книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось Оу). Ясно, что при движении точки М по окружности ее проекция М' будет совершать на оси Оу точно такое же колебательное движение, какое совершает рамка N рас­ смотренного нами механизма. А именно, пока точка М опишет полную окружность, двигаясь из своего начального положения А против часовой стрелки, ее проекция М' на ось ординат пройдет от центра окружности до верхнего конца диаметра В'В, затем изменит в точке В направление движения на противоположное, пройдет до нижнего конца диаметра В'В и оттуда снова возвратится в центр окружно­ сти. Далее, точка М будет повторять свое движение по ок­ ружности, а ее проекция М' будет повторять указанное выше движение по диаметру В’В.

Всякое движение, подобное тому, которое совершает точка М', в физике называется простым гармоническимколебанием.

Изучение простых гармонических колебаний имеет ис­ ключительно важное значение, так как по законам таких колебаний совершаются движения многих деталей различ­ ных механизмов, машин и станков, а также протекают многие явления в области электричества, света и звука. Более того, в начале прошлого столетия французский ма­ тематик Фурье (1768—1830) доказал, что законы всяких периодических процессов могут быть выражены через за­ коны простых гармонических колебаний.

Таким образом, поставленная нами выше задача изу­ чения одного из простейших механизмов привела нас к необходимости отыскания и изучения функций, выражаю­ щих законы простых гармонических колебаний. Такие функции называют круговыми или тригоно­ метрическими, так как они выражают изменение координат точки М, совершающей круговое движение.

Перейдем теперь к определению и детальному изучению круговых функций.

§ 6. Определение круговых (тригонометрических) функций

Возьмем какое-нибудь произвольное действительное число z. На числовой окружности 0(7?) (рис. 14) этому числу

и ОР=х и найдем их отношения к радиусу окружности:

29

ловой окружности, а следовательно, будут изменяться и прямоугольные координаты этой точки у—РМ и х=ОР, а

операций, которые необходимо выполнить, чтобы получить указанные отношения.

Первую из этих функций в XII веке стали называть синусом, а вторую — косинусом. В XVIII веке знаменитый петербургский академик Леонард Эйлер ввел для них следующие краткие обозначения:

ствует на числовой окружности точка М (z), называется отношение ординаты этой точки к радиусу окружности,

у

т. е. число К

30

Косинусом действительного числа z, которому соот­ ветствует на числовой окружности точка M(z}, называется отношение абсциссы этой точки к радиусу окружности, т. е.

Примечание. Если радиус числовой окружности R= 1, то данные определения приводят нас к следующим соотношениям

т. е. численно sin г и cos г равны соответственно ординате и абс­ циссе точки М (г).

Пример 2. Найти sin z и cos z, если z = ~^-

Решение. Отложим на числовой окружности дугу

AM =^г радиан, т. е. 30°; получаем точку Л4 (у), соответ­

по определению функций sin г и cos z имеем:

31

Проводим радиус ОМ, получим прямоугольный тре­ угольник РОМ с углом РОМ— -^-радиан или 30°. По из­

вестной теореме геометрии в таком треугольнике катет РМ, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

ОМ, т. е.

PM = ±R,

По теореме Пифагора находим другой катет:

ОР=УОМ2—РМ2= ,

числу z=—3,7. Измерением находим ординату точки Aff у=Р1Л41~0,53 R, следовательно,

sin (-3,7) «^^=0,53

Измерением находим абсциссу точки Мх: х=ОРг ~—0,85/?, следовательно,

Данное выше определение синуса позволяетвыразить функцией закон движения рамки механизма, рассмотрен­ ного нами в предыдущем параграфе. По условию палец М на колесе этого механизма (см. рис. 12) совершает круго­ вое движение со скоростью ш рад/сек, следовательно, в

течение t секунд он опишет дугу AM=z=v>t радиан.

По определению синуса действительного числа z будем

РМ

иметь: sin г=-5-, откуда PM=R sin z=R sinwL A

32

В частности, когда <» = 1 рад/сек и /?==!, получаем

РМ = у = sin t.

Очевидно, аргументом этой функции целесообразно счи­ тать время t. В каждый момент времени t отклонение рамки от ее исходного, т. е. среднего, положения АА' равно sin£.

Функции sin z и cos z являются основными круговыми функциями. Кроме них, имеются и другие круговые функ­ ции: тангенс, котангенс, секанс и косе­ канс, которые также выражают законы некоторых перио­ дических процессов. Дадим определение тангенса и котан­ генса.

Тангенсом действительного числа z, которому на число­ вой окружности соответствует точка M(z), называют от­ ношение ординаты точки М к ее абсциссе.

Котангенсом действительного числа z, которому на числовой окружности соответствует точка M(z), называют отноше­ ние абсциссы точки М к ее ординате.

В самом деле, по определению tg z =-^-,actg г=у, где

х и у—прямоугольные координаты точки M(z). Но отноше­

ние-^- не существует при х=0, а отношение у не существует

при у=0, следовательно, tg г не существует для тех чисел г, которые изображаются на числовой окружности в точках В и В’ (рис. 13), имеющих абсциссу х=0, a ctg z не сущест­ вует для тех чисел г, которые изображаются на числовой ок­ ружности в точках А и Аимеющих ординату у=0.Заметив,

что в точках В и В' имеются числа г=±-у + 2^k, а

в точках А и А'—числа (§4), убеждаемся в спра­ ведливости сказанного.

