книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

этого соотношения в треугольнике принадлежит француз­ скому математику Р. Декарту (1596—1650).

Числовые примеры Пример 1. Дано: а=14, ГВ=68°, С=30°; найти:. 1а,

ma, S, R и г.

Вычисления проведем в следующем порядке.

[a+2/?(sinB+sinC)]=7+7,07(0,927+0,5)«10,1;

45-4 л с Г~ 10,1 ~4’5-

Пример 2. Дано: а=675,3; 6=548,8; С=58°54';

найти: hc, lc, тс, S, R, г.

Решение проведем с помощью таблиц логарифмов.

вычисление этих углов и получено:

Л=70°55' и В=50°1Г.

2)_В ы ч ис ле н и е hc\

hc—a sin В, lg Ac=lg a + lg sin B;

lg а=2Д295 + Igsin B=l,8854

lg /гс=2,7149 Ac=524,1.

3) В ы ч и с л е н и е 1С:

=—дТГД > •g/c = !g b + lg sin A — Igcos—— COS—--

2

lg cos--= Г.9928;

—Igcos——7^-— = 0,0072.

lg 6=2,7394 lg sin A = 1,9754

lg /c=2,7220 /c=527,2.

340

341

среди данных имеются неосновные элементы треугольника,

атребуется найти его основные элементы.

Задача 1. Известны высоты треугольника ha, hb и hc-,

требуется найти его углы А, В, Си стороны а, b и с. Решение. Заметив, что каждое из произведений

-уа/га, и ус/гс есть площадь искомого треугольника,

получаем равенство:

aha=bhb=chc,

откуда

А'В’С, а потому для их нахождения достаточно решить

342

Определив из равенств (**) углы А, В и С, воспользуем­ ся формулами:

ha=b sin С, hb=c sin А и hc=a sin В,

из которых получаем

Искомый треугольник АВС существует, очевидно, если существует подобный ему треугольник А'В'С', а для суще­ ствования последнего необходимо и достаточно выполнение неравенства:

\Ь'—с'\<а'<Ь'+с',

т. е.

надо составить систему четырех независимых уравнений. В данном случае удобно использовать первую основную систему уравнений

и соотношение: а-|-7>+с=2р, выражающее одно из условий задачи.

Из уравнения (I а) определяем искомый угол С:

С=180°— (Д+В).

Из уравнения (I б) имеем:

а= 27? sin А, 6= 27? sin В, с=27? sin С.

Подставляем эти значения а, b и с в равенство 2р=а-|~6-|~с получим:

p=R (sin Л Д-sin B-]-sin С).

Из равенств (*) и (**) находим отношение:

343

откуда

COS-g- cos—

Аналогично находим

4)Дано: 7?=7,924, Д=113°17', В=48°17';

найти: а, 6, с, С.

5)Дано: S=502,0, А=15°29', В=45°0';

найти: а, 6, с и С.

10) Построить треугольник с наибольшей площадью (с наимень­ шим периметром), если заданы основание треугольника а и про­ тиволежащий ему угол а.

Указание. Пусть АВС — искомый треугольник, причем ВС=а и угол ВАС—а (см. рис. 1.58). Вершины В и С треугольника можно считать известными; вершина А принадлежит дуге, по­ строенной на отрезке ВС и вмещающей угол а. Обозначив через хуголл СВА, определяющий положение вершины А, будем иметь:

1) S= g ЛВ-AC-sin a=2R2 sin (а+х) sin x;

2) 2p— ABA-BC-^-AC=2R [sin (x+a)+sin x+sin a ],

треугольники.

344

§60. Решение четырехугольников через сведение

ксистеме треугольников

Известно, что треугольник определяется тремя неза­ висимыми основными элементами, а для определения вы­ пуклого четырехугольника необходимо знать его пять независимых основных элементов (сторон и углов), а именно:

1)четыре стороны и один угол, или

2)три стороны и два угла, или

3)две стороны и три угла.

треугольников), а тем самым определится и второй тре­ угольник BDC (III случай решения треугольников), до­ полняющий ABD до искомого четырехугольника ABCD.

Если даны три стороны и два угла, один из которых лежит между двумя данными сторонами, например а, Ь, с и углы А, В (рис. 164), то прежде всего однозначно опре­ деляется треугольник АВС, отсекаемый диагональю АС, а тем самым определится сама диагональ АС и угол ВАС (II случай решения треугольников). Учитывая далее, что ^DAC — -4А—^ВАС, замечаем, что определился и дру­ гой треугольник ADC (III случай решения треугольников), дополняющий треугольник АВС до искомого четырехуголь­ ника ABCD.

