
|
|
|
I |
|
|
температуры в направлении х. |
|
— х |
|
-d±i |
|
|
Аналогично этому |
|
|
|
|
|
I — —D |
д<? |
(13.13) |
|
|
|
|
J ' |
|
|
|
|
|
|
дх |
|
Фиг. 13.11. |
Диффузия нейтронов |
|
|
|
|
|
do |
|
где |
f |
нейтронный поток; |
|
|
|
|
— градиент нейтронного потока |
в направлении х; D — коэффициент диффузии, определяемый из опыта и равный
Если взять элементарный объем dxdydz (фиг. 13.11), то изме
нение плотности нейтронного потока в направлении любой оси координат, например оси х, будет
dlx |
д/ |
dx |
|
|
|
дх |
|
|
|
и на основании (13.13) и (13.14) |
|
|
|
X |
|
|
(13.15) |
|
3 |
дх2 |
|
|
|
|
Утечка нейтронов из элементарного |
объема в |
направлении |
оси х будет |
|
|
|
|
Lx= d lmdy d z ---------У-d x d y dz. |
,» (13.16). |
|
|
3 uX |
|
|
Написав аналогично выражения для утечки нейтронов Ly и- |
Lz в направлении осей у и z, |
получим |
выражение для полной. |
■22. т . М. М елькумов, Н . И. М елнк-Паш аев |
337" |
утечки нейтронов из элементарного объема за 1 сек и на 1 см3:
у = |
Ly + Lz |
\ tr (д 2у |
д2у |
дгу |
(13.17) |
|
d x d y d z |
3 \дх 2 |
ду2 |
dz2 |
или |
|
|
|
|
|
|
|
У — — ~£~V2¥> |
|
|
' (13.18) |
где v : — оператор Лапласа. |
(13.12) |
и (13.18) означают, что |
Знаки минус в уравнениях |
тепло и нейтроны текут (или диффундируют) из области высоких Т и / в области меньших Т и /.
Количество поглощаемых в 1 см3 и в 1 сек нейтронов равно
(13.19)
где Noa— макроскопическое сечение поглощения в одно родной среде или эквивалентное макроскопическое сечение погло щения для приведенной неоднородной среды.
Если п — число нейтронов в 1 см3 к данному моменту, то из менение числа нейтронов по времени равно
' M = — = q . |
(13.20) |
d x |
|
Остается еще определить количество вновь родившихся ней тронов; эта задача по-разному решается для гетерогенного и для гомогенного реактора. Обозначив в общем случае число вновь об разующихся нейтронов на 1 см3 и в 1 сек через Р, получим общее дифференциальное уравнение реактора (или общее диффузион ное уравнение)
- Р |
+ ^ у 2‘р - 'р Ц |
= ?- |
(13.21) |
ОХ |
3 |
а |
|
Если для реактора неограниченных размеров известен коэф фициент размножения km, тогда можно считать, что 2а погло щенных нейтронов образуют новое число £со<р £„ нейтронов; сле довательно,
и дифференциальное уравнение реактора запишется в форме
*~'p S + |
^ -V 2<P-<p2 |
= ?- |
(13-23) |
а |
о |
а |
|
Для стационарного режима работы реактора
дп
дх
В этом случае уравнение реактора принимает вид
или |
К 2®= |
О, |
(13.24) |
+ |
где |
|
|
|
д 2 _ 3 £ д ( ^ о о - |
1 ) _ |
k c |
(13.25) |
’Hr |
|
f 2 |
|
|
|
|
|
Величина К2 здесь зависит от ядерных свойств |
материалов |
активной зоны; поэтому К2' в уравнении (13.24) называется мате риальным параметром реактора.
Дифференциальное уравнение (13.24) решается для каждого конкретного случая с учетом свойств материалов в активной зоне,
атакже типа, конструкции и геометрических размеров реактора.
