книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Следует заметить, что число а для данного периодиче­ ского явления и периодической функции определяется неоднозначно. Так для рассмотренной выше периодической функции /(/) число а=1, 2, 3 и т. д. Но при изучении вся­ кого периодического явления бывает важно установить наименьшее положительное значение а, при котором вы­ полняется равенство (11); такое значение а называют п е- р и о д о м функции.

Итак, периодом периодической функции называется наи­ меньшее положительное число, от прибавления которого к аргументу значение функции не изменяется.

Очевидно, периодом функции /(/) является число а=1. Существуют периодические явления с различными перио­ дами. Так, например, наша Земля при обращении вокруг Солнца периодически возвращается в каждое свое поло­ жение через год, два года, три года и т. д., а потому говорят, что период обращения Земли равен 1 году. Комета Галлея, совершающая периодическое движение по своей орбите, появляется у нас через каждые 76 лет, поэтому ее период

обращения а=76.

Повторяемость значений периодической функции через промежутки, равные периоду, весьма наглядно передается на графике функции.

На рисунке 35, б изображен график рассмотренной нами периодической функции y=f(f), с периодом а=1 сек. Для построения этого графика отметили на оси Ot точки,

ЛЛ10, AMlt АМ2, ЛЛ43 и т. д., длины которых равны соот­ ветствующим значениям функции y=f(t), а именно: АМ0= =Д0), ЛЛД^Т) ДМ2=^-|) и т. д. Полученные таким

путем точки No, Ni, N2 и т. д. соединили плавной линией, которая и служит с достаточной степенью точности иско­ мым графиком. На рисунке 35,6) изображена часть графика функции y—f(,t), соответствующая промежутку времени

0</<2-^-сек.

D

На отрезке 0</<1, равном периоду функции f(t), мы видим кривую, характеризующую полный ход изме­ нения хорды AM.

69

На отрезке 1<7<2 график функции представлен точно такой же кривой, как и на отрезке 0<7<1. Это и понятно, поскольку функция здесь повторяет свои значения:

4-1) при всяком t.

функции в промежутке

Таким параллельным сме­ щением части графика, соот­ ветствующей одному периоду функции, можно распростра­

Упражнения.

1. На рисунке 36 изображена часть графика периодической функции y=F(x) с периодом а=3. Как построить весь график этой функции?

Рис. 37.

2. На рисунке 37 изображена часть графика функции y=g(f), выражающей закон движения некоторой точки на прямой линии (на оси Оу). Как изобразится весь график этой функции в предпо­ ложении, что она периодическая? Каков период функции5 Какова скорость движения точки в различные промежутки времени /?

70

§15. Периодичность и периоды круговых функций. Приводимость круговых функций к аргументам

впромежутке

[0; 2z] и [0; л]

Известно, что функции sin z и cos z выражают измене­ ние прямоугольных координат точки M(z), совершающей периодическое движение по числовой окружности, поэтому естественно ожидать, что эти функции будут периодиче­ скими. Перемещаясь по числовой окружности, точка M(z) возвращается в любое свое прежнее положение при увели­ чении или уменьшении ее круговой координаты z на число, - кратное 2щ следовательно, любая круговая функция будет повторять свои значения при увеличении или уменьшении

ет также из того, что числа z и z-p-lnk (т. е. z + 2~, z + 2tt-2, z + 2-г-З...) изображаются на числовой окружности одной и той же точкой М (рис. 14), а потому по определению кру­ говых функций при 7? = 1 имеем:

OP=x=cos z=cos (z+2~)=cos (z + 2--2)=cos (г + 2тг-3) = ...

PM=y=sm z=sin (z + 2-r)^sin (2±2--2)=sin (z + 2k-3) = ...

-f = tg z^tg (z±2K) = tg(z±2K.2)stg (z±2k-3>...

y=ctg z=ctg (z + 2~)=ctg (2±27t-2)=ctg (z±2rc-3)ss...

Установленные нами соотношения (12) можно выразить короче одним соотношением:

T(z)^T(z+2rZ>),

где Т — знак любой из круговых функций, a k — произ­ вольное целое число.

71

Итак, мы убедились в том, что круговые функции яв­ ляются периодическими. Выясним теперь, какой же период

имеет каждая из этих функций.

Теорема. Функции sin z и cos z имеют период, равный

2л, а функции tg z и ctg z имеют период, равный л.

Докажем справедливость теоремы для синуса и тан­ генса, так как доказательство ее для двух других функций будет аналогичным и мы рекомендуем провести его самому

читателю.

По определению периодом функции /(г) является наи­ меньшее положительное число а, удовлетворяющее равен­ ству /(г-]-а)=/(г) при всех значениях аргумента z.

Для функции sin z это запишется так:

sin (z-f-a)=sin z.

Выше мы убедились, что при а=2л это равенство спра­ ведливо. Остается показать, что не существует положи­ тельного числа, меньшего 2л, при котором это равенство верно для всех значений z.

Убедимся в этом от противного.

Допустим, что нашлось положительное число а', мень­ шее 2л, при котором sin (z-\-a') =sin z при всех значениях z.

Положим, z=y, получим: sin (у + а')=зшу,или

sin (у +а') = 1, так как siny=l.

Но синус может принять значение, равное 1, только в точке В (рис. 14), изображающей на числовой окружности

числа у-)-2лА (k— целое число), следовательно, ~ -j-a' =

= уф-2л^, откуда а'=2л£.

Но по допущению0<а'<2л, следовательно, 0<2л&<2л, откуда после деления на 2л получаем неравенство:

0<А<1.

Однако этого быть не может, так как между 0 и 1 нет целых чисел, значит сделанное вначале допущение надо отбросить, и тогда остается признать, что период sin z равен 2л. Также можно показать, что cosz, secz и cosecz имеют период 2л.

Переходим к доказательству того, что период tg z равен л. Нетрудно убедиться в том, что равенство tg (гф-л) ==tg z

выполняется при всяком допустимом значении z.

72

Действительно, числам г и г-^т: соответствуют на число­ вой окружности точки M(z) и ЛДг-НО, служащие концами одного и того же диаметра ММ' (рис. 38). Продолжаем этот диаметр до пересечения с соответствующей! касатель­ ной, получаем точку Т. По теореме о геометрическом изо­ бражении тангенса (§ 9) имеем:

tg z=AT и tg (г4-к)=Л7’,

следовательно,

tg (?+*) = tg 2.

Остается убедиться в том, что не существует по­ ложительного числа, мень­ шего ~, при котором вы­ полняется условие перио­ дичности тангенса.

Покажем это методом от противного.

Допустим, что нашлось положительное число а', меньшее г., при котором равенство tg (z-|-a')stg z справедливо при всех зна­ чениях аргумента z.

Положим, z=0, получим tg (O-|-a') = tg 0, или tg а'=0,

тоа'~п/г. По допущению 0<а'-< тс, следовательно,0<тс£<тс,

или, после деления на тс, 0<£<1.

Опять получили противоречивое неравенство, следова­ тельно, сделанное нами вначале допущение отбрасываем. Остается, таким образом, признать, что период tg z равен тс.

Периодичность круговых функций наглядно обнаружи­ вается на их графиках (см. рисунки 30, 32, 33 и 34).

Через промежутки длиной 2тс происходит периодиче­ ское повторение волнообразности синусоиды и косинусои­ ды. На любом отрезке оси Oz, равном 2тс, укладывается полная волна каждой из этих кривых.

73

Графики тангенса и котангенса состоят из бесконечного множества одинаковых ветвей, повторяющихся через про­ межутки длиной л. Каждая такая ветвь графика соответ­ ствует одному периоду, равному п К

Периодичность круговых функций дает возможность преобразовывать их аргументы так, чтобы они не превосхо­

= 360°-15+23°. Следовательно, по свойству периодичности косинуса будем иметь: cos (—5423°)=cos [360°(—15)—23° ] = cos (—23°)= =cos[(—23°)+360° ] =cos 337°.

Пример 3. Преобразовать аргумент функции tg(—7,6л) к поло­ жительному числу, не превосходящему л.

Решение. Увеличим аргумент функции tg(—7,6л) на число 8л, кратное периоду, получим:

tg(— 7,6л) = tg(— 7,6л + 8л) = tg 0,4л.

Примео 4. Привести аргумент функции ctg956° к промежутку

[0; 180° ]'.

Решение. Разделим аргумент 956° на число 180°, равное периоду котангенса, получим: 956о=180°-5+56°. Следовательно,

ctg 956°=ctg (180°-5+ 56°)=ctg 56°.

Данные примеры показывают, что при исследовании круговых функций, а также при составлении их таблиц можно ограничиться промежутками, равными периодам этих функций, так как к таким промежуткам легко приво­ дятся круговые функции любых аргументов.

