книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Подведем итоги наших наблюдений в следующей таблице:

При дальнейшем возрастании z от 2л до 4л, а затем от 4л до 6л и т. д. точка 7W(z) будет снова и снова описывать числовую окружность, а ее абсцисса x=cos z будет перио­ дически повторять весь прежний цикл своего изменения от 1 до —1 и, обратно, от —1 до 1.

На графике это обстоятельство отразится в том, что кривая cos z в промежутках от 2л до 4л, от 4л до 6-п: и т. д. будет иметь точно такую же форму как и в промежутке от О до 2л. Отсюда следует вывод о возможности построения всего графика функции cosz путем параллельного сдвига (с помощью шаблона) вдоль оси абсцисс на отрезки, крат­ ные 2л, уже построенной нами части графика в промежутке от 0 до 2л (рис. 32).

Поскольку аргумент косинуса может изменяться от

—оо до -}-оо, то весь график функции cos z представит бес­ конечную волнообразную непрерывную кривую, прости­ рающуюся вдоль оси абсцисс между прямыми, параллель­ ными этой оси и отстоящими от нее на расстоянии 1 и —1. Эту кривую называют косинусоидой; она дает наглядное представление об изменении cosz при изменении аргумента г.

Упражнения.

1. Определить знаки разностей: 1) cosy^—созуу; 2) cos2—cos 3.

2.При каких значениях г на отрезке от 0 до 2л разность 1—2cos г: 1) положительна? 2) отрицательна? 3) равна О?

3./(z)=sinz—cosz; доказать, что / (1)>0.

§ 12. Закономерность изменения тангенса

Построим график функции у=tg z.

Построение начнем с интервала —y<z<y. Числа это­ го интервала изображаются на числовой окружности справа от оси Су, а на оси Oz—внутри отрезка^—у, yj (рис. 33).

(Продолжение текста см. на стр. 62.)

Проводим касательную к окружности в точке А, затем делим полуокружность В'АВ на произвольное число равных частей и через точки деления проводим лучи из центра ок­ ружности до пересечения с касательной. Если радиус ок­ ружности /?=1, то полученные при этом отрезки касатель­ ной выразят значения тангенса для чисел, соответствующих точкам деления. На рисунке полуокружность В'АВ разде­ лена на 12 равных частей. (См. таблицу на стр. 61.)

Если бы сделать такой параллельный перенос для каж­ дой текущей точки М окружности, то получили бы кривую— геометрическое место точек концов ординат y=tg z; в на­ шем же построении получится 12 точек, лежащих на ней. Эти точки последовательно соединим от руки (или по ле­ калу); полученная кривая и будет служить с некоторой точностью одной из ветвей графика тангенса в промежут-

ке < Z <-2~-

Что же мы видим на числовой окружности и на графике тангенса?

—до 0, текущая точка М(г) бегает значения от— у до О,

62

у до упточка M(z) опишет левую половину числовой окруж­

ности ВА’В’ (без ее концов В и В’), и при этом точка Т, в которой прямая СМ пересекает касательную, еще раз опишет касательную снизу вверх, а потому ордината этой точки АТ= tg z опять пробежит все возможные действи­ тельные значения от отрицательной бесконечности, уходя в положительную бесконечность. Отсюда следует, что гра-

фик тангенса в интервале у<г<ук будет повторением той

63

бесконечной кривой, которая построена нами в интервале

Т. . . TZ

—-у< Z<-2 •

Итак, пока точка M(z) описывает полную числовую окружность, двигаясь против часовой стрелки, функция tg z дважды повторяет полный цикл своего изменения от отрицательной бесконечности, уходя в положительную бес­ конечность. В моменты, когда M(z) занимает положения В и В', прямая СМ не пересекает касательной, следовательно,

tg z не существует для чисел z=±y -\-2itk, соответствующих

точкам В и В'. При переходе Л4(г) через точки В и В' тангенс резко меняет свое значение от положительной бесконечности к отрицательной бесконечности, что наглядно представлено

Полный график функции tg z называют тангенсо­ идой; он состоит из бесконечного множества одинаковых ветвей. На рисунке 33 изображена часть тангенсоиды, состоящая из трех таких ветвей.

Подведем итоги наших наблюдений в следующей таблице:

Кстати, отметим, что на графике видно, как быстро изменяется

тангенс, когда аргумент приближается ку; вот почему в таблицах

тангенсов, начиная с 73° до 81°, пришлось внести расчленение строк, а далее от 81° до 89°59' построить таблицы через ступень в 1' без готовых поправок.

Упражнения.

1.Определить знак разностей: 1) tg 150°—tg 123°: 2) tg 3,5— -tg 3,6; 3) tg5—tg 6.

2.При каких значениях z в промежутке от 0 до it выражение

У1—tg z принимает действительные значения?

64

§13. Закономерность изменения котангенса

Построим график ctg z. Построение начнем с интервала 0<2<щ не содержащего таких чисел, для которых данная функция не определена.

Проводим касательную к числовой окружности радиуса /?=1 в точке В (рис. 34), затем делим верхнюю половину окружности на 12 равных частей и через точки деления про­ водим лучи из центра окружности до пересечения с каса­ тельной; в результате получаем на касательной отрезки,

выражающие значения функции ctg z для чисел, изобра­ женных в точках деления. Эти отрезки откладываем на пер­ пендикулярах к оси Oz, проведенных в точках, делящих отрезок оси от 0 до тс на 12 равных частей; концы.отрезков соединяем плавной линией, получаем с некоторой степенью точности график функции ctg z в интервале (0; л).

Проведем наблюдение за изменением котангенса на чис­ ловой окружности и на графике.

Пока z пробегает все значения в интервале (0; я), воз­ растая от 0 до к, точка Л4(г) описывает верхнюю половину числовой окружности (без ее концов А и Д'), а точка К, в которой луч СМ пересекает касательную, пробегает по всей касательной справа налево, следовательно, абсцисса

65

ГЛАВА IV

Основные свойства круговых функций,

выражаемые в соответствующих тригонометрических тождествах

§ 14. Периодические функции и их графики

Если некоторое явление или процесс повторяется регу­ лярно через один и тот же промежуток времени, то его называют периодическим. Функции, выражаю­ щие законы периодических процессов, обладают особыми

Рис. 35.

только им присущими свойствами: они повторяют свои значения через один и тот же промежуток изменения ар­ гумента.

Рассмотрим, например, процесс изменения длины хорды AM, соединяющей неподвижную точку окружности А с подвижной точкой М (рис. 35, с) при условии, что точка М совершает равномерное движение по окружности, пробегая ее в течение 1 сек.

67

Понятно, что периодическое круговое движение точки М будет сопровождаться периодическим изменением длины хорды AM. Предположим, что в начале движения точка М занимает положение А. Тогда в течение одной секунды она опишет полную окружность и вернется в свое исходное положение А, а хорда AM совершит полный ход своего изменения,сначала возрастая отО до 2 единиц (радиус /?= 1), а затем убывая от 2 единиц до 0. Такой процесс движения точки М и изменения длины хорды AM будет повторяться каждую следующую секунду.

Обозначим через t время, протекшее от начала дви­ жения точки М, а через у — длину хорды AM. Ясно, что

сизменением времени t будет изменяться положение точки

Мна окружности и длина хорды АМ=у, поэтому можно сказать, что переменная величина у является функцией времени t, что коротко записывают так: y=f(tY

Нетрудно понять, что данная функция повторяет свои

точка М оказалась в положении В (рис. 35,а), то/(/1)=ЛВ. Ясно, что дальше точка М будет продолжать свое движение по окружности и ровно через одну секунду опять окажется в положении В (так как в течение секунды она описывает полную окружность), а потому /(^-]-1)=ДВ. Спустя еще одну секунду точка М снова придет в положение В и функ­ ция еще раз повторит свое значение: /(^4-2)=ДД и т. д. Таким образом, получается, что

/(/1)=/(4+1)=Я^+2) = ...=ЛВ.

Подобным свойством обладают только такие функции, ко­ торые выражают законы периодических явлений, поэтому таким функциям дали особое название — периодиче­ ски е фу н к ци и.

Уточним это определение.

Функция f(z) называется периодической, если она. не из­ меняет своего значения от прибавления к ее аргументу не­ которого числа а отличного от нуля, т. е. при всех значе­ ниях аргумента z выполняется равенство:

68