Если жё ни один из данных углов четырехугольника ABCD не лежит между данными сторонами (так будет, например, если даны стороны а, Ь, с и углы A, D (рис. 165), то выделяют два вспомогательных треугольника

АВЕ и EFD, где BE || CD и EF || ВС.

Решив треугольник АВЕ по стороне а, углу А и углу BEA = ^D, находят АЕ и ЕВ (I случай решения треуголь­ ников). Затем решают треугольник EFD по сторонам EF=b, DF—BE—c и углу EDF=183°—^D (III случай решения треугольников), находят ED. Сложив АЕ и ED, находят сторону AD искомого четырехугольника и тем самым сводят задачу к предыдущему случаю.

Если даны две стороны а, b и три угла А, В, С (рис. 166), то сразу же можно найти и четвертый угол Е>=2к—

— (Л -\-В-[-С). В этом случае сначала определится треуголь­ ник АВС, отсекаемый диагональю AC (II случай решения треугольников), а значит определится диагональ АС и

Рис. 166-

углы треугольника АВС, прилежащие к этой диагонали. Зная же эти углы и используя данные А и С, найдем углы другого треугольника ACD, прилежащие к его уже найден­ ному основанию АС, а тем самым определим и сам тре­ угольник ACD (I случай решения треугольников), допол­ няющий АВС до искомого четырехугольника.

Следует отметить, что в самих определениях некоторых частных видов четырехугольников уже содержатся явно или скрыто дополнительные указания об их сторонах и углах, поэтому такие четырехугольники задаются меньшим числом элементов. Так, для определения прямоугольника достаточно знать две его стороны, для определения парал­ лелограмма надо знать три независимых элемента, а для трапеции — четыре.

Четыре независимых элемента достаточно задать также для определения так называемого хордового че­ тырехугольника, т. е. такого, .вокруг которого возможно описать окружность. Как известно, в хордовом

346

четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d, поэтому из четырех его углов независимыми между собой являются только два, прилежащие к одной стороне четырехугольника.

Решим следующую задачу: даны стороны хордового четырехугольника а, Ь, с и d\ найти его углы и площадь.

Решение. Изобразим хордовый четырехугольник ABCD, вписанный в окруж­ ность, и отметим на нем дан­ ные стороны (рис. 167).

Для определения угла А применим к треугольникам ABD и BCD теорему коси­ нусов, получим:

а2-|-Д2—2ad cos Л = 62-[-с2—2bc cos С.

<з2-f-c?2—2ad cos Л = 624-с2-|-2&с cos А,

откуда

2(&с + ad)

Для приведения к виду, удобному для логарифмирова­ ния, находим:

1_1_гпч д_ (а+^)2 (Ь с)2 ,_ («4-d+c—b)(a~\-d-]-b—с)

Вводим обозначение:

a-P&-|-c-|-d=2p — периметр четырехугольника,

тогда

а-\-Ь-\-с—d~2 (р—d);

b+c-\-d—а=2 {р—а)-, c+d-i-a—b=2 (р—Ь).

Используя это обозначение и производя замену

1-фсоз A = 2cos2 у и 1—cosA=2sin2y,

найдем:

Аналогичным образом найдем формулы для определения угла В.

Для определения площади четырехугольника сложим площади треугольников ABD и BCD, получим:

S=yarfsin А + -|-/>csin С = у'(atZ+&c)sin А (так как

С=к—А).

Это соотношение было найдено индийским математиком Брамагуптой (598*—660).

§ 61. Решение простых многоугольников1 с любым числом сторон

Если дан n-угольник Аг,Аз,Аз ... Ап, то можно считать из­ вестным все его основные элементы: п сторон и п углов, а всего 2п основных элементов. Поставим теперь обратный вопрос: сколько надо взять основных элементов многоугольника, чтобы по ним опре­ делить этот многоугольник, т. е. найти все его элементы?

Ответ дает следующая теорема:

1 Многоугольник называется простым, если никакие две его стороны не пересекаются (во внутренних точках), ни одна вершина не лзжит на его стороне (внутри) и каждая вершина служит кон­ цом только двух сторон.

348