§ 16. Четные и нечетные функции и приводимость круговых функций к положительному аргументу

Некоторые функции при перемене знака у их аргумен­ тов изменяют только свой знак. Таким свойством обладают, например, функции

/ (х)=*3; <р (х)==2х5+х; g (х) =]/ 4х.

1 Следует отметить, что периодичность круговых функций была установлена только со времен Леонарда Эйлера.

74

Действительно, подставив в эти функции — х вместо х, получим:

/ (—*)=(—х)3=—х3= —/ (х);

(—х) =2(—х)6 +(—х)=—2х5—х=—(2х5 4-х) =

= —? W;

g (—х) =■/"4(—х) =—V4х =—g (х).

Такие функции называют нечетным и.

Определение. Функцию F (х) называют нечетной, если при изменении знака у аргумента х эта функция изменяет лишь свой знак, т. е.

F(—x)=—F(x).

Встречаются и такие функции, которые вообще не из­ меняют своих значений при изменении знака у их аргумен­ тов. Таким свойством обладают, например, функции:

/ (х)=х2; ф(х)=х4—Зх2; g (х)^^ •

Действительно,

/ (-х) = (—х)2=х2=/ (X),

®(—х)=(—х)4—3 (—х)2=Х4—Зх2= ср(х),

я(-^) = (_x)Lr=T^=r=g(x)-

Функции с такой особенностью называются четными.

Определение. Функцию F (х) называют четной, если она не изменяет своих значений при изменении знака у ар­ гумента, т. е.

F(—x)=F(x).

Четность или нечетность функции легко обнаруживает­ ся на графике функции: если график функции симметричен

относительно оси ординат, то функция четная, а если график симметричен относительно начала координат, то

функция нечетная.

В самом деле, пусть графиком функции y=F (х) служит кривая, симметричная относительно оси Оу (рис. 39). Тогда для каждой точки М (х, у) этой кривой найдется симметрич­ ная относительно оси Оу точка М'(—х, у) на этой же кри-

75

вой, а по свойству симметрии абсциссы этих точек отли­ чаются только знаком, а ординаты равны. А так как орди­ наты точек кривой выражают значения функции y=F (х), то приходим к заключению, что

Допустим теперь, что график функции у -F (х) симмет­ ричен относительно начала координат (рис. 40). Возьмем на нем какую-либо точку М (х, у). По условию для нее найдется на том же гра­

76

Справедливо и обратное заключение, т. е., если функ­

ция четная, то ее график симметричен относительно оси ординат, а если — нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат.

В самом деле (рис. 41), пусть точка М (х0, у0) принад­ лежит графику функции y=F (х) и, следовательно, выполняется равенство:

y0=F (л-о).

Если функция у— F(x)—чет­

как этот вывод верен для всех точек графика четной функ­ ции, то заключаем, что такой график симметричен отно­ сительно оси ординат.

Если же функция y—F (х) — нечетная, то выполняется равенство:

F (—x0)=—F (л-0).

Сравнивая это равенство с соотношением (*), получим

F(—хо)=—уо,

аэто значит, что точка М"(—х0, —уо) также принадлежит графику функции у= F(x).

Сопоставляя координаты точек М и М", заключаем, что эти точки симметричны относительно начала координат, следовательно, график нечетной функции симметричен от­ носительно начала координат.

Примечание. Было бы неверно полагать, что функции бывают только четные или нечетные. Легко убедиться, например, что

77

функция у=х-<-\ не является ни четной, ни нечетной и ее график (рис. 42) не обладает указанными свойствами.

Поставим теперь вопрос: нет ли среди круговых функ­ ций четных или нечетных функций?

Ответ на этот вопрос дает теорема: cos z и sec z

суть функции четные, остальные круговые функции не­ четные, т. е. при всех значениях аргумента z выполняют-

cos (—z)=cos z }(13) sec (—z)=sec z

sin (—z)=—sin z

tg (—z)=—tg z

ctg (—z)^e—ctg z (14) cosec(—z)=s—cosecz .

Убедиться в этом можно на графиках круговых фун­ кций. Так, например, заме­ чаем, что точки косинусои­

ды с абсциссами z и —z расположены симметрично отно­ сительно оси Oz (рис. 43) и, следовательно, у этих точек ординаты равны, а потому cos (—z)=cos z.

На синусоиде и тангенсоиде точки с абсциссами z и —г симметричны относительно начала координат (рис. 43, 33)

и, следовательно, их ординаты отличаются только зна­ ком, а потому

sin (—z)=—sin z и tg (—z)=—tg z.

78