книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

ках В и В' числовой окружности (рис. 28), то можно утверж­ дать, что в этих точках тангенс имеет разрыв непрерывно­ сти (не выполнено первое условие непрерывности функции).

Во всех остальных точках z функция tg z непрерывна.

Действительно, всякому числу . zx ¥= у(£=0,±

±1, ± 2,...) на числовой окружности соответствует точка ЛД(г1) (рис. 28) и на касательной к окружности соответству­ ет отрезок OTi=tg Zj, т. е. существует определенное число­ вое значение tg zx, следовательно, первое условие непрерыв­ ности выполнено.

Пусть задано сколь угодно малое положительное число г. Отложим на касательной Д7\ отрезок T\T2=s и прове­ дем луч 0Т\, получим на числовой окружности точку Л12(г2). Очевидно, всякий луч ОТ, расположенный внутри угла ТхОТ2, выделит на числовой окружности точку Л4(г) так, что будут выполняться неравенства:

|г—Zi\ < |г2— Zi\

и\АТ—ЛЛКДТг—ЛД|=г-

Положив |z2—Zi|=8, можем утверждать, что для всех зна­ чений аргумента г, удовлетворяющих неравенству

ГЛАВА III

Закономерность изменения круговых

функций с изменением их аргументов

§ 10. Закономерность изменения синуса

Изменение всякой функции наиболее наглядно пере­ дается на ее графике. Чтобы построить график функции t/=sin z, выполним следующие операции:

1. Проведем оси координат Oz и Оу, а затем построим числовую окружность радиусом /?=1 с центром С на оси Oz так, как это сделано на рисунке 29, а именно, чтобы ось абсцисс числовой окружности лежала на оси Oz, ось орди­ нат Су была параллельна оси Оу, а начальная точка окруж­ ности Л о совпала с точкой О.

2. Окружность разделим на п равных частей, напри­ мер на 12, и построим ординаты точек деления, которыми выражаются, как известно, синусы соответствующих чисел; будем иметь:

4. Соединим эти точки последовательно плавной линией от руки или с помощью лекал, получим кривую, которая будет служить с некоторой точностью искомым графиком.

Если указанные операции осуществить для всех точек

чала отложить на оси Oz отрезок длиной 2 г, ss 6,28 единиц, а затем разделить его на 12 равных частей.

53

Подведем итоги наших наблюдений в следующей таблице:

наконец, от —1 снова до 0 и проходит дважды через каждое из чисел отрезка от —1 до -|~1.

54

При дальнейшем изменении z от 2п до 4л точка Л4(х) опишет еще раз числовую окружность, а ее ордината y=sin z еще раз повторит в прежнем порядке весь цикл своего изменения от 0 до 1, затем от 1 до —1 и, наконец, от —1 до 0. Ясно, что текущая точка М' графика sin z опи­ шет при этом в промежутке оси Oz от 2л до 4л точно такую же кривую, как в промежутке от 0 до 2л. То же самое будет иметь место с изменением графика данной функции в про­ межутках изменения аргумента z от 4л до 6л, от 6л до 8л

и т. д.

Отсюда вытекает возможность построения всего графика функции sin z путем параллельного переноса уже по­ строенной его части вдоль оси абсцисс на отрезки, кратные 2л. Таким переносом на рисунке 30 распространен график

—2л]. Указанный способ «распространения» графика с про­ межутка [0;2л] на всю область изменения аргумента прак­ тически лучше всего осуществлять с помощью готового шаблона кривой. Набор таких шаблонов, а также лекало с контурами частей различных графиков приложены в конце книги.

Итак, графиком функции sin z оказалась бесконечная непрерывная1 периодически волнообразная кривая, рас­ положенная между двумя прямыми, параллельными оси абсцисс и отстоящими от нее на расстоянии ф-1 и —1; эту кривую называют синусоидой.

Синусоида дает наглядное представление о характере изменения функции sin z при изменении аргумента г.

Упражнения.

I. Определить знаки разностей: 1) sin 137°—sin 154°: 2) 51п1,2тг—

—sinl,43л; 3) sin 5—sin 6.

2. При каких значениях z на отрезке от 0 до 2л выражение

1/ —4-sin z имеет действительное значение?

использовать и прежний чертеж; у нас он повторен заново

синуса, установленной в § 9.

55

Рис. 30.

Рис. 31.

1. На числовой окружности отмечаем:

2. На оси Oz отмечаем:

3. Эти точки соединим последовательно плавной линией от руки или по лекалу, получим кривую, которая будет служить с некоторой точностью искомым графиком. Если бы указанные построения осущест­ вить для всех точек окружности и соответствующего отрезка 0<z<2r оси Oz, то получилась бы непрерывная линия2—геометри­ ческое место концов ординат x=cosz — график косинуса в промежут­

синуса, установленной в § 9.

Что же мы видим на числовой окружности и на графике

58