книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

tg2a+p tga +q=0,

следовательно,

Исследования показывают, что существует два решения:

ai<45° и <Х2>45°.

Это обстоятельство объясняется тем, что одинаковое отклонение направления бросания снаряда вверх и вниз от угла а=45° обеспечивает одинаковую дальность полета. Действительно, пусть указанное отклонение равно Р (0<“<45°), тогда имеем два направления:

ai=45°—р и а2=45°+р.

Подставляем эти значения а в формулу (4), получаем:

S1=^sin(90°—2p)=^-2cos2p,

S2=^sin(90°4-2p)= ^cos2p.

Итак, Si=S-2.

Задача 3. При конструировании трансформатора пере­ менного тока весьма важно возможно больше заполнить железным сердечником крестообразного сечения внутрен­ ность цилиндрической катушки.

Каковы должны быть размеры х и у сечения сердечника, изображенного на рисунке 141, если радиус катушки ра­ вен о?

299

Решение. Выражаем площадь 5 сечения сердеч­ ника через х и у: S=4z/2—4 (у—х)2=4 (2ху—х2).

Пусть ^АОВ=а., тогда х=а sin а, у=а cos а и, следо­ вательно, 5=4 (2а2 sin а cos а—а2 sin2 а)=2а2 (2 sin 2а—

—2 sin2 а)=2а2 [(2 sin 2а-{-cos 2а)—1 ].

Внесем обозначение: z=2 sin 2а-{-cos 2а, будем иметь: S=2a2 (z—1), следовательно, площадь 5 будет максималь­ ной при наибольшем значении z.

гательный угол <р, положив tg <р=2, будем иметь:

z = tg ср sin 2a+cos 2a = Wj" 2«+cos ? cos 2a = cos_(jp-2a)

cos (ср—2a) = l, т. е. при ср—2а=0 или а=у.

По таблицам находим cp=arctg 2«63°34', следовательно,

a«31°47', х~а sin 31°47'«0,527а, у«а cos 31°47'« «0,850а;

zmax~ = V 1 + tg2 ср = ]/ 1 -|- 22 = ]Л5 ,

■Smax=22(yT— 1)«2,472а2.

Задача 4. Существует ли такой круговой сегмент, хорда

которого равна длине вписанной в него наибольшей окруж­ ности?

300

Решение. Предположим, что такой сегмент суще­ ствует (рис. 142). Пусть его дуга ADB=x радиан и радиус вписанной в него наибольшей окружности равен г.

По теореме о пропорциональных отрезках в круге имеем:

AC2=DC-CE. (*)

Но по условию АС—кг, DC=2r, CE=DE—DC=2AO—DC=

y«64°58', x~129°56'.

Итак, существование сегмента, удовлетворяющего усло­ вию задачи, возможно. Приближенно, с помощью транс­ портира такой сегмент легко построить.

Упражнения.

1. Из бревна цилиндрической формы надо выпилить балку с прямоугольным поперечным сечением наибольшей площади (наи­ большего периметра). Найти размеры поперечного сечения балки.

Указание. Обозначить через D диаметр бревна и через х угол между диагоналями поперечного сечения балки, тогда пло­

2. Прямой угол MAN вращается вокруг своей вершины А, расположенной между двумя данными параллельными прямыми (рис. 143), и пересекает эти прямые в точках В и С. Определить такое положение угла, при котором треугольник ВАС имеет мини­ мальную площадь.

Указание. Положение угла MAN вполне определяется величиной угла а, образуемого лучом AM с данными прямыми. Площадь треугольника ВАС можно выразить через угол а и отрез­

301

ГЛ A ВАХ

Триангуляция

§ 55. Треугольник как элемент геометрических фигур

Изучение многих геометрических фигур осуществляется через разложение их на треугольники и раскрытие зави­ симостей между элементами этих треугольников. Извест­ но, например, что всякий плоский многоугольник разла­ гается на треугольники его диагоналями, причем все эле­ менты многоугольника (стороны, углы, диагонали, пло­ щадь и т. д.) вполне определяются соответствующими эле­ ментами ■ этих треугольников. В частности, выпуклый n-угольник разлагается на п—2 треугольника диагоналя­ ми, проведенными из любой его вершины.

