книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

дуга AM=z радиан. Отсюда следует, что точке М соответ­ ствует на числовой окружности число г. По определению круговых функций имеем:

сопоставляя равенства (*) и (**), получаем:

sin AOM — sin z;

cos AOM = cos z\

tg AOM — tg z;

ctg AOM — ctg z.

следовательно, круговые функции действительного числа

39

2. Дан угол АВС с начальной стороной ВА и второй стороной ВС (рис..18). Найти синус и косинус этого угла.

Указание. 1-й способ: на числовой окружности построить ^АОМ=^.АВС (рис. 18,а) и провести МР 10х, тогда sin^4BC=

РМ ОР

- ОМ’ cos^ABC~~OM-

2-й способ: из вершины В данного угла описать окружость ра­ диусом /?= 1 и сделать ее, числовой, приняв начальную сторону угла ВА за положительный луч оси абсцисс (рис. 18,6), отметить

40

точку М, в которой сторона ВС пересекает окружность, и провести МР ±АВ, тогда

3. Маховик двигателя внутреннего сгорания вращается равно­ мерно, совершая п оборотов в секунду. Выразить функцией пере­ менное расстояние точки М, взятой на ободе маховика, от плоско­ сти пола машинного отделения при условии, что эта плоскость параллельна оси вращения и отстоит от нее на расстоянии а метров.

В этом сечении маховик изоб­ разится схематически окруж­ ностью О (Р), а плоскость по­ ла—прямой LL' (рис. 19). Че­ рез точку 0 проводим оси ко­ ординат так, чтобы ось абс­ цисс была параллельна прямой LL'. Отсчет времени начнем с момента, когда точка М нахо­ дится на положительном луче оси абсцисс.

Предположим, что по отно­ шению к нам маховик вращает­ ся против часовой стрелки. За t секунд радиус ОМ опишет

—/?sin 2-rznt.

§8. Независимость круговых функций от длины радиуса числовой окружности

При определении круговых функций мы не накладыва­ ли никаких ограничений на величину радиуса числовой окружности. Естественно возникает вопрос, зависят ли значения круговых функций от величины радиуса окруж­ ности, на которой определены эти функции? Ответ дает следующая теорема:

Значения круговых функций не зависят от длины ра­ диуса числовой окружности.

41

Доказательство. Возьмем две числовые окруж­ ности 0(7?) и Ofг) с различными радиусами 7? и г (рис. 20) и найдем с их помощью круговые функции произвольного действительного числа z:

Центральные углы АОМ и А101М1 равны, так как они стягиваются дугами AM и А1М1, имеющими одну и ту же радианную меру, равную z радиан, следовательно, прямо­

М и Mi находятся в одноименных четвертях окружностей,

апоэтому отрезки РМ и Т^ЛД, а также ОР и 01Р1 имеют соответственно одинаковые знаки; это обстоятельство дает возможность перейти от абсолютных значений к самим значениям (опустить в предыдущих равенствах знаки аб­ солютных величин) и получить равенства:

42

показывающие, что sin z=(sin z)lt cos z=(cos z)x, tg z=(tg z)b ctg z=(ctg z)x.

Что и требовалось доказать.

§9. Непрерывность круговых функций

I.Понятие о непрерывности функции

Рассмотрим следующие две функции:

Первая функция выражает число кружков т одинакового диаметра d, которые можно вырезать из квадратного листа жести при условии, что сторона квадрата х—величина пере­ менная (на рис. 21 изображены квадраты при некоторых значениях х).

x<d x-d d<x<2d x-2d 2d<x<3d

Рис. 21.

Вторая функция выражает площадь квадрата S с пере­ менной стороной х, т. е. S=x2.

Составим таблицы этих функций:

43

Построим графики данных функций, положив d=l. Видим, что график первой функции (рис. 22) имеет

разрывы в точках х— 1, 2, 3, .... а во всех остальных точках, удовлетворяющих условию 0<х<1, или 1<х<2, или 2<х<3и т. д., разрывов нет.

Графиком второй функции (рис. 23) является линия непрерывная, без разрывов.

Можно сказать, что вторая функция непрерывна в каждой точке, а первая непрерывна только внутри проме­ жутков 0<х< 1, 1 <х<2, 2<х<3 и т. д., а в концах этих промежутков, т. е. в точках х=1, 2, 3 и т. д., она имеет раз­ рывы непрерывности.

Более аккуратно понятие непрерывности функции определяется так:

Функция у=/(х) называется непрерывной в точке х=хъ если выполняются два условия:

1)при х=хх функция имеет числовое значение уг~1(х^ (смотри график функции на рис. 24);

2)при достаточно малом по абсолютному значению из­ менении аргумента от х1 до х3 функция изменяется на вели­

44

чину, меньшую по абсолютному значению любого задан­ ного положительного числа в.