Покажем на примерах, как находить значения тангенса и котангенса, пользуясь их определениями.

Пример 1. Найти tg 2 и ctg г, если 2=^-.

Решение. В примере 2 (стр. 31) мы уже нашли на

33

числовой окружности точку тИ^-^-j (рис. 15), соответствую­

щую числу г=у, и определили прямоугольные координаты

этой точки:

х=ОР=1/?]Л3 и y=PM=±-R.

По определению тангенса и котангенса получаем:

Пример 2. Найти tg z и ctg z для z——3,7.

определение тангенса и котангенса,получаем:

Пример 3. Найти tg z и ctg z при z=y.

Решение. Числу z=~ на числовой окружности соот­

существует и tg-^ (что вполне соответствует области опреде­

ления тангенса); отношение — =^- — 0, следовательно,

У к

ctg^=O.

Пример 4. Найти tg z и ctg z при г=3л.

Решение. Числу г=3я на числовой окружности соответствует точка А' (рис. 15), у которой абсцисса х——R,

34

а ордината y=Q. Видим, что в данном случае отношение

—=—Яу-=О, следовательно, tg3re=0; отношение —не сущест-

установленной выше области определения котангенса.

Дадим определение секанса и косеканса.

Секансом (косекансом) действительного числа г, которому на числовой окружности соответствует точка М(г), называется от­ ношение радиуса этой окружности к абсциссе (ординате) точки М(г).

Краткая запись:

R' sec z=y

(8)

R cosec г=~^

Легко усмотреть, что функция sec г определена для всех дей­

те

ствительных чисел z^i-jy-|-2тей, а функция cosec z—для чисел г=£тей

(k—целое число), т. е. аналогично соответственно функциям tg z

и ctg z.

Покажем на примерах, как находить значение секанса и косе­ канса, пользуясь их определениями.

Откуда secT=-=R y=-=V 2 , cosec 4 =y=R:^=J/ 2 -

7 Пример 2. Найти sec z и cosec г, если z=-g-n.

7

Решение. Отметим, что точка z=g-7t находится в III четвер­

ти окружности, где хну имеют отрицательные значения. Из соот­

seC6^~4^or

7 R -^=- cosec-re-n=—

о У

35.

Отметим, что из трех чисел х, у, R, связанных с точкой Л7(г) на окружности, можно образовать шесть размещений,

обнаружил, что четыре последние из этих функций выража­ ются через первые две. В самом деле,

Эти формулы позволяют вычислить значения тангенса, котангенса, секанса и косеканса, если уже известны соот­ ветствующие значения синуса и косинуса.

36

Так, например, выше мы нашли, используя теоремы геб-=

~2

графленной в клетку, окружность радиусом 5 или 10 см, проведите оси координат так, чтобы эта окружность стала числовой, и с помощью последней заполните следующую таблицу:

37

9. Определить знак: 1) sin 4; 2) cos 5; 3) tg 5; 4) ctg 8; 5) sin(—3);

6)sin 1-cos (—1); 7) sin 2-cos 2.

10.Найти приближенно (построением):

1)sin 1; 2) cos (—3,4).

§7. Круговые функции любого действительного

числа как обобщение тригонометрических функций острого угла

В определениях круговых функций, данных в предыду­ щем параграфе, аргументом является число г, выражающее меру дуги AM, а следовательно, и меру угла АОМ, опира­ ющегося на эту дугу (рис. 15). Это обстоятельство позво­ ляет истолковывать аргумент г у круговых функций как дугу или угол в z радиан, что бывает необходимо при ре­ шении различных практических задач.

Так, например, выражая закон гармонического дви­ жения рамки функцией t/=sin z, мы исходили из того, что числом z=w( радиан определялась мера дуги AM, описан­ ной пальцем М за t секунд, или мера угла АОМ, на кото­ рый повернулось колесо механизма за t секунд.

Итак, будем в дальнейшем в случае надобности читать функции sin z, cos z, tg г и ctg z так: синус дуги или угла

вz радиан, косинус дуги или угла в z радиан и т. д. Однако при этом возникает законный вопрос: не вступим

ли мы в противоречие с теми определениями синуса, ко­ синуса, тангенса и котангенса, которые были даны в под­ готовительном курсе тригонометрии1.

Оказывается таких противоречий не будет, так как изу­ ченные нами функции острых углов представляют частные случаи круговых функций, когда аргумент последних

изменяется в интервале от 0 до у.

В самом деле, пусть нам дан острый угол в z радиан. Построим на числовой окружности равный ему угол АОМ и проведем МР перпендикулярно ОА (рис. 16), получим прямоугольный треугольник РОМ с гипотенузой 0M=R и катетами РМ и ОР. По известному (из подготовительного курса) определению тригонометрических функций острого угла находим:

1 См. И. К. Андронов, А. К. Окунев, Тригоно­ метрия острого угла.

38