2) Вычисление |
с: |
|
|
|
_ д-sin |
~ 24-sin 129° |
_ 24sin 51° _ |
24-0,777 _ |
~~ sin А |
~ |
sin 18° |
~ |
sin 18° |
0,309 ~ |
__ |
asin Сз |
24-sin 15° |
24-0,259 |
_ рп |
С^~^А |
sin 18° |
бТзОЭ |
°2' |
Итак, задача имеет два решения:
первое решение: |
Bj~33°, (Д — 1290, |
сх^60; |
второе решение: |
В2~147°, С2~15°, с2==62. |
Пример 6. Дано: а=492,0; 6=354,9; |
А=50°12'. Най |
ти В, |
С и с. |
|
|
|
|
Решение с помощью четырехзначных таблиц логарифмов |
1) |
Вычисление |
В: |
|
|
|
sin В = |
Igsin B=lg 6+lgsin A — Iga. |
|
|
lg &=lg 354,9=2,5501 |
|
lg 492,0=2,6920 |
Igsin A=lgsin 50°12'= 1,8855 |
— lg 492,0=3,3080 |
_ lg |
_ lg492,0 = 3,3080 |
|
|
|
|
Igsin В =1,7436 |
|
|
|
|
B1=33°39/. |
|
|
2) |
Вычисление |
C: |
|
|
|
|
C=180°— (A+B)^180°—83°51'»96O9'. |
3) |
Вычисление |
c: |
|
|
|
|
c= |
lg c=lga+lgsin C—Igsin A; |
|
|
lga=lg 492,0=2,6920 |
Igsin 96°9'=lgsin 83°51'= |
|
Igsin C=lgsin 96°9'= 1,9975 |
=1,9975 |
Igsin A=—lgsin50°12'=0,l 145 |
Igsin 50°12'= 1,8855 |
|
|
! |
lgc=2,8040 |
—Igsin 50°12'=0,l 145 |
|
|
|
c=636,8 |
|
|
4) Контрольное вычисление а:
(6+c)siny |
|
л |
а = - В-С~ |
а=1£ (6+c)+lgsin у—Igcos—; |
cos—2— |
|
|
lg (64-C) = lg 991,7=2,9964 |
Z>+c=991,7; |
Igsin ^-=lgsin 25°6'= 1,6276 |
Y=25°6'; |
|
|
—Igcos—^—=—lgcos31 ° 15'=0,0681 |
^=-31’15'; |
|
|
lg a = 2,6921 |
Igcos 31°15'=T,9319; |
|
a=492,l |
—Igcos 31° 15'=0,0681. |
Расхождение на одну единицу четвертого знака |
IV тип. Решение треугольника |
по трем сторонам |
Дано: а, б а с. Найти А, В, С.
Чтобы по данным сторонам треугольника найти его углы, воспользуемся третьей основной системой уравне ний (III а) б) в) ). Из первого уравнения этой системы имеем:
cos А
Ь2-}-с2—а2 2Ьс
Вычислив значение cos А, находят по нему величину угла А. Затем таким же путем определяют углы В и С.
Однако определение углов по этим формулам требует весьма громоздких вычислений, поэтому в тех случаях, когда стороны треугольника выражены многозначными числами, прибегают к другим формулам, удобным для
логарифмирования. Для получения та
ких формул впишем в треугольник АВС (рис. 156) окружность. Пусть г — радиус окружности, О — центр окружности, D, Е и F — точки ка сания.
Внесем обозначения:
ззо
AD = AF = x, CF = СЕ = у и BD = BE = z, тогда
2%4-2!/-|-2z=2p (периметр треугольника), x+y-yz=p,
x=p— (yA-z)=p.— a.
Из |
прямоугольного треугольника |
AOD имеем: |
|
|
. A ___ |
OD _ r _ |
r |
|
|
|
g 2 |
AD |
x |
p—a ’ |
|
короче: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1g4 = — • |
|
|
(Via) |
|
|
& 2 |
|
p—a |
|
|
v ' |
Аналогично получаются формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(VI6) |
|
|
tg| = |
|
|
|
(VIb) |
Остается найти радиус окружности г. Для |
этого от |
метим, |
что |
пл. /\АВС = пл. |
ДАОВ + пл. |
£\ВОС + |
Н~пл. ДСОА, или |
|
|
|
|
|
|
|
S = ус-гф |
|
yb-C |
|
|
|
S = y(<rH- b А-с)-г = р-г, |
|
т. е. |
|
|
S—p-r, |
|
|
(VII) |
откуда |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
г = —. |
|
|
|
Но по формуле Герона, известной из геометрии, |
|
|
S=]^P (р^-а) (р—Ь) (р—с), |
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
_ Vр{р — а)(р — &)(р — с) |
= 1 Г(р —д)(р —&) (р —С) |
г — |
' |
р |
|
У |
|
р |
|
короче: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 /~(р — д)(р — Ь) (р — с) — |
(V11Г |
Итак, если длины сторон треугольника выражены много значными числами, то его углы удобнее находить с по мощью логарифмических таблиц по формулам ‘Via, VI6 и VIb, причем для сокращения выкладок при вычислениях следует предварительно найти 1g г по формуле VIII.
