книги из ГПНТБ / Вулконский Б.М. Основы теории радиолокационных устройств самонаведения ракет учебник
.pdfМетод погони
Методом погони называется метод наведения, при котором век тор скорости ракеты в каждый момент времени направлен на цель. Условием метода погони является равенство нулю угла между ли нией «ракета—цель» и направлением вектора скорости ракеты
(рис. 1-2)
•*] - •*]? = <7Р = 0. |
(1-2) |
Уравнения (1-1) для этого случая принимают вид:
L = |
Vu. cos (т) - |
7)ц) — 1/р; ) |
|
||
L^l = |
— Уц Sin (7) — 7]ц). |
J |
' ; |
||
/ |
Обозначив т] — т)ц=<7ц и учитывая, |
||||
что 7]=<7Ц, перепишем (1-3) в виде: |
|||||
/ |
|||||
|
L = |
Уц cos <уц — 1/р; |
(1-4) |
||
|
|
|
|
||
Lqn = —Уц sin <7U.
Примем допущения, что цель дви жется прямолинейно (не маневрирует) и скорости ракеты и цели постоянны. При этом интегрирование уравнений (1-4) затруднений не вызывает.
Разделив первое на второе, получим
|
|
|
|
L_ |
sin уц |
с‘8 " “К |
(1-5) |
|
|
|
|
|
L |
||||
|
|
где |
|
|||||
|
|
|
|
У_ |
|
|
||
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
_е |
. |
(1-6) |
|
|
|
|
|
|
П — |
иц |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После интегрирования (1-5) находим |
|||||
L = L 0 |
sin дц |
\ n |
1/ |
1 + |
cos <уСц |
|
|
(1-7) |
sin q0n |
) |
\ |
1 + |
cos qu. |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
здесь L0 и qou.— начальные значения параметров. |
|
|
||||||
Формула (1-7) определяет |
закон сближения ракеты с целью |
|||||||
при методе погони. Из нее следует, что L -*0, когда <7u->0(sim7u->0), то есть ракета всегда настигает цель вдогон*).
*) Исключением является случай движения строго навстречу.
10
Уравнения движения (1-4) позволяют также найти время полета ракеты от начала самонаведения до момента встречи с целью [6]
4. |
L 0(cos qoa. + |
ti) |
n 0N |
ta== |
nVр - У ц |
• |
(1' 8) |
Как видно, время полета по траектории погони конечно только при условии п > 1. То есть встреча ракеты с целью возможна, если скорость ракеты превышает скорость цели*).
Для выяснения других ограничений и особенностей метода по гони запишем выражение для угловой скорости линии «ракета— цель».
Из (1-3) имеем
'П= |
— |
sin (kj — %). |
(1-9) |
|
Так как, по условию метода г) = |
г]р, то rj = т]р и |
|
||
|
Vp= - V ± s i n q u. |
(1-10) |
||
Из (1-10) следует, что при методе погони движение ракеты яв |
||||
ляется криволинейным даже при прямолинейном |
движении цели. |
|||
Исключения составляют случаи |
движения ракеты и цели строго |
|||
вдогон (<7ц = 0) и строго навстречу |
(</ц = я). |
|
||
Поперечное ускорение ракеты при движении ее по криволиней |
||||
ной траектории равно |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
аР=\УрЪ\. |
( 1- 11) |
||
Следовательно, поперечное ускорение ракеты |
в каждой точке |
|||
траектории погони определится как |
|
|
||
а р |
VPV* |
sin<7u . |
(1- 12) |
|
L |
|
|||
Видно, что поперечное ускорение ракеты возрастает с ростом скорости цели и уменьшением расстояния до нее. И если в какой-то точке траектории это ускорение превысит предельное значение, ко торое может обеспечить реальная ракета, то ракета сойдет с траек тории метода. Встреча с целью становится невозможной.
Анализ формулы (1-12) показывает следующее. При п > 2 тре буемое по условию метода максимальное значение поперечного ус корения ракеты равно бесконечности и достигается оно в точке встречи. При п < 2 требуемое максимальное поперечное ускорение достигается в некоторой тйчке траектории, отстоящей от точки встречи и всегда конечно, хотя и может быть весьма велико.
