книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

а так как диаметр круга, описанного около прямоугольного треугольника, равен гипотенузе, то получаем:

удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть АВС (рис. 149)—тре­ угольник, у которого угол А острый; опустив из вершины В перпендикуляр ВО на сторону АС и применяя известную из геометрии теорему о квадрате стороны треугольника,

по теореме геометрии о квадрате стороны, лежащей против тупого угла, будем иметь:

а2=й2+с24-2&-Х£>;

309

но из прямоугольного треугольника ABD находим:

ДО=с-соз BAD=c-cos (180°—Л)=—с-cos А,

Теорема косинусов была найдена выдающимся хорезмским уче­ ным-математиком аль-Бируни (973—1048, Багдад, Средняя Азия).

III. Теорема. Во всяком треугольнике сторона равна сумме двух произведений, получаемых от умножения каж­ дой из остальных двух сторон на косинус угла, образуемого ею с первой стороной.

а если один из этих углов, например С, тупой, то

a=BD—DC,

310

зависимость между элементом прямоугольного треуголь­ ника:

а=с-cos В.

Замечание. Рассмотренные теоремы привели нас к трем группам соотношений между элементами треугольника:

(III)была доказана французским математиком Карно (1753—1823).

§57. Эквивалентность трехосновных систем соотношений

между элементами треугольника

Теорема I. Системы основных соотношений (I), (II) и (III) эквивалентны между собой, т. е. из любой из этих систем соотношений можно получить, как следствия, две другие системы при условии, что а, Ь, с, А, В и С —поло­

гранжа, Карно и Коши.

311

Доказательство. 1. Покажем, что из системы

(I)получаются, как следствия, системы (II и III).

Всамом деле, из равенства (I а) имеем:

Внося эти значения синусов в равенство (*) и умножая на k, получаем

а=6 cos СД-с cos В.

Аналогичным путем получаются два других соотноше­ ния системы (III).

Для получения соотношений системы (II) возведем почленно в квадрат равенство (*) и выполним следующие преобразования:

sin2 A=sin2 В cos2 С-фсоэ2 В sin 2 С-ф

4-2 sin В sin С cos В cos C=sin2 В (1—sin2 С) -ф 4-sin2 С (1—sin2 В) -f-2 sin В sin С cos В cos С— =sin2 B-j-sin2 С4-2 sin В sin C (cos В cos С—

—sin В sin C)=sin2B4sin2 С-ф 2 sin Bsin C cos (В-фС).

Приняв во внимание, что В-фС=п—А и, следовательно,

cos (В-f-С) ——cos А,

получаем:

sin2 A=sin2 B4-sin2 С—2 sin В sin С cos А.

312

Внося в это равенство значения синусов из соотноше­ ний (**) и умножая на k2, получаем первое равенство си­ стемы (I I):

а2—Ь2-{-с2—2bc cos А.

Аналогично устанавливаются другие равенства этой си­ стемы.

2. Покажем теперь, что из системы соотношений (II) следуют системы (III) и (I).

В самом деле, сложим почленно последние два равен­ ства системы (II), получим:

62Ц-с2=2а2-|-62-|-с2—2ас cos В—2ab cos С,

откуда

2a2—2ab cos С4-2ас cos В.

Разделив это равенство на 2а, получаем первое из соот­ ношений системы (III): a=b cos С-{-с cos В; два других соотношения этой системы получаются аналогично.

Для получения системы (I) можно воспользоваться теперь соотношениями системы (III), которые мы только что вывели из системы (II).

С этой целью исключим с из равенств (III), для чего умножим первое из этих равенств на а, а второе на—b и по­ членно сложим, получим соотношение:

а2—Ь2=с (a cos В—b cos А).

Подставив значение с из третьего равенства, получим:

а2—b2—a2 cos2 В—b2 cos2 А,

откуда

а2 (1—cos2 B)=b2 (I—cos2 А),

или

a2 sin2 B—b2 sinM, a sin B=b sin А,

а потому

а b sirM —' sinВ

Также доказывается равенство:

а _ с sinX sinC

Таким образом, окончательно получаем:

(k ~ коэФФВДиент пропорцио­

нальности).

Из этого соотношения находим:

a=AsinA, b=&sinB, с=/г sin С. (***)

Подставив эти значения а, b и с в равенство

a=b cos С+с cos В

и сократив на k, получаем:

sin A=sin В cos C-|-sin С cos В

или

sin A=sin (В4-С).

Принимая во внимание, что 0<А<тс и 0<В4-С<2тс,

находим, что: либо А=В-}-С, либо А-|-В-|-С=л.

Аналогичным путем, подставляя значения а, Ь, с (***) в другие равенства системы (III), найдем:

либо В=А-|-С, либо A-|-B-|-C=it, либо С=А-|-В, либо А+В4-С=тс.

Рассматривая совместно эти равенства, замечаем, что всегда будет справедливо соотношение:

Что же касается первых равенств, то их совместное существование невозможно. Действительно, если допус­ тить, например, что

А=В+С и В=Л4-С,

то получим С=0, чего по условию не может быть. Замечание. Одновременное существование ра­

венств А=В-{-С и А Ц-В4-С=л возможно, если А=ВЧ-С =

3. Докажем, наконец, что из соотношений системы (III) следуют системы (I) и (II).

Только что показано, как из системы (III) получается система (I), следовательно, остается получить систему (II). С этой целью умножим равенства системы (III) соот-

314

ветственно на а, b и с и сложим почленно, тогда получим:

а2-\-Ь2—c2~2ab cos С,

откуда

с2=а2-]-6г—2ab cos С.

Аналогично получаются два других соотношения си­ стемы (II).

Таким образом, теорема доказана полностью.

Теорема П. Любая из систем (/), (II) и (111) выражает

необходимые и достаточные условия, при выполнении кото­

рых положительные числа а, b и с выражают длины сторон некоторого треугольника, а положительные, меньшие тс, числа А, В и С выражают величины соответствующих углов этого треугольника.

Доказательство необходимости. Пусть существует треугольник со сторонами а, Ь, с и противоле­ жащими им углами А, В и С. Тогда, по доказанному в пре­ дыдущем параграфе, между элементами этого треуголь­ ника имеет место любое из соотношений систем (I), (II)

и (III).

Доказательство достаточности. По­ скольку системы (I), (II) и (III) равносильны, то можно ограничиться доказательством достаточности одной какойлибо системы. Покажем, например, что для существования треугольника со сторонами а, Ь, с и противолежащими им углами А, В и С достаточно того, что эти числа удовлет­ воряют равенствам системы (III).

В самом деле, из первого равенства системы (III) имеем:

cz<C&|cos С|4-с |cos В|< ЬА-с.

Из двух других равенств этой системы получим:

Ь<а-]-с и с<6-|-а.

углы этого треугольника, противолежащие (соответственно) сторонам а, b и с. Применив к этому треугольнику теорему косинусов, получим:

а2=62+с2—2bc cos А',

Аналогично убеждаемся, что В'=В и С'—С. Итак, теорема доказана.

§58. Основные четыре случая решения треугольников

Косновным случаям решения треугольников относят задачи, в которых даются три основных независимых эле­ мента треугольника и требуется вычислить остальные его элементы. В случае прямоугольного треугольника один

элемент (прямой угол С) уже известен, поэтому в задачах на решение прямоугольных треугольников задают только два независимых элемента. Решение прямоугольных тре­ угольников рассмотрено нами в подготовительном курсе, поэтому начнем сразу рассмотрение задач на решение тре­ угольников любого вида. По характеру данных основные задачи на решение треугольника можно разбить на четыре типа:

1)даны сторона и два угла;

2)даны две стороны и угол между ними;

3)даны две стороны и угол, лежащий против одной

из них; 4) даны три стороны треугольника.

Рассмотрим отдельно каждый из них.

1 т и п. Решение треугольника по стороне и двум углам

Дано: а, В и С. Найти А, Ь и с.

Решение возможно, если выполняется условие: В-|-С<180о. Используя в этом случае равенства систе­ мы (I), находим:

316

Для проверки решения можно вычислить данную сто­ рону а по формуле:

А

(fr+cisin-g

Эту формулу, записанную в следующем виде

называют по традиции формулой Мольвейдепо имени немецкого астронома Карла Мольвейде (1774—1825), хотя впервые ее вывел Исаак Ньютон в своей «Универсальной арифметике», изданной в 1707 году.

Для доказательства этой формулы достаточно положить (на основании теоремы синусов) а=27? sin А, 6=27? sin В

и с=27? sin С.

Действительно,

следовательно, после сокращения получаем:

А

a sinT

b+c в—С cos—2~

Рассмотрим примеры с числовыми данными.

Пример 1. На практических занятиях по математике учащимся указали два доступных пункта В и С и один недоступный пункт А, расположенный за речкой (рис. 152), и предложили найти расстояния от пунктов В и С до пунк­ та А и угол, под которым виден отрезок ВС из пункта А.

317

Заметив, что пункты А, В и С являются вершинами треугольника АВС, учащиеся нашли непосредственным

Пример 2. Дано: а=548,7; В=72°53'; с=40°6';

найти А, Ь, с.

Проведем решение с помощью четырехзначных таблиц логарифмов.

1)Вычисление А:

А= 180°— (В +О = 180°—112°59'=67°1'.

2)Вычисление Ь:

6=="ДЕГ -lg6=1ga+1gsinB—IgsinX

lga=lg548,7=2.7394

318