Принимая во внимание, что изменение аргумента от %! до х2 по абсолютному значению равно |х2—хх| (смотри рис. 24), а соответствующее изменение функции по абсо­ лютному значению равно |у2—i/i|, или |/(х2) — второе условие непрерывности можно записать и так:

для любого заданного положительного числа е можно подобрать такое достаточно малое положительное число 8, что при всяком значении аргумента х2, удовлетворя­ ющем условию

1*2 —

будет выполняться соот­ ношение

1Ж) — Ж)1<е-

прерывности, то говорят, что в этой точке функция терпит разрыв непре- р ы в н о с т и.

Покажем, например, что первая из заданных выше функций непрерывна в точке хх=1-|-, а в точке х=2 она тер­

пит разрыв.

Действительно, в точке эта функция имеет чис­

ловое значение mi=l, следовательно, выполнено первое

нение равно т1—т~ 1—1=0, а нуль меньше любого поло­ жительного числа е.

В точке х=2 эта же функция терпит разрыв, так как не выполняется второе условие непрерывности. Действи­

45

тельно, на какую бы малую величину мы не увеличили ар­ гумент в точке х=2, функция сразу возрастает на 4 единицы (не меньше!); нельзя, например, сделать так, чтобы измене­ ние функции справа от точки х=2 было меньше е=0,1.

Вторая из данных выше функций S=x2 непрерывна в любой точке и, в частности, в точке хх=2. В самом деле, при хх=2 она имеет числовое значение S1=x2i=4, следо­ вательно, выполнено первое условие непрерывности. Пусть теперь задано какое-нибудь (сколь угодно малое) положи­ тельное число е. Покажем, что при всяком изменении аргу­ мента от Xj=2 до х2, не превышающем по абсолютному

значению 8<у, изменение функции S будет по абсолютно­

му значению меньше е, т. е. выполнится и второе условие непрерывности.

Действительно,

|S2 - SJ = |х22 — 4|=|(2 ± В)2 - 4| = |±4В + 82| < 48+о2.

Но если взять о< 1 и меньше у, то 48 -|-82 < 48 -|-8 • 1=58 <

<5 • у = е и, следовательно, |S2—Si|<e-

Короче: при всяком х2, удовлетворяющем условию |х2—

—2| < у, выполняется неравенство |х22—4|<е.

Перейдем теперь к выяснению вопроса о непрерывности круговых функций.

II. Непрерывность синуса и косинуса

Функция y=sin z непрерывна в каждой точке. В самом

ординате точки M^zJ (рис. 25), следовательно, первое усло­ вие непрерывности выполнено. Если аргумент z изменяется от z-l до некоторого нового значения z2, то sin z изменяется

от = А® У'2,~^>2^2' Но |у2—= fPgMz—PiMil = = |Л/Л42|< хорды /WjMg, а хорда /ИгМ2 меньше длины дуги

№^2= |z2—2i|, откуда по транзитивности |y2—wj < |z2—zj и, следовательно, для любого заданного положительного числа е будет справедливо неравенство |у2—t/j|<e, если |z2 — 2i[< 8 = г, а это значит, что выполняется и второе условие непрерывности.

46

Аналогичным образом доказывается непрерывность функции x=cos г при всяком значении аргумента г.

Из непрерывности синуса и косинуса следует непрерыв­ ность и их графиков, которые будут построены далее.

III. Интервалы непрерывности тангенса и котангенса

Предварительно покажем, что значения тангенса можно выражать отрезками касательной к числовой окружности, проведенной в точке А (рис. 26).

В самом деле, если числу г соответствует на числовой окружности точка Л4 (г), то прямая ОМ пересекает каса­ тельную в точке Т так, что

Для доказательства этого утверждения рассмотрим пря­ моугольные треугольники ОРМ и ОАТ. Из подобия этих треугольников получаем равенство

касательная.

47

справедливое и в том случае, когда входящие в него отрезки берутся с соответствующими знаками. Так на нашем ри­ сунке РМ=у—положительная ордината точки М, ОР=х— отрицательная абсцисса точки М, ОА=Р—радиус числовой окружности, АТ—ордината точки Т—отрицательна. Сле­ довательно, обе части равенства (*) отрицательные.

Рекомендуется -самим учащимся убедиться в том, что указанное совпадение знаков будет иметь место и в других

обнаруживается непосредственно. Так, например, если z изображается в точке Д', то по определению тангенса

имеем: tg z==7^7=0, но и ордината точки Д', в которой пеCJ/i

ресекает касательную прямая ОА, также равна 0. Аналогичным путем можно доказать, что значения

котангенса можно выражать отрезками касательной к чис­ ловой окружности, проведенной в точке В (рис. 27), а

48