*) Исключением является случай движения строго навстречу.
11
Таким образом, оказывается, что при п > 2 реальная ракета никогда не сможет выполнить метод погони до конца, а при п < 2 сможет выполнить его тоже не всегда.
Сход ракеты с траектории метода вблизи цели приводит к ли нейному промаху ракеты относительно расчетной точки наведения По величине линейного промаха можно судить о применимости ме тода погони для конкретных условий. Если эта величина оказы вается меньше линейных размеров цели, то использование метода погони возможно, если больше — то метод не применим.
Естественно считать, что после схода с траектории метода в точке С (рис. 1-3) ракета будет продолжать движение с минималь но возможным радиусом кривизны
V 2
Pmin = — — . |
( М 3 ) |
^pmax |
|
где apmax— максимально возможное поперечное ускорение ракеты.
Рис. 1-3
Линейный промах при L 0 pmin в этом |
случае, оказывается |
||
равным [1] |
|
|
|
Д |
Pmin |
sin <7сШ |
(1-14) |
2fl2 |
|||
|
|
|
|
где <7сц— значение угла в момент схода ракеты с траектории. Мак симальная величина линейного промаха найдется как
Pmin ___ |
У д |
(1 -1 5 ) |
|
2пг |
2а.р max |
||
|
12
Видно, что максимально возможный линейный промах связан со скоростью цели квадратичной зависимостью. При самонаведении на быстродвижущиеся цели его величина оказывается обычно недо пустимо велика. Поэтому метод погони может применяться для са монаведения ракет на -малоподвижные или неподвижные цели.
Метод постоянного упреждения
Условием метода является постоянство угла между линией «ра кета— цель» и вектором скорости ракеты (рис. 1-4)
Ч — |
= ?оР = const. |
(1-16) |
Уравнения движения для этого случая будут:
L = 1/ц COS (7] — Т]ц) — l/p COS g0p;
L-q — —Уц sin (tj — 7]ц) + Vp sin q0p. (1-17)
Или, так как ц = qK:
L — Уц cos <7ц — Ур cos ?0р;
Lqa — — Уц sin да + Ур sin <70Р- . |
|
||
|
|
(1-18) |
|
Разделив одно уравнение |
на дру |
|
|
гое, имеем |
|
|
|
L _ |
cos да — п cos дор |
(М 9) |
|
|
—sin дч + п sin д0р q^ |
|
|
Оставляя в силе допущения о пря |
|
||
молинейности движения цели и по |
|
||
стоянстве скоростей цели и |
ракеты, |
Рис. 1-4 |
|
после |
интегрирования (1-19) |
получим |
|
sin qg — n sin ? 0p
L = U |
sin qoa — n sin q0p. |
|
п cosg.op
у 1—na sln“ q( op
X
!10p
1 — n sin q0p sin qog -f- cos gon V \ — n2 sin2 qw\ ^ “ sm 4°p
X
1 — ti sin <7„p sin да'-Ь cos #Ц]Л — ti2 sin2 q0 )
(1-20)
13
Формула |
(1-20) |
справедлива при условии /г2 sin2 qap < |
1. |
При |
|
/г2 sin2 ^0р= 1 |
зависимость |
получается несколько другая, |
а при |
||
л2 sin2 <70р > 1 |
закон |
сближения не обеспечивает встречу |
ракеты с |
||
целью за конечное время полета [6]. |
|
|
|||
Следовательно, условие л |
2 sin2.g0p-<l является необходимым ус |
||||
ловием применимости метода.
Угловая скорость вращения линии «ракета — цель» при постоян
ном упреждении равна |
|
|
|
4 = 7 7 |
iv p sin ?оР — |
sin (т] — т]ц)]. |
(1-21) |
Но т) = т)р и, следовательно, |
|
|
|
Чр = j - |
[УРsin <70р — |
^ sin ? ц]. |
(1-22) |
Из (1-22) видно, что траектория полета ракеты в общем случае остается криволинейной. Однако кривизна ее при удачном выборе #0р может быть меньше, чем при методе погони. Если же от начала самонаведения и до момента встречи удовлетворяется условие
sin ?0р = \ |
siri ?0ц» |
|
0-23) |
|
то траектория ракеты прямая. |
|
ракеты на траектории по |
||
Требуемые поперечные ускорения |
||||
стоянного упреждения равны |
|
|
|
|
лп = . ,^ b(Hp"^sin <7ор |
VnVр sin ?„) . |
(1-24) |
||
Исследование этой формулы вместе |
с (1-20) показывает, что |
|||
хотя метод постоянного упреждения и снижает величины |
требуе |
|||
мых ускорений на траектории по сравнению |
с методом погони, но |
|||
максимальное требуемое ускорение при п > |
2 остается бесконечно |
|||
велико. И так как из условия /г2 sin2 <70р < 1 |
углы упреждения при |
|||
п > 2 получаются малыми, то траектория постоянного упреждения в целом мало чем отличается от траектории погони. По этой при
чине метод постоянного упреждения практически не находит при менения.
Метод параллельного сближения
Параллельным сближением называется такой метод наведения, при котором текущее направление вектора скорости ракеты уста навливается так, чтобы положение линии «ракета — цель» в прост ранстве оставалось неизменным. Можно показать, что при этом ра кета сблизится с целью в наикратчайшее время. -
Условием метода является постоянство«угла между линией «ра кета— цель» и неподвижной в пространстве линией OZg (рис. 1-5)
Л = const. |
(1-25) |
14
Это условие может быть записано также в виде
|
т) = 0. |
(1-26) |
Уравнения движения при этом будут |
||
L = |
V* COS (т) — 7)ц) — |
F p COS (v) — rjp); | |
0 = |
7ц sin (7] — 7]ц) — |
(1-27) |
Vp sin (7) — Y]p). / |
||
Как видно, при параллельном сближении в каждый момент вре мени вектор скорости ракеты должен упреждать линию «ракета— цель» на угол
<7Р—[arcsin ^ - ^ - sinO . |
(1-28) |
При#любом маневре цели курсом или скоростью этот угол дол жен устанавливаться в соответствии с новыми значениями пара
метров движения цели. |
|
|||||
Связь |
угловых |
|
|
скоростей |
|
|
поворота векторов скорости ра- |
О |
|||||
кеты |
и цели (при |
постоянстве |
|
|||
величин векторов) |
может быть |
|
||||
получена дифференцированием |
|
|||||
по времени второго |
уравнения |
|
||||
(1-27) |
|
|
|
|
|
|
% = |
1 |
COS (7) — 7]ц) |
т]ц. (1-29) |
|
||
п |
COS (т] — 7|р) |
|
|
|||
Следовательно, если в на чальный момент выполнено условие (1-28), а в дальнейшем цель движется прямолинейно
спостоянной скоростью, то тра ектория ракеты прямая и тре буемые поперечные ускорения ракеты на траектории равны нулю. Закон сближения ракеты
сцелью для этого случая мож но получить, проинтегрировав
первое уравнение (1-27) |
Рис. 1-5 |
|
L = L0 + [Кц cos (т) — т]ц1 — Vp cos (tj — 7]р)] t. |
(1-30) |
|
Если цель маневрирует курсом, то траектория ракеты при па раллельном сближении криволинейна и требуемые поперечные ус корения ракеты равны
ар |
COS (?) — 7]ц) |
(1-31) |
COS (7) — и]р) |
15
где лц = |7ц^ц| — поперечное ускорение, развиваемое целью гфй! маневре.
Из (1-31) видно, что при |т]р | > | т]ц | требуемые поперечные ус корения ракеты меньше поперечных ускорений цели при ее маневре. Поэтому выполнение траектории параллельного сближения реаль ной ракетой всегда возможно. В этом и состоит главное преимуще ство метода параллельного сближения по сравнению с методами погони и постоянного упреждения. Параллельное сближение с рав ным успехом может использоваться для самонаведения ракет как на малоподвижные, так и на быстродвижущиеся цели. И в каждом случае это оптимальный вариант кинематического сближения.
Метод пропорционального сближения
Пропорциональным сближением называется метод наведения, при котором текущее направление вектора скорости ракеты выби рается так, чтобы уменьшить тенденцию линии «ракета — цель» к повороту. Таким образом, этот метод предъявляет менее жесткие требования к траектории по сравнению с методом параллельного сближения, где исключается всякий поворот линии «ракета — цель».
Пропорциональное сближение можно осуществить по-разному. Чаще всего условием метода является пропорциональность угловой скорости поворота вектора скорости ракеты угловой скорости пово рота линии «ракета — цель»':
% = |
(1-32) |
Интегрируя (1-32), получаем условие метода по углам
= kt\ + с. |
(1-33) |
Зависимость (1-32) представляет интерес в том отношении, что может рассматриваться как общее условие, отражающее любой двухточечный метод наведения.
Так, полагая в (1-33) k—\ и с= 0, получим условие метода по гони
Ч — |
= |
Я9 = |
0. |
Положив k = 1 и с Ф 0, имеем условие метода постоянного уп |
|||
реждения |
|
|
; |
^ — % = |
qP = |
с = |
const. |
При k=co из (1-32) получаем условие параллельного сближе
ния
т] = 0.
Следовательно, пропорциональное сближение является общим случаем сближения ракеты с целью. Оно занимает промежуточное
16
положение между двумя крайними, частными случаями: погоней и параллельным сближением (если с = 0) или постоянным упреж дением и параллельным сближением (если с Ф 0). Степень прибли жения к каждому из крайних случаев зависит от коэффициента к. Чем больше к, тем ближе траектория пропорционального сближе ния к траектории параллельного сближения. Именно по этой при чине метод пропорционального сближения иногда называют мето дом частичного спрямления траектории. При с = 0 с увеличением к в пределах от единицы до бесконечности спрямляется траектория погони, при с ф 0 — траектория постоянного упреждения.
Рассмотрим основные соотношения метода для случая спрям ления траектории постоянного упреждения. Уравнения движения будут:
L = |
Fucos (7] — 7ja) - F pcos(T) — 7]р), |
^_34j |
L '<j = |
— Vn sin (f} — т]ц) + F p sin (tj — yjp). . |
|
Система уравнений (1-34), (1-32), за исключением случая k = 2, может быть решена только численным интегрированием. Общее вы-
ражение для угловой скорости вращения вектора Vp имеет вид
^ = 7Г I V p sin fa |
sin (ij — 7]Ц)]. |
(1-35) |
Зависимость tqp от k отражена в |
(1-35) в 'неявном виде, так как |
|
L есть функция к. Исследование этой зависимости с учетом реше ния системы (1-34), (1-32) показывает, что, как и следовало ожи
дать, поперечные ускорения ракеты на траектории ар = | F pv)p| при прочих равных условиях меньше, чем при постоянном упреждении, но больше, чем при параллельном сближении. -
Наряду с условием (1-32) |
пропорциональное сближение в неко |
|
торых случаях выполняется по условию |
|
|
V p |
= V + кц |
(1-36) |
или |
|
|
V — V P = Я р = —Н |
(1-37) |
|
то есть по условию пропорциональности угла упреждения угловой
скорости поворота линии «ракета — цель». |
|
||
Легко понять, что |
('1-37) есть условие спрямления траекторий |
||
погони, так как при k = 0 |
(1-37) превращается в условие погони, а |
||
при к = со — в условие параллельного сближения. |
|||
Основные соотношения метода для случая (1-37) получим при |
|||
следующих упрощающих |
допущениях. Угол упреждения ^рмал |
||
{qp< 25°), так что sin qp zz. qp, a cos qp ^ |
1. Цель и ракета дви |
||
жутся с постоянными |
скоростями. Цель |
не маневрирует курсом |
|
(% = const). |
|
|
|
2 |
17 |
Уравнения движения при сделанных допущениях будут:
L = Vц [cos (т) — Чц) — «]; |
|
|||||
Z.7] = |
— 1/ц sin (•») — т]ц) + |
Vp (т] - |
т|р). j |
|||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
L = Уц (cos qn — п)\ |
|
|
|||
|
{L + |
kVp) qn = |
—F 4 s i n ^ , |
, |
||
так как ri = qц. |
|
|
|
kVр, тогда |
||
Введем новую переменную х = L + |
||||||
|
X = |
l/ц (cos ? ц — п); |
|
|
||
|
хдц = — |
sin <7Ц. |
|
|
||
Интегрируя (1-40), получим |
|
|
|
|
||
х = |
/ |
sin ди у - 1 j 1 - f |
cos ? оц \ п |
|||
Х' ( Л ± 1и. |
|
|
|
|
||
|
V sln ?оц / |
V 1 + |
cos ?ц |
/ |
||
Закон сближения ракеты с целью запишется в виде
(1-38)
(1-39)
(1-40)
(1-41)
L = |
|
n_1 < 1 + |
cos дои |
|
|
+ (i«+ |
( ж ^ г (Г 1 + |
cos д•ц |
(1-42) |
||
|
Сравнивая (1-42) с законом сближения по траектории погони (1-7), видим, что выполнение условия (1-37) эквивалентно увели чению дальности самонаведения при погоне на постоянную величи ну kVp, а это приводит к спрямлению траектории погони.
К такому же выводу можно прийти, рассмотрев выражение для угловой скорости поворота вектора скорости ракеты.
Угловая скорость поворота вектора Vp найдется дифференци рованием (1-36)
т)р = |
т] + |
1щ. |
|
(1-43) |
||
Из второго уравнения (1-39) имеем: |
|
|
||||
|
|
1/ц sin <7д |
|
(1-44) |
||
|
|
L + k V р ; |
|
|||
|
|
|
|
|||
■ч= |
— |
cos <7ц |
|
(1-45) |
||
L + |
kVp |
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
Vц sin qu /, |
u l/ц cos |
(1-46) |
||||
L + |
k Vp |
^ |
R L + |
kVp |
||
|
||||||
18
Видно, что с увеличением k угловая скорость поворота вектора
—>
Vp уменьшается, то есть траектория спрямляется и уменьшаются требуемые поперечные ускорения ракеты.
Метод пропорционального сближения позволяет в широких пре делах изменять форму траектории полета ракеты. Как и метод па раллельного сближения, он может использоваться для самонаведе ния ракет и на быстродвижущиеся цели, и на малоподвижные. И хотя траектория пропорционального сближения в общем случае криволинейна даже при прямолинейном движении цели, большим преимуществом этого метода по сравнению с методом параллель ного сближения является простота технической реализации.
В заключение отметим следующее.
Кинематический анализ задачи встречи, как это было показано, позволяет сформулировать условия, идеальное выполнение которых приводит к попаданию ракеты в цель; позволяет установить закон _ сближения ракеты с целью; вычислить время полета ракеты от на чала самонаведения до момента встречи ее с целью и дает доста точно правильное представление о потребных поперечных ускоре
ниях (перегрузках) ракеты на траектории.
Однако реальная ракета из-за ее инерционности и инерционно сти системы управления принципиально не может выполнить идеально кинематическое условие метода. Поэтому фактические поперечные ускорения, которые потребуются реальной ракете при стремлении выполнить метод, будут отличаться от полученных из кинематического анализа. И тем больше, чем ближе ракета к цели.
Кроме того, кинематическое исследование различных методов наведения предполагает, что в начальный момент ракета уже на ходится на траектории метода и идеально его выполняет. Ввод ра кеты в режим метода и потребные для этого поперечные перегруз ки не рассматриваются. Эти проблемы могут быть решены только в результате динамического анализа процесса самонаведения.
Поэтому окончательное решение вопроса о применимости того или иного метода для конкретных условий, как и окончательный выбор структурной схемы системы самонаведения, возможны толь ко после исследования динамики самонаведения.
Что же касается структурной схемы и особенностей устройства самонаведения, то они полностью определяются кинематикой са монаведения. При проектировании этих устройств следует только всегда помнить, что чем дальше от цели начинается самонаведение (чем больше дальность действия устройства), тем легче ракете вы полнить выбранный метод.
Это следует как из динамического анализа самонаведения ра кет, так и непосредственно из формул (1-12), (1-24), (1-35), (1-46). Чем больше начальная дальность самонаведения, тем меньше тре буемые текущие и максимальные поперечные ускорения ракеты.
19