Для проверки решения задач данного типа используют равенство:
Л+Д+С=180°.
Примеры с числовыми данными.
Пример 1. Производится кирпичная кладка стен (рис. 157) так, чтобы угол между стенами был равен 90°. Решено было проверить пра вильность кладки, для этого на швах в одной горизонтале взяли две точки А и В и измере
нием |
нашли |
СВ=а= |
= 12 |
дм, СА = Ь=А0 дм |
и ЛВ=с=15 дм. Затем |
вычислением |
нашли ис |
комый угол АВС=С. |
Приводим |
вычисле |
ние угла С. Другие уг |
лы треугольника АВС |
найдены для |
контроля |
правильности |
решения. |
|
Рис. |
157. |
|
Решение существует, |
|
так как большая сто- |
рона треугольника меньше суммы двух других. |
1) |
Вычисление |
А: |
|
|
Л |
_ 63 + С2_д2 |
100+225—144 |
181 |
2Ьс |
~ |
2-10-15 |
~ 300 |
А® 53°.
2)Вычисление В:
г, |
с* + а* — |
_ 225+144—100 |
_ 269 |
~ |
2са |
~ |
2-15-12 |
~ 360 " |
Вж 42°.
3)Вычисление С:
„ |
а?Ь* — & |
— |
144+100-225 _ |
19 |
_ n П7О9. |
cosC= |
- 2аЪ |
2-12-10 |
240 |
~U>UZy2> |
С ® 85°,
4) Проверка: А +В -\-С~53°4-42°4-85° —180°.
Пример 2. Дано: «=5902, 6=3295, с=4027. Найти А,
В, С.
Решение проведем с помощью четырехзначных таблиц логарифмов.
1) |
Вычисление |
lg г = |
— «) + |
— Ь) + |
4-lg(p — с)— Igp] |
|
|
|
lg(p_Q)=lg 710=2,8513 |
«=5902 |
|
lg (p—6)=lg 3317=3,5207 |
6=3295 |
|
lg (p—c) = lg 2585=3,4125 |
c=4027 |
|
—lgp=—lg 6612=4,1797 |
2p=13224 |
lg 6612=3,8203 |
|
|
5,9642 |
p=6612; |
|
lg r =2,9821 |
p^-«=710;-lg 6612=4,1797; |
|
|
|
р—6=3317; |
|
|
|
р—с=2585. |
2) |
Вычисление |
А: |
|
|
lgtg-у = Igr —W —а),
lg r=2,9821 lg (p—а)=2,8513
lg tg^=0,1308
4 = 53°30'
A = 107°0'.
3) Вычисление В: |
lgtg-|- = Igr — lg(p— 6) |
lgr= 2,9821
lg(p—6)= 3,5207
Igtg-f- = T,4614
4= 16°8'
В= 32°16'.
4)Вычисление C: Igtg-y = Igr•— lg(p — c).
lgr = 2,9821
lg(p—с) = 3,4125
lgtg-§-=7,5696
у = 20°22'
C = 40°44'
5)Проверка: A = 107°0
В=32°16'
C = 40°44‘ A + B+ C=180°
Упражнения.
Из всех углов, вписанных в данную окружность и опирающихся на данную дугу ВС, равную 2a (рис. 158), выбрать такой, чтобы:
|
|
|
а) сумма образующих его хорд была |
наибольшей; |
б) чтобы произведение образую |
щих его хорд было наибольшим. |
Указание. Пусть ВАС — ис |
комый угол; |
очевидно, для его по |
строения достаточно найти угол АВС, |
который мы |
обозначили через х. |
Применяя в |
треугольнике АВС тео |
рему синусов, находим: |
a) |
AB-\~AC=2R [sin (x+a)+sin a ]; |
6) |
AB-AC=$R'2 sin (x+a) sin x. |
Остается исследовать полученные функции на максимум и найти соот ветствующие значения х.
§ 59. Нахождение неосновных элементов треугольника
1) Высоты треугольника
Пусть AH=ha—высота треугольника АВС, опущен ная из вершины А на сторону а (рис. 159).
Из треугольника АВН имеем:
ha =c-sin В.
Из треугольника АСН имеем:
ha =b-sm С.
Таким образом,
ha =b sin С=с sin В. |
(IX) |
Нетрудно видеть, что полученная формула справедлива для треугольника любого вида (остроугольного, тупо угольного и прямоугольного).
Формулы для других высот получаются круговой пере становкой букв.
Если в треугольнике известны стороны а, Ь, с, то при вычислении высот ha, hb и hc можно использовать извест
ную из геометрии формулу Герона (Александрия, |
I в. |
до н. э.) 1 |
(X) |
S=Vp (p—a) (p—b) (р—с). |
Рис. 159.
А именно, из соотношений |
|
|
|
S = у aha = у bh.b |
= |
|
находим: |
|
|
|
|
, 2S |
. 2S |
, |
2S |
,VT4 |
а — а> |
hb |
hc |
с • |
(XI) |
2) Биссектрисы треугольника |
Пусть AD=la—биссектриса |
угла А |
в треугольнике |
АВС (рис. 160).
По теореме синусов из треугольника BAD имеем:
^ADB = 180°—^ —180°—.В—1£О°~(В+С) =90°--g=g,
2 |
|
2 |
2 |
следовательно, предыдущее равенство |
перепишется |
так: |
la |
С |
|
|
1 Есть основания предполагать, |
что эту |
формулу вывел |
еще |
ранее великий греческий математик Архимед (287—212 гг. до н. э.).
откуда
|
c-sin6 |
(ХИ) |
|
COS |
в-с |
|
2 |
|
|
|
|
Формулы для биссектрис других углов получаются |
круговой |
перестановкой букв. |
|
3) Медианы треугольника |
|
Пусть |
АМ=та—медиана треугольника ЛВС, |
прове |
денная из |
вершины А (рис. 161). |
|
Рис. 161.
Продолжим медиану AM на расстояние МА' = АМ и точку А' соединим с вершинами треугольника.
Применив к получившемуся параллелограмму АВА'С известную теорему геометрии о сумме квадратов диаго налей, будем иметь:
4та2 -|-а2=2й24-2с2, |
|
откуда та = у]/2Ь2‘ + 2с2 — с? . |
(XIII) |
Приняв во внимание, что по теореме косинусов |
|
с!2=Ь2-|-с2—2bc cos А, |
|
можно данную формулу записать в следующем виде: |
£2+ca+26ccosH. |
(XII 1а |
4) Площадь треугольника
а) Пусть BH=hb— высота треугольника АВС (рис. 162). Из треугольника АВН находим:
hb—с-sin А.
Следовательно, площадь S треугольника АВС выразится формулой
5=у bhb=уbcsinА. (XlVa)
Эта формула выведена известным голландским астрономом-матема тиком Снеллиусом (1580—1626); читается она так:
Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними.
|
Легко проверить |
справедли |
|
|
вость формулы для треугольни |
|
|
ка любого вида (остроугольного, |
|
|
тупоугольного и |
прямоугольно |
|
|
го). Рекомендуем |
сделать |
это |
|
|
читателю. |
|
|
и |
другие |
|
|
б) Существуют |
|
|
формулы для определения |
пло- Л |
|
|
щади треугольника. Так, напри |
|
|
мер, из теоремы синусов: |
|
|
Рис. 162 . |
|
|
|
|
а |
|
b |
с |
|
найдем b и |
с: |
|
sinH |
|
sinB sinC |
|
, |
as'mB |
asinC |
|
|
|
|
|
|
Ь=—-j- , c=—-r |
|
|
|
|
|
sin^ sinA |
|
|
и подставим |
в формулу |
(XIV а), |
получим: |
q a2sinBsinC 2sin.4
Такое выражение площади было дано немецким математиком Фрид рихом Оппелем (1720—1769).
Заметив, что Л = 180°— (В-рС) и, следовательно, sin А = =sin (В-j-С)., можно получить еще одну формулу для пло щади треугольника:
о <z2-sinBsinC |
/v,, . |
5=ТТ1щв+С)’ . |
<XVa> |
которой удобно пользоваться, если в треугольнике известна одна сторона и прилежащие к ней углы.
23 И. К. Андронов и А. К. Окунев |
337 |
в) Если в треугольнике известны только стороны, то, разумеется, целесообразно находить его площадь по фор
муле |
Герона: |
|
|
S=Vp (р—а) (р—Ь) (р—с). |
|
г) |
Если в треугольнике известен периметр и |
углы, то |
выгодно определять площадь по формуле: |
|
|
S=P2tgytgytgy, |
(XVI) |
выведенной немецким математиком и инженером Августом |
Крелль |
(1780—1855). |
|
В справедливости этой формулы легко убедиться, под ставив в ее правую часть значения тангенсов половинных
углов из равенств(VI а,б,в), |
используя при этом и фор |
мулу (VIII). |
|
|
|
Действительно, |
|
|
n^aAta |
С—п* |
-\/'(Р—Ь)(р—с)(р—с)(р—а)(р—а)(р—Ь) _ |
Р V6 2ё |
2~> |
V |
рЗ(р-а)(р—Ь)(р-с) |
=Ур(р—а)(р—6)(р—c)=S.
д) Если в треугольнике известен периметр и радиус вписанного круга, то его площадь проще всего найти по формуле Герона Александрийского (I в. до н. э.):
S=pr, |
(VII) |
выведенной нами в предыдущем параграфе (см. стр. 331). |
5) Радиусы вписанной и описанной |
окружности' |
а) В предыдущем параграфе (стр. 331) |
мы уже вывели |
формулу для вычисления радиуса вписанной окружности: r=(VIII)
б) |
Из формулы (VI а) можно выразить радиус вписан |
ной |
окружности так: |
|
|
д |
(XVII) |
|
r=(p-a). tg£ |
в) |
Для определения радиуса описанного |
круга можно |
использовать теорему синусов (I б), из которой находим:
