книги из ГПНТБ / Карпухин А.В. Приборы систем управления ракет учебное пособие

40

Момент инерции исследуемого ротора определяется соотноше­

нием

Этот метод позволяет определить моменты инерции различных тел относительно любой оси, для чего тело подвешивается на прово­ локе вдоль рассматриваемой оси.

§ 1 .4 . ПОВОРОТНОЕ УСКОРЕНИЕ. КОРИОЛИСОВЫ СИЛЫ ИНЕРЦИИ

Каждое материальное тело в общем случае может одновремен­ но участвовать в нескольких простых движениях, т .е . совершать сложное движение. Особый интерес представляет сложное движе­ ние, тела, когда его переносное движение является вращатель­ ным, а относительное - вращательным или поступательным. При этом движении возникают несколько необычные явления, обуслов­ ленные вращением тела и получившие в технике название гироско­ пических.

Причина возникновения гироскопических явлений заключается в том, что при переносном вращательном движении телу кроме относительного и переносного (Ve ускорения (если движение тела происходит с ускорением) сообщается еще одно ускорение Wc , которое называют поворотным или кориолисовым (иногда его называют добавочным). Абсолютное ускорение при этом будет

w - w r +w e+w c .

41

Причину возникновения кориолисова ускорения Wc рассмотрим на примере. Представим твердый уравновешенный диск, вращающий­ ся вокруг неподвижной оси 0j02 (рис.1.13) с постоянной угло­

по окружности радиуса г, . Так как вращение диска равномерное, то шарику будет сообщаться только центростремительное ускоре­ ние, направленное вдоль радиуса к оси вращения. Вследствие вращэтельного движения шарика вместе с диском будет развивать­ ся центробежная сила инерции

Fu = т ш г г, ,

которая будет восприниматься опорой крепления шарика и харак­ теризовать стремление массы т к отрыву от диска.

Предположим теперь,_что шарик начал движение по желобку с постоянной скоростью Ц. . Это движение является относитель­

ным. С появлением движения шарика относительно диска он начи-

Н80т участвовать в сложной движении: в относительном движении со скоростью Vr и в перенооном движении вместе с диском с угло­ вой скоростью Со . В этом случае траектория движения шарика уже не будет являться окружностью.

Вследствие наличия скорости Vr расстояние от шарика до оси вращения с течением времени будет непрерывно увеличиваться и, следовательно, будет увеличиваться окружная скорость пере­

при его сложном движении. При вращении диска непрерывно изме­ няется в плоскости вращения шарика направление вектора его отно­ сительной скорости у . ,что также следует рассматривать как ре­ зультат ускорения, приобретаемого шариком.

Общее добавочное ускорение шарика при его оложном движе­ нии будет состоять из ускорения, определяющего изменение окруж­ ной скорости Ve переносного движения по величине, и ускорения, характеризующего изменение направления скорости относительного движения Vr .

Найдем численное выражение для добавочного ускорения. До­ пустим, что за время At диск повернулся на угол лер. Шарик, переместившись вдоль радиуса на расстояние VrA tи повернувшись вместе с диском.на угол ац>, займет новое положение т' на уда­ лении гг от оси. Окружные скорости переносного движения шарика в начальный момент времени и по истечение времени At соответ­ ственно будут

Ve/- c o r , ; Vei-uirt-Lofc+VrAtyurj+uVrAt.

Добавочное ускорение W, , возникшее в результате измене­ ния окружной скорости Ve по величине, будет выражаться вели­ чиной изменения скорости за единицу времени:

Величина окружной скорости перенооного движения шарика вследствие его удаления от оси вращения увеличивается, следо­ вательно, ускорение совпадает по направлению с вектором ско­ рости % и будет направлено перпендикулярно радиусу. Еоли ша­ рик будет приближаться к оси крещения, ускорение будет на­ правлено в сторону, обратную вектору скорости Ге •

и a Vk в геометрической сумме дают результирующую скорость от­ носительного движения Vr ' , которую шарик будет иметь через время &t . При небольшом промежутке времени At величину из­ менения скорости можно выразить так:

А Vr - V r A 4>=Vr to At .

Таким образом, за время At , в течение которого диск по­ вернется на угол Аф , скорость относительного движения шари­ ка изменится по направлению на величину д1£>. Ускорение Щ , которое при этом будет сообщаться шарику, определяется следую­ щим образом:

Направление ускорения W2 всегда перпендикулярно вектору Vr (ес­ ли бы он не был перпендикулярен вектору Ц. , то происходило бы изменение скорости Vr не только по направлению, но и по величине) и совпадает с векторами Ve и Щ . Так как ускорения

ускорения является изменение расстояния от движущегося тела до оси переносного вращения.

Зная направление вектора угловой скорости ш переносного движения и направление составляющей относительной скорости Vr% которая характеризует изменение расстояния теле до оси пере­ носного вращения, можно в любой момент времени определить на­ правление поворотного ускорения, используя правило буравчика: если рукоятку буравчика вращать по направлению кратчайшего совмещения вектора угловой скорости переносного вращения о>

с вектором относительной скорости V,. , то поступательное дви­ жение самого буравчика покажет направление поворотного уско­ рения. Направление поворотного ускорения всегда лежит в пло­ скости переносного движения. Его можно также определить и по следующему правилу: если рассматриваемое тело, участвующее в сложном движении, вследствие относительного движения удаляет­ ся от оси переносного вращения, то направление поворотного

45

ускорения совпадает с направлением окружной скорости перенос­ ного движения; если тело приближается к оси вращения, то пово­ ротное ускорение будет направлено навстречу окружной скорости переносного движения.

