книги из ГПНТБ / Карпухин А.В. Приборы систем управления ракет учебное пособие

30

Направление линейной скорости иатериалвных точек маховика в процессе вращения все время меняется, следовательно, как от­ мечалось в § 1 .2, точкам сообщается ускорение. В доказатель­ ство рассмотрим два последовательных положения, которые зани­

ца обладает в положении А/ . Определим численное изменение ско­ рости во времени и величину, а также направление ускорения.

Треугольники ОАА' и а' вС являются равнобедренными и по­ добными (стороны А'В и а'С перпендикулярны сторонам 0А и 0А' соответственно). Поэтому можно написать

ние которого это изменение произошло, определим величину уско­ рения частицы при ее движении по окружности радиуса 0А= R . Если рассматривать угол поворота маховика за весьма малый про­ межуток времени a t , можно убедиться, что определяемое ускоре­ ние, как и дополнительная скорость а V, направлено перпендику­ лярно вектору окружной скорости частицы V , т .е . по радиусу вращения частицы к центру. Поэтому это ускорение получило на­ звание центростремительного. Оно равно

31

UA4= f r _V uj=X =UJ‘°/? •

Следовательно, в каждый момент времени при вращении твердо­ го тела каждой его частице сообщается центростремительное ускорение, которое изменяет направление окружной скорости дви­ жения частицы. Это ускорение вызывается действием на частицу центростремительной силы, которая является результатом взаимо­ действия (сцепления) каждой материальной частицы с остальной массой маховика, т .е . внутренними силами сцепления. Величина центростремительной силы , действующей на выделенную части­ цу mL со стороны маховика, равна

тс V / . F4l- m LW^i r. -mLи) ti ,

где rL - расстояние от выделенной частицы до оси вращения. Центростремительная сила приводит к непрерывному искрив­

лению траектории движения частицы, удерживая ее на окружности вращения.

Согласно третьему закону механики каждая материальная ча­ стица mi действует на маховик с силой, равной по величине цен­ тростремительной силе, но обратно направленной:

8та сила называется центробежной силой инерции. Центробежная сила характеризует усилие на отрыв частицы

от массы маховика и вызывает внутреннее напряжение в теле ма­ ховика. При большой скорости вращения величина центробежных сил инерции (разрывных усилий), с которыми материальные части­ цы действуют на тело маховика (тело маховика является связью для материальной частицы), становятся больше внутренних сил сцепления, с которыми масса маховика действует на материальные частицы, и маховик при этом разрушается. Поэтому каждое вращаю­ щееся тело имеет допустимую скорость вращения, при которой обеспечивается запас прочности его конструкции.

В окружающем нас мире очень много примеров проявления цен­ тробежных сил инерции. Уяснив их сущность как проявления основ­ ного свойства материи (свойства инерции), человек научился бо­ роться с вредными проявлениями или действиями сил инерции, а

32

также вызывать силы инерции там, где их действие приводит к желаемому результату.

Представим вращающийся маховик, у которого центр тяжести не находится на оси вращения (случай статически неуравновешен­ ного маховика). Центр тяжести вследствие вращательного движе­ ния маховика будет двигаться по окружности радиуса л I , равно­ го смещению центра тяжести относительно оси вращения. При этом на смещенный центр тяжести будет действовать центробежная си­ ла инерции Fu . Если скорость вращения маховика 30000 об/мин,

будет в 10 раз превышать вес маховика. Эта сила будет воспри­ ниматься опорами крепления маховика и направлена по радиусу. Так как ее направление непрерывно меняется, то опоры будут испытывать знакопеременную нагрузку, значительную по величине, что приведет к колебаниям опор, а следовательно, и вращающего­ ся маховика. Вместе с опорами будет колебаться основание креп­ ления маховика - фундамент.

Колебания, как правило, оказывают вредное действие. Они вызывают ускоренный износ опор вращающегося неуравновешенного тела, раскачивают подшипники и вызывают их интенсивный износ, разбалтывают крепление опор, вызывают оседание основания, тре­ щины фундамента. Если колебания становятся резонансными (ча­ стота вибраций равна собственной частоте вращающегося тела), то они могут приводить к поломкам и разрушениям вибрирующих частей машин. Поэтому вращающиеся части машин и механизмов при их изготовлении тщательно уравновешивают, балансируют.

В своей практике человек создал значительное количество

Динамические параметры вращения. Уравнение моментов

Рассмотрим динамические параметры вращения тела при дейст­ вии на него внешних сил, т .е . установим связь между характером движения твердого тела и действующими силами.

33

В точке А маховика, имеющего неподвижную ось вращения OjOg, перпендикулярную плоскости маховика (ри с.1 .9 ), приложим силу F, линия действия которой лежит в плоскости маховика. Сила будет стремиться повернуть маховик

вокруг оси Oj 02 . Вращатель­ ный эффект силы F относи­ тельно оси будет зависеть не только от величины приложен­ ной силы, но и от направле­ ния действия силы, а также от удаления точки ее приложе­ ния от оси вращения.

Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии (на­ правления) действия силы на­

Момент силы является вектором и его в механике условились направлять по оси вращения в ту сторону, откуда вращение, ко­ торое стремится вызвать сила, будет казаться происходящим про­ тив часовой стрелки. Удобно направление момента силы опреде­ лять по правилу буравчика (винта): если вворачивать буравчик так, чтобы направление вращения его рукоятки совпадало с на­ правлением, в котором сила стремится вращать тело, то поступа­ тельное движение буравчика покажет направление момента силы.

Из практики известно, что массивный маховик сравнительно легко можно повернуть, приложив силу к его ободу перпендику­ лярно радиусу ( р = 90°), и труднее сдвинуть его при небольшом удалении линии действия силы от оси вращения. Если линия дей­

35

i-п

тарных частиц данного тела на квадраты расстояний от этих ча­ стиц до оси вращения, называется моментом инерции маховика от­ носительно его оси вращения и обозначается I . Таким образом, момент внешних сил равен

М - 1е ,

Полученное выражение является основным уравнением движения, или основным законом динамики вращательного движения, и форму­ лируется следующим образом:

При действии на тело,имеющего ось вращения, постоянного момента внешних сил сообщаемое телу угловое ускорение по­ стоянно, прямо пропорционально величине момента приложен­ ных сил и обратно пропорционально моменту инерции тела от­ носительно оси вращения; направление углового ускорения Есегда совпадает с направлением действующего моменте.

Если сравнить выражение е»-^- с основным законом динамики

для поступательного движения W -£ -t можно сделать вывод, что

нии.

Физический смысл момента инерции тела заключается в том, что он характеризует распределение массы теле (его вещества) относительно оси вращения и служит поэтому мерой инертности тела при его вращении, т .е . определяет сопротивляемость тела при его вращении воздействию внешних сил.

На рис Л . I I изображены три симметричных роторе одинакового диаметра, имеющие одинаковые вес и массу, но разное распреде­ ление вещества (массы) относительно оси вращения. Так, махо­ вик I имеет равномерно распределенную массу, у ротора П боль­ шинство частиц тела удалено от оси вращения, т .е . вещество ротора разнесено преимущественно по его ободу, а масса махови­ ка Шсосредоточена вблизи оси вращения. Следовательно, наиболь­ шим моментом инерции обладает маховик П, наименьшим - маховик Ш.

36

Поэтому при одной и той же величине момента, действующего по оси вращения роторов, для сообщения роторам одинакового числа оборотов в минуту, т .е . одинаковой угловой скорости вращения, потребуется для ротора П наибольшее, а для ротора Шнаимень­ шее время.

В общем случае по оси вращения тела могут действовать не­ сколько моментов сил. Результирующий момент, который и опре­ делит характер вращения тела вокруг оси, определяется элгебраи ческой суммой моментов. Принято различать вращающие моменты,

под действием которых происходит ускоренный разгон вращающего­ ся тела, и моменты сопротивления, тормозящие, замедляющие,вра­

действия магнитных полей статора и ротора. На вэлу электродви­ гателя действуют моменты сопротивления: момент холостого хода И0 и полезный тормозной момент нагрузки Ин (момент полезного сопротивления). Момент холостого хода имеется при любом режиме работы двигателя и определяется трением в подшипниках, трением щеток о коллектор (у машин постоянного тока), сопротивлением окружающей среды (вентиляционные потери) и потерями в стали. По сравнению с нормальным полезным момептом двигателя Мя мо­ мент холостого хода невелик и составляет 2 - 6% от №н.

Ускорение вращения ротора электродвигателя с учетом Есех действующих моментов будет

37

Таким образом, ускоренное вращение ротора электродвигателя и, следовательно, изменение ei*o скорости вращения, будет только при. преобладании движущего моменте над моментами сопротивле­ ния. При равенстве движущего момента сумме моментов сопротив­ ления (алгебраическая сумма моментов, действующих на валу дви­ гателя, равна нулю) угловое ускорение равно нулю и ротор дви­ гателя вращается с постоянной угловой скоростью. Это - случай установившегося вращения.

Уравнение динамики вращательного движения часто записывают в виде

Произведение /е называют инерционным моментом и обозначают Мы. Этот инерционный момент (его иногда называют реактивным момен­ том) действует на статор двигателя в неустановившемся режиме работы, т .е . при изменении скорости вращения ротора, и стре­ мится повернуть статор в сторону, обратную вращению ротора.

Согласно принципу Даламбера в механике инерционный момент условно прикладывают к ротору и рассматривают равновесие мо­ ментов, которое математически выражается следующим образом:

Ми + Мо + Мн = м-

Это выражение называется уравнением моментов или уравнением вращательного движения в общем виде.

Инерционный момент Ми зависит от знака (направления) угло­ вого ускорения Т . Если скорость вращения растет, то момент Ми положителен и увеличивает тормозной момент на валу двига­ теля, складываясь с моментами Ма и Мн . При уменьшении скоро­

сти вращения Ми отрицателен и уменьшает общий тормозной момент.

валу двигателя равнв нулю, при этом наступает установившийся режим вращения двигвтеля.

39

ct - внутренний диаметр;

Ътолщина (высота) кольца;

у - удельный вес материала кольце, Г/см*3.

Момент инерции любого маховика сплошной формы (рис.1.12) определяется путем разбиения маховика на ряд элементарных тел, у которых моменты инерции определяются по наиболее простым и заранее известным формулам. Так, например, момент инерции изо­

Рис.1.12 ^

Относительно любой оси момент инерции тела можно найти, если известны момент инерции тела относительно оси, проходя­ щей черев центр тяжести 1ЦТ , масса тела т и расстояние между осями I :

/ “ Л*т+ m l .

На практике чаото используют способы экспериментального определения моментов инерция маховиков и роторов, нвпример метод крутильных колебаний (метод Гаусса). Сущность этого способа заключается в следующем.

На проволоке подвешивается ротор, момент инерции которого необходимо определить. Повернув его вокруг вертикальной оси на некоторый угол и отпустив, определяют период Tj его коле­ баний, который выражается соотношением