Вслучае гомогенного реактора неограниченных размеров (без отражателя) на тепловых нейтронах выражение для Р мо
жет быть записано в форме
Р = *» £ e '?e-iPV • |
(13.26) |
Из (13.24) |
(13.27) |
Т2? = — К 2’?. |
Учитывая (13.26) и подставляя (13.27) в уравнение (13.21), получим для стационарного режима
-K'Lf ~ ^о А 2ср-<рЦа=0;
так как
|
и |
|
|
|
то |
|
|
|
fc o e -^ y |
_ j |
(13.28) |
|
1 + K2Lf2 |
~ |
|
|
Если величина К2 удовлетворяет уравнениям (13.24) и (13.28) , реактор будет работать на постоянном уровне мощности, т. е. стационарно. Уравнение (13.28) полностью совпадает с урав нением (13.10), как и следовало ожидать.
• Масса активной зоны реактора, удовлетворяющая уравнению (13.28) , называется критической*
ч Критической массой активной зоны всякого реактора назы вается такое количество делящегося вещества, которое при дан ных размерах и форме активной зоны и соотношениях различных веществ, находящихся в ней, а также при конкретных размерах и
материале отражателя обеспечивает эффективный коэффициент размножения/гэф=; 1.
Для гомогенного реактора бесконечно больших размеров без отражателя формула (13.28) выражает условие критичности ре актора.
Формула (13.28) позволяет определить величину К%матери ального параметра, удовлетворяющего условию стационарности процесса реактора, т. е. условию критичности при данных значе ниях /гм, Lf и L{. Вычислив величину /С2,' можно затем с помо щью выражений (13.6) — (13.9) для реакторов различной формы определить размеры активной зоны, так как для условия кри тичности материальный и геометрический параметры должны быть равны. Для возможности управления мощностью реактора в течение необходимого времени его работы полученные разме ры несколько увеличивают, что приводит к /гЭф>1-
Рассмотренная схема определения размеров активной массы, удовлетворяющих условию критичности, является наиболее про стой; она предполагала наличие в системе только одних тепловых нейтронов с одинаковой величиной энергии. Эта теория поэтому носит название одногрупповой теории. В действительности нейт роны имеют различные уровни энергии, и поэтому методы расчета активной зоны реактора отличаются большей сложностью.
Гетерогенные реакторы с помощью коэффициентов перехода могут быть рассчитаны, как гомогенные; это тем более надежно можно сделать, чем меньше размеры индивидуальных ТВЭ и, сле довательно, чем меньше шаг между осями соседних ТВЭ.
Как уже указывалось, применение отражателей обеспечива ет условия критичности реактора при меньших размерах актив ной зоны, сокращая или устраняя потери нейтронов; кроме того, отражатели выравнивают нейтронный поток внутри реактора (см.
фиг. 13.10), увеличивая отношение среднего нейтронного |
потока |
в реакторе в целом к максимальному нейтронному потоку |
О |
—-— • |
При проектировании реакторов для определения приближен ных размеров активной зоны при наличии отражателя пользуют ся следующей методикой. Находят размеры активной зоны при нятой геометрической формы без отражателя; затем уменьшают эти размеры на величины так называемых эффективных добавок, учитывающих наличие отражателя. Например, определив радиус /?о и высоту # 0 активной зоны цилиндрического реактора без от ражателя, находят приближенно действительный радиус актив ной зоны с отражателем
Ra= Яо - ДЯ |
(13.29) |
к действительную высоту |
|
На= Н п- 2ДЯ, |
(13.297) |
где Л/? и АН — эффективные радиальная и торцевые |
добавки |
|
|
|
|
|
|
|
|
Эффективная добавка, |
как правило, |
меньше толщины отра |
жателя. Для |
каждого материала отражателя существует |
такая |
толщина |
Атах дальнейшее увеличение которой не влияет ни на |
нейтронный |
баланс, ни на |
распределение нейтронного |
потока |
в активной зоне (см. фиг. |
13.9). Величина Ашах |
составляет, на |
пример, |
для бериллия |
около 500 мм; |
для графита — |
около |
1200 мм. |
|
|
|
|
|
Атох. Величина |
Эффективнее добавки составляют (0,3-г 0,5) |
0,3 Атах принимается для |
эффективной добавки, если толщина от |
ражателя равна 0,3 А11ПХ; величина 0,5 Дтах принимается, если тол щина отражателя равна Дтах •
§ 13.9. ИЗМЕНЕНИЕ НЕЙТРОННОГО ПОТОКА В РЕАКТОРЕ. ЧАСТНЫЕ ДИФФУЗИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Общее диффузионное уравнение реактора (13.21) можно ре шить для ряда частных случаев. Полагая для стационарного ре
жима ---- — Ои величину Р пропорциональной числу 9 £„ по-
дъ
глощенных в активной зоне нейтронов, можно получить для сфе
ры с радиусом Ro
d- ? _ j _ 2 fifcp ^
dR2 + ~R |
dR ~ |
9 |
/1 . |
R |
= — s ms — |
|
R |
Ro |
здесь A — постоянная; при R=:Ro величина 9=^0; © =
|
заданная величина при |
=; 0, т. е. в центре сферы. |
|
Для цилиндра высоты Я0и радиусом основания Ro . |
|
д2< |
+ |
|
ду |
+ |
д29 |
В1о = 0 |
|
dR2 |
R dR |
дН2 |
|
|
|
о = |
A cos - Я j |
2,405 R |
(13.31) |
|
|
|
Но |
° R0 |
|
|
здесь / о — функция Бесселя |
нулевого порядка; А — постоянная; |
? == ?гаах— заданная |
величина в |
центре |
реактора; |
9 = 0 при |
R = Ro и при Я = |
£ |
■ |
|
|
|
|
Для прямоугольного параллелепипеда со сторонами ао, Ь0 |
и С» |
|
|
|
|
|
|
а29 |
^ |
|
+ & . - 0 |
|
да2 |
|
|
дЬ |
|
дс2 |
|
|
|
9 = |
. |
теа |
ж Ь . . |
7ГС |
(13.32) |
|
A co s---- cos |
• cos- |
|
Относительное изменение нейтронного потока по относитель ному расстоянию от центра активной зоны вдоль оси реактора показано на фиг. 13.12'для сферы, цилиндра и параллелепипеда. Практически для этих трех различных форм реакторов закон из менения ® по оси реактора одинаков и выражается законом косинуса.
Установка отражателя, как указывалось, приводит к тому, что на периферии активной зоны реактора <р>0. Приближенно для реактора с отражателем
1,0
|
§ |
0,8 |
ч Щ ^ П а р а л л е л е - |
|
! |
|
|
\ \ |
пипед |
|
•о 0,6 |
|
|
|
IО* |
Ц ит.1Ндр |
\ . |
|
з |
|
Круг |
л |
£
е
X
0,2 0,4 0р 0,8 1,0
От н о си т ел ьн о е р а сст о я н и е
от ц е н т р а
Фиг. 13.12. Распределение нейт ронного потока в реакторах
— — |
1,35—1,5. |
(13.33) |
finin |
|
|
Для расчета мощности реак тора нужно знать среднее значе
ние нейтронного потока <р по всему объему активной зоны. Это значение пропорционально максимальному нейтронному по току tpmax в реакторе, зависит от геометрических размеров и кон струкции активной зоны, от ве ществ, в ней находящихся, и от размеров и материала отража теля.
Для цилиндрического гомо генного реактора с отражателем
? ~ (0,7-5- 0,8) сртах,
Неравномерность нейтронного потока в поперечном и про дольном сечениях нежелательна, оробенно в тех случаях, когда необходимо равномерное поле температур нагреваемого в реак торе проточного тела (газа). Кроме того, уменьшение нейтрон ного потока в конечной части реактора (по течению нагреваемо го газа) делает эту часть мало эффективной. Исправить этот недостаток можно или неравномерным распределением деляще гося материала или поглотителя нейтронов в объеме активной зоны, или изменением проходных сечений для охлаждающего агента. Эти решения влекут за собой увеличение веса и разме ров реактора.
При условиях (13.30), (13.31) и (13.32) минимальные крити ческие объемы реактора получаются: для сферы
ИП1111= -^-тс/?05= 4,2 £ 03;
из (13.6) Ro ==:
К