Разложение на треугольники криволинейных фигур уже невозможно. Однако в тех случаях, когда криволиней­ ная фигура может быть получена через предельный пере­ ход от вписанного в нее многоугольника, разлагают на треугольники этот многоугольник и через предельный пере­ ход устанавливают связи элементов криволинейной фигуры с деформирующимися (в процессе предельного перехода) элементами этих треугольников.

Так, например, поступают в геометрии при изучении круга и окружности. Эти криволинейные фигуры полу­ чаются через предельный переход от вписанного в них пра­ вильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон; причем площадь круга оказывается рав­ ной пределу суммы площадей треугольников, на которые разлагается вписанный многоугольник, а длина окруж­ ности равна пределу суммы соответствующих сторон этих

303

треугольников. Следует отметить, что в технической прак­ тике при сооружении различных конструкций из стержней учитывается еще одна особенность треугольника: конструк­ ции треугольной формы, сделанные из стержней, обладают

Рис. 145.

свойством «жесткости» и «устойчивости», тогда как кон­ струкции в форме многоугольника легко деформируются. Именно это обстоятельство заставляет инженеров при сооружении различных арок, мостов, перекрытий для крыш и т. п. «разлагать» конструкции многоугольной формы на треугольные (см. рисунок 145) внесением в них вспомога­ тельных стержней-укосов.

304

Таким образом, как в теории, так и на практике треуголь­ ник служит существенным элементом геометрических фи­ гур. Вот почему так подробно изучается треугольник в гео­ метрии и в специальном учебном предмете тригонометрии, т. е. треугольнике измерении.

В подготовительном курсе тригонометрии было уделено много внимания двум методам решения треугольников: чисто геометрическому построительному методу и методу вычислительному, опирающемуся на теорию тригонометри­ ческих функций. При этом были показаны на ряде конкрет­ ных примеров существенные преимущества вычислитель­ ного тригонометрического метода перед методом построительным.

Ограниченность сведений из теории круговых функций в подготовительном курсе тригонометрии вынуждала нас сводить всякую геометрическую задачу к решению только прямоугольных треугольников и за­ трачивать иногда много времени и сил на составление и ре­ шение различных вспомогательных уравнений.

Изученная нами в данном курсе теория круговых функ­ ций дает возможность создать общую теорию решения треугольников (любой формы), благодаря которой указан­ ные трудности в значительной мере преодолеваются. В осно­ ве этой теории лежат функциональные зависимости между элементами треугольника, раскрывающиеся с помощью круговых функций. Выводу и исследованию этих зависи­ мостей отводится начало этой главы. При этом (как и в под­ готовительном курсе) мы будем придерживаться следую­ щих обозначений для основных элементов в треугольнике

стороны.

При записи неосновных элементов треугольника АВС будем употреблять следующие знаки, закрепившиеся, как наиболее удобные, в литературе XIX века:

ha, hb, hc — высоты, опущенные из соответствующих вершин;

та, ть, тс — соответствующие медианы; /0, 1ь> 4 — соответствующие биссектрисы;

2р — периметр; S — площадь;

г — радиус вписанного круга; /? — радиус описанного круга.

При написании «родственных» фсрмул, выражающих зависимости между элементами треугольника, мы будем часто прибегать к так называемой циклической замене, введенной Лейбницем в 1666 году в его диссер­ тации «Искусство комбинаторики».

Поясним принцип циклической замены на следующем примере.

Пусть уже доказана теорема о выражении медианы треугольника через его стороны и записана равенством

из вершины А. Чтобы записать соответствующие формулы для двух других медиан ть и тс, достаточно осуществить в формуле (*) замену а на b, b на с и с на а:

ть= 2с2+2а2—62,

а затем b на с, с на а и а на Ь:

тс=1]/2а2+262-с2.

Возможность такой замены основана на том, что дока­ зательство теоремы одинаково для всