книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Справедливость равенств (13, 14) можно проверить и непосредственно на числовой окружности. В самом деле, если число z на числовой окружности изобразится в точке Л4(г) (см. рис. 10), то числу —z будет соответствовать точка Л4' (—г), симметричная М относительно Ох (глава I, § 4). Но у таких точек абсцисса х=ОР ■—общая, а орди­ наты РМ=у и РМ'=—у отличаются только знаком, сле­ довательно, по определению круговых функций (при /?=1) будем иметь:

cos (—z)=x=cos z\

sin (—z) =—y=—sin z;

Формулы (13, 14), впервые развитые Л. Эйлером, дают возможность кратчайшим путем приводить круговые функ­ ции отрицательного аргумента к тем же функциям поло­ жительного аргумента, противоположного данному.

Примеры.

1.cos (—5,08)=cos 5,08;

2.tg (1—2л)=—tg (2х—1);

3.sin (—у)=—siny=—

4.cos (a—p)=cos (p—a).

Упражнения.

1. Даны функции: a) /(*)=——; б) g(.r)=.r+sin.r; в) h(x) = H-sinx;

г) P(x)= i+cos*; д) <2(л-)=д--|-cos х; е) S(,r)=sin.r cos х; ж) F(.v)= =2sin а'+tg х. Какие из них являются четными и какие нечетными?

79

§17. Сведение круговых функций любого аргумента

ктем же функциям положительного аргумента,

не превышающего у

В подготовительном курсе тригонометрии мы пользо­ вались таблицами круговых функций, составленными для углов и дуг от 0 до 90°. Может показаться, что в основном курсе, где рассматриваются функции любых углов, по­ требуется расширить указанные таблицы на углы, боль­ шие 90°. Оказывается в этом нет необходимости, потому что круговые функции любого аргумента с помощью не­ которых формул могут сводиться к функциям неотрица­

тельного аргумента, не превышающего у. Выводом таких формул мы и займемся в данном параграфе.

Изменение аргумента синуса и косинуса на полупериод

Если аргумент z у синуса и косинуса увеличить или

следовательно, ординаты и абсциссы этих точек отличают­ ся между собой только знаком:

следовательно, Р'М’=—РМ. следовательно, OP'=—OP

SQ

Возьмем выведенные нами формулы (15):

sin (г+л)=—sin z и cos (г-]-л)=—cos z.

Так как эти формулы справедливы при любом значении z, то можно положить в них также z=—z', тогда получим новые формулы:

sin (—г'Н-л)=—sin (—z') и cos (—г'-фл)=—cos (—z').

или, приняв во внимание нечетность синуса и четность ко­ синуса,

формулы (12), (13), (14), (15), (16) дают возможность сво­ дить синус и косинус любого аргумента к аргументу от­

Примечание. Тангенс и котангенс любого аргумента лег­

ко приводится к аргументу промежутка [0,-Ti- ] на основе теорем о

периоде и нечетности этих функций.

Примеры, tg 18139°=tg (180°-10-(-139o) = tg 139°= = tg (139°—180°) = tg (—41°)=—tg 41°. ctg (—13,75л)=ctg (—13,75л-pl 4л) =ctg 0,25л.

Установленные в данном параграфе свойства круговых

знак любой круговой функции, a k — любое целое число.

Упражнения.

1.Проверить справедливость равенств:

a) sin(~ri+z) = (—l)'!sin г; б) cos (л/г-рг) = (—l)”cos г (п—целое),

л

2.Преобразовать функции к аргументу промежутка [О,-^-!

sin(—12,7л); соз23,8л; tg 5; ctg 2,3.

3.Решить уравнение:

4 sin (х—л)—sin (2л—х)=2 sin (л-рх).

4.Доказать, что синусы смежных углов равны.

5.Доказать, что во всяком треугольнике синус любого угла равен синусу суммы двух других углов.

Составление таблиц круговых функций с большой сте­ пенью точности (как мы увидим дальше) требует огромного труда. Облегчить такой труд можно максимальным суже­ нием промежутка тех значений аргумента, для которых значения функций приходится вычислять непосредственно. Кроме того, пользоваться таблицами меньшего объема легче и быстрее.

