книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Igcos—jj—™= 1,9820;

—Igcos^y^и0,0180.

II тип. Решение треугольников по двум сторонам и углу заключенному между ними

Дано: а, b и С. Найти: с, А и В.

Первый способ (без помощи логарифмов). По теореме косинусов, т. е. из равенства

с2=а2 3-62—2ab cos С

находим сторону с.

Затем по теореме синусов находим меньший из углов А и В, т. е. угол, лежащий против меньшей из данных сто­

319

Наконец, из равенства А -4-В4-С=18О° находим еще один неизвестный угол.

Для контроля решения можно использовать равенство

или a sin B=b sin А.

81ПЛ SinB

Числовой пример: а=130,0; 6 = 140,0;

С=67°23'.

1) Вычисление с:

(Л=а2+Ьъ—2аЬ cos С=1302+1402—2-130-140 cos 67°23' ~ ® 16900+19600—36400 • 0,3846~ 22500

с®]/22500® 150,0.

Так как по условиюа<Ь, то Л<90°, аименно: Л®53°8'. 3) Вычисление угла В:

В= 180°— (Д +С)®180°—120°31' ~59°29'.

4) Контрольные вычисления по формуле:

b sin 4 = 140-sin А« 140-0,8000®! 12.

Второй способ (с помощью логарифмов).

Из уравнения (I а) находим сумму неизвестных углов:

Л+В=180°—С.

Из теоремы синусов имеем:

a sin.4 .

1561 — 1656), принято называть теоремой тангенсов.

320

откуда с помощью таблицы получим разность углов А—В-, зная же сумму и разность углов А и В, можно найти и самые углы А и В.

Для вычисления стороны с используем теорему синусов:

на некотором участке между пунктами А и В оказалась необходимость в сооружении тоннеля сквозь выступ горы (рис. 153). Для определения длины и направления тоннеля выбрали на местности некоторый пункт С, из которого видны и доступны пункты А и В, и измерением нашли

321

СВ=а=675,3 м, СА = 6=548,8 ми ^АСВ=С=58°54. А за тем вычислением определили длину проектируемого тон' неля АВ=с и углы САВ—А и СВА = В, под которыми еледует пробивать тоннель из пунктов А и В.

Приводим ниже вычисления.

1)А+В=180°—58°54'=121°6'.

2)Вычисление A — B:

322

Ill тип. Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них

Из этих уравнений последовательно определяем В, С и с, а именно:

Исследуем условия, при которых эти уравнения дадут значения В, С и с, удовлетворяющие геометрическому смыслу задачи.

Прежде всего отметим, что искомые величины должны (по смыслу задачи) удовлетворять неравенствам:

0<В<180°, 0<С<180° и с>0.

Рассмотрим, какие случаи могут представиться при раз­ личных соотношениях между данными а, b и А.

Случай 1: а>&. В этом случае -~<1 и, следователь­

но, ~ sim4 < 1 (sin Д< 1), а потому уравнение sin В = bsi^ А

имеет решения; в интервале от 0 до 180° его решения вы­ разятся числами: Bi = arcsin(b <90° и 52=180°—

— Bi >90°.

Однако значение В3, очевидно, не удовлетворяет условию задачи. Действительно, если его принять, то в искомом треугольнике окажется два тупых угла, чего не бывает.

Что касается Bi, то его можно принять, если выпол­ нится для третьего угла С условие:

323

А так как углы Вх и 180°—А — острые, то по свойству синусов острых углов заключаем, что Вх< 180°—А и, сле­ довательно, B1~j-A<180°.

Итак, если а> Ь, то задача имеет единственное решение:

Случай 2: a=b. В этом случае первое из уравнений

(*) принимает вид:

sin B=sin А.

В интервале от 0 до 180° это уравнение имеет два реше*

ния: Bi=A и В2= 180°—А. Если А>90°, то ни одно из этих решений не может быть принято, так как в противном случае мы получили бы треугольник с двумя тупыми или прямыми углами, чего не бывает.

Если же угол А острый, то корень Вх удовлетворяет условию задачи, а корень В2 опять не удовлетворяет.

Действительно, при В!=А<90о имеем:

сх=180°—(A-|-B1) = 180o—2А>0, что возможно,

с2=180°— (Л-|-В2) = 180о— (А 4-180°—Д)=0 — невоз­

можно.

Итак, если а=Ь, то задача возможна только тогда, когда А<90° и имеет притом одно решение:

(треугольник равнобедренный). Случай 3: а<6.

Очевидно, в этом случае данный угол А должен быть непременно острым. Действительно, если взять А >90°, то угол В должен быть тупым, так как против большей из данных сторон лежит больший угол (В>А, так как 6>а), и тогда А4-В>180°, чего в треугольнике быть не может.

Таким образом, остается исследовать случай, когда

а<Ь и А <90°.

В этом случае может иметь место одно из следующих соотношений между данными:

a<b sin A; a=b sin А и a>6sinA.

324

Если a<b sin А, TO sin B= ^S1” Л->1 и, следовательно,

Итак, в данном случае задача имеет единственное реше­ ние:

(или, принимая во внимание, что треугольник прямоуголь­ ный, c=b cos А).

Наконец, если a>b sin А, то fcsi" —<1 и уравнение

sin д—Л в Пр0МеЖуТКе от о до 180° будет иметь два

корня: Вг и В2, причем В1<90°, а В2=180°—Bi>99°.

Для второго угла С получим соответственно значения:

С1=180о— (АН-Bi) и

С2=180°— (А +В2) = 180°— (А+180°—В1)=В1—А.

Нетрудно видеть, что оба решения удовлетворяют усло­ вию задачи. Действительно, А<90° и Вi<90°, следователь­

325

Все результаты исследования можно представить таб­ лицей:

Просматривая таблицу, замечаем, что два решения задача может иметь только в том случае, когда данный угол острый и лежит против меньшей из данных сторон.

Результаты этой таблицы можно получить, исследуя данную задачу геометрическим путем.

В самом деле, проследим известный нам процесс по­

денной из точки С, как из центра, радиусом, равным а. Однако возникает вопрос, пересечет ли такая окруж­ ность сторону A Q, а если пересечет, то в одной или в двух

точках.

326

Для выяснения этого опустим перпендикуляр СН на прямую AQ и рассмотрим всевозможные случаи отношения

ак Ь.

1)Если а>6, получается две точки пересечения пря­

мой с указанной окружностью, при этом одна точка Bi лежит справа от вершины А, а вторая точка Вг— слева от нее. В соответствии с этим образуется два треугольника ACBi и АСВг, но удовлетворяет условию задачи только один из них, а именно,треугольник АСВг с углом А против стороны а; в треугольнике АСВ2 против стороны а лежит угол САВ2фА.

2) Если а=Ь, прямая AQ также пересекается с указан­ ной окружностью в двух точках; одна из этих точек обозна­ чена на чертеже буквой В3, а вторая совпадает с вершиной угла А. Образующийся при этом равнобедренный тре­ угольник САВ3 удовлетворяет условию задачи только при Л<90°; при А >90° (рис. справа) в треугольнике САВз против стороны а лежит угол СДВ3=#Л.

3) Если а</>, решение возможно только при остром угле А (рис. слева), при этом в свою очередь могут быть различные случаи.

При а<СН окружность не пересекает прямой 4Q,— решения не существует.

При а=СН окружность касается прямой AQ в точке Н и образуется прямоугольный треугольник САН, удовле­

каждом из них против стороны а лежит угол A (,CBi==CBi= =а).

Заметив, что СН=СА-sin CAH=b sin А, убеждаемся в совпадении полученных вы­ водов с результатами таб­ лицы (стр. 326).

Примеры с числовыми дан­ ными.

327

угол ВАС был равен 30°, и нашли измерением СА=6=36 м и СВ=а=45 м. А затем вычислением определили искомое расстояние АВ=с.

Приводим их вычисления:

Пример 1. Дано: а=45, 6=36, А =30°. Найти В, С и с.

1) Вычисление В:

sin В sin 30° = 4 • 4- = 4- = 0,40; В«23°. 4Э О 2 О

2) Вычисление С:

С=180°— (30° 4-23°) «180°—53° «127°.

3) Вычисление с:

Пример 2. Дано: а=6 = 140, А=52°30'. Найти В, С и с.

1)Вычисление В и С:

В=А =52°30'; С= 180°—2А = 180°—105°=75°.

2)Вычисление с:

с=2а-cosА =2-140 cos 52°30' «280 • 0,609 « 170.

В!«33°, В2«180°—33°«147°;

Сг «180°— (A 4-Bi) «180°—51° «129°; Са «180°— (А +В2)«180°—165° «15°.

328