В соответствии со вторым законом классической механики для сообщения телу поворотного ускорения к нему нужно со сто­ роны другого теле (диска) приложить силу, равную произведению массы тела на сообщаемое ему ускорение, т .е .

F=mWc=2m u)Vr .

При действии на тело силы F со стороны этого ускоряемого те­ ла возникает противодействие, равное и противоположно направ­ ленное силе, вызывающей поворотное ускорение. Это противодей­ ствие называется поворотной или кориолисовой силой инерции и выражается

Fc~ - F ~ - 2 mtjjVr .

вращающегося диска. Кориолисова сила инерции является той си­ лой, с которой ускоряемый шарик при его сложном движении дей­ ствует на диск и тем самым противодействует причине, вызвав­ шей вращательное переносное движение шарика. Относительно оси

тивления массы шарика переносному вращательному движению. Он будет препятствовать переносному движению шарика, создавая вращению диска тормозящий эффект, так как направлен в сторону, противоположную угловой скорости переносного вращения. Возник­ новение момента Мг приводит к тому, что для поддержания угло­ вой скорости вращения диска постоянной необходимо по оси диска приложить дополнительный момент, преодолевающий гироскопиче­ ский момент. Нетрудно доказать, что при движении шарика по

радиусу к оси вращения кориолисова сила инерции и создаваемый ев момент будут ускорять вращение диска.

Рассмотрим несколько примеров возникновения кориолисовой силы инерции и ее действия на материальные тела. На рис.1.15 изображена установка для лабораторной демонстрации кориолисо­ вых сил инерции. Диск I из мягкого материала (резины, бумаги или материи) приводится во вращение электродвигателем 2 вокруг горизонтальной оси с большой угловой скоростью Q . Вследствие

возникающих при вращении центробежных сил инерции все мате­ риальные частицы диска располагаются в.плоскости вращения и диск приобретает достаточную жесткость. При большой скорости вращения жесткость диска может достигать такой величины, что диском, даже.из бумаги, можно, как пилой, разрезать более твердые тела.

Сообщим диску вращение вокруг вертикальной оси Y с не - которой угловой скоростью ц) при помощи двигателя с редукто­ ром, установленного внутри основания установки 3. Диск теперь совершает сложное движение с относительной скоростью Q и перенооной скоростью и) . Так как переносное движение является вращательным, возникают кориолисовы силы инерции, действие

47

которых приводит к деформации диска, как.показано на рисунке. Выясним физическую сущность этого явления.

Не р и с .I .16 показаны два положения вращающегося диска, ко­ торые диск занимал в начальный момент времени и по истечении

Уг1 , если бы на нее не воздействовали внутренние оилы сцепле­ ния со стороны других частиц диска, стремясь сохранить на­ правление своей скорости, при повороте диска вокруг вертикаль­ ной оси отклонилась бы от плоскости II влево; симметрично рас­ положенная частица 3 вследствие инерции, стремясь сохранить направление своей скорости Vr3 , отклонилась бы от плоскости П вправо.

Кориолисовы силы инерции, действующие на частицы, распо­ ложенные дальше от оси относительного вращения, будут больше, чем кориолисовы силы инерции, действующие на ближние к оси частицы. Действие этих сил, выражающее стремление частиц со­

48

хранить направление своей скорости, приводит к деформации ди­ ска. Следует отметить, что частицы 2 и 4 при вращении диска вокруг вертикальной оси не изменяют направления окружной ско­

и 4 не сообщается поворотное ускорение и они не стремятся от­

расположенных дальше от оси относительного вращения, на более ближние к оси частицы будет передаваться действие кориолисовых

текущую в северном полушарии в направлении с севера на юг. Вы­ делим некоторую массу воды тt , которая отстоит от оси враще­ ния Земли на расстоянии г( . Эта масса воды будет совершвть сложное движение: относительное движение со скоростью течения Vrt вдоль меридиана и переносное движение вместе с земным ша­ ром вокруг его оси вращения с окружной скоростью переносного движения Ve, , направленной с запада на восток.

Вследствие наличия течения реки выделенная масса воды бу­ дет переноситься с севера на юг. При этой величина окружной скорости переносного вращения будет увеличиваться, так как расстояние от выделенной массы воды до оси вращения Земли будет увеличиваться. Следовательно, мессе воды будет сообщать­ ся поворотное ускорение, направленное согласно с направлением окружной скорости переносного вращения Ге / . Возникающая при этом кориолисова сила инерции будет направлена к правому бе­ регу и будет оказывать на него давление, что может привести к размытию берега при быстром течении реки. Давление массы

воды на берег зависит от скорости течения, а также от.широты места: чем больше широта места и скорость течения реки, тем больше давление и, следовательно, размыв берега.

Подобными рассуждениями можно прийти к выводу, что у реки, текущей с юга не север в северном полушарии, кориолисова сила инерции будет также направлена к правому берегу. Поэтому пра­

ли, подвержено действию кориолисовых сил инерций. Кориолисовы силы инерции определяют направление главнейших океанских те­ чений и некоторых ветров.

Баллистическая ракета в полете также подвержена действию кориолисовых сил инерции, что приводит к значительным откло­ нениям ее от направления стрельбы. Рассмотрим движение ракеты, начиная с конца активного участка ее траектории. Ракета, как тело, брошенное под некоторым углом к горизонту, будет иметь постоянную горизонтальную составляющую скорости. Следователь­ но, она участвует в сложном движении: движется относительно Земли и участвует также в ее суточном вращении. Возникающие вследствие этого поворотные силы инерции будут стремиться от­ клонить ракету от направления ее движения. Отклонение будет тем заметнее, чем больше скорость полета ракеты (составляющая скорости, направленная по меридиану), время полета и ши­ рота, в которой запущена ракете. При полете ракеты в северном