В данном параграфе мы выведем формулы, дающие воз­ можность кратчайшим путем сводить круговые функции любых аргументов к аргументу принадлежащему отрезку

[°: т]-

1. Теорема о взаимной связи функций синуса и косинуса

Косинус любого аргумента равен синусу аргумента на большего, т. е.

cos z=sin ((17)

Доказательство. Пусть число z изображается на числовой окружности точ­ кой M(z) (рис. 44), тогда дуга AM=z радиан. Прибавим к

этой дуге дугу ММ'=^’

получим точку Л4'(г-|-у).

Строим ординаты РМ пР'М' точек М и М'. По определе­ нию круговых функций (при

/?=1) будем иметь:

Рис. 44.

cos z=OP, sin (z-p-^ — P'M'.

Остается показать, что отрезки ОР и Р'М' равны.

82

Сначала убеждаемся, что эти отрезки имеют одинаковые знаки при всех значениях z. Так на нашем рисунке точка Л1(г) расположена во II четверти, следовательно, ее абсцисса

ОР отрицательна; но точка ЛГ(г-|-у) расположена в III

четверти, а потому ее ордината Р'М’ также отрицательна. Убедитесь сами в совпадении знаков абсциссы точки M(z)

и ординаты точки M'(z-|-y) для случаев, когда M(z)

принадлежит I, III и IV четвертям.

Чтобы доказать равенство длин отрезков ОР и Р'М', проведем радиусы ОМ и ОМ' и рассмотрим образовавшиеся треугольники ОМР и ОМ'Р'. Эти треугольники равны, так как у них гипотенузами служат радиусы числовой окружности, а углы ОМР и М'ОР' равны, как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих кате­ тов ОР и Р'М'.

Следует заметить, что проведенные выше рассуждения теряют смысл, если число z изображается в какой-нибудь из точек А, В, А', В', так как в таких случаях треуголь­ ники ОМР и ОМ’Р' не существуют. Однако в этом случае в справедливости теоремы легко убедиться непосредствен­ но. Так, например, если число г изобразится в точке В,

то cos z=0; но в таком случае число г+унепременно изо­

бразится в точке А' и, следовательно, sin (?+у) будет также равен 0, а потому и в данном случае будем иметь соотношение: cos z=sin (z+y).

Выведенное тождество обнаруживает связь синуса и косинуса; оказывается косинус принимает те же значения,

что и синус, но при аргументе на у меньше, чем у синуса.

Данное свойство синуса и косинуса наглядно передается на их графиках, изображенных на рисунке 43.

Действительно, возьмем на косинусоиде точку С с ка­ кой-нибудь абсциссой z и построим ее ординату Cz. В силу доказанного равенства (17) такую же ординату будет иметь

на синусоиде точка N с абсциссой z-фу. Таким образом,

точку С можно получить смещением точки N параллельно

оси Oz влево на расстояние у. А поскольку эти рассуждения

верны для всякого значения z, то приходим к выводу, что вся косинусоида может быть получена параллельным сме­

щением синусоиды вдоль оси Oz влево на отрезок у, что мы и видим на графиках (рис. 43, 32 и 30).

2. Следствия из теоремы о взаимной связи синуса и косинуса

Применяя формулы (15; 17) находим:

cos (z+y )= sin [(z-}-y) +J- ]=sin(z-H0=—sin z,

откуда, учитывая четность косинуса и нечетность синуса находим, что

sin (у—z')=cos z'

(19)

cos (у—z')assin z'

Разделим почленно первое из этих равенств на второе,

Принимая во внимание тождества:

доказанные в § 8, (стр. 36) равенства (*) можно записать так:

tg (у -Z') =sctgz'

(20)

cWy-£') s tg Z'

84

Положив в формулах (20) z'=—z, будем иметь:

tg (7+2) ctg (—z) и ctg( J- + z) е= tg(—z),

откуда, учитывая нечетность тангенса и котангенса, полу­

(21)

ctg(j+z)s-tgz

Покажем на примерах, как используются выведенные формулы для преобразования круговых функций к аргу­

Полученные в данной главе тождества называют обычно формулами сведения или приведения, так как с их помощью удается сводить (приводить) круговые функции любых аргументов к простейшему аргументу, принадлежащему

отрезку [О; -£]• На практике иногда употребляют и другие формулы сведения, в которых аргумент изменяется на число

равное периода синуса и косинуса, а именно:

cos(-|^ -j- z ) = sin z;

tgg-zjs ctg z; ctg[y + z) = - tgz; ctg(¥ - z ) tg z.

85

Все эти тождества являются следствиями из предыду­ щих и вывод их не представляет больших трудностей. Так,

главе формулы, можно обнаружить следующее простое правило для их получения.

а) Если аргумент круговой функции представлен в виде

■к + z или 2тс + г (или в общем виде y2n±z), то эта функция сводится к той же функции аргумента z; если же аргумент

функции .(к кофункции) аргумента г. Соименными называют такие круговые функции, у которых названия отличаются только частицей «ко», например: тангенс — котангенс, косинус — синус и т. д.

Если обозначить любую круговую функцию через F, а ей соименную через Fs, то вышеустановленный вывод можно кратко записать в виде двух тождеств:

1)F 1± z)[ =|Fs (z)|

2)F (Л.2« ± zj|=|F (z)|

Абсолютное значение данной круговой функции от алгеб­

раической суммы четного (нечетного) числа у и

аргумента z равно абсолютному значению той же (соимен­ ной) функции от названного аргумента z.

Значение же полученной функции берется с тем знаком, который имеет данная функция. А так как для любых зна­ чений z формулы сведения одинаковы, то указанный знак проще всего определить, считая z дугой первой четверти.

1) По виду аргумента приводимой функции cos (~—г) за­

86

ключаем, что она приводится к той же функции от г, т. е.

к косинусу z.

Когда z — дуга I четверти, то аргумент приводимой функции те—z изображается во II четверти и, следователь­ но, cos (те—z) отрицательный, а потому cos z надо взять со знаком минус.

Итак, cos (те—z)=—cos z.

2) Вид аргумента приводимой функции cos (-у-ф-z) тре­

бует перехода к соименной функции от г, т. е. к sin z.

Если z есть дуга I четверти, то fy-+z) — дуга IV чет­ верти и, следовательно, cos Gy+z) положительный, а по­

тому sin z берем с положительным знаком, т. е.

COS (~2—]-z)=sin Z.

Те же выводы можно получить и непосредственно, не прибегая к указанному общему правилу, а именно:

cos (те—z)=cos (z—те)=—cos z, [формулы 13, 15]

Следует отметить, что формулы сведения круговых функций хотя и встречались в некоторых математических работах до Лео­ нарда Эйлера, но общий характер они приобрели только через его труды.

Упражнения.

1.Найти значение функции:

соз[(/е+у)те+(-1)Ау]

(k — целое).

2. Доказать, что для углов А, В и С треугольника справедли­ вы соотношения:

. . А + В С a) sin—= cosy;

м , А + В С

6)tg-f-=ctgy.

87

3. Вычислить, не прибегая к таблицам, произведение

tg 41°-tg 42°>tg 43° ... tg 49°.

( ~\ г- / ~\

4. Найти cos z, если sin (z — yj + siny = sin! z-J-yj

§ 19. Алгебраическая зависимость между круговыми функциями одного аргумента и возможность сведения каждой из шести круговых функций

к одной из них

Некоторые из формул приведения раскрывают связь между различными круговыми функциями через преобра­ зование аргументов этих функций. К таким формулам от­ носятся, например, следующие:

cos z = sin (z + у),

sin (у —-z) = cosz,

tg z = ctg (y — z)

и некоторые другие.

Существуют и такого рода связи между круговыми функ­ циями, которые раскрываются без преобразования аргу­

ские операции над круговыми функциями о д н о-

Докажем еще одно тождество, выражающее алгебраиче­ скую зависимость между синусом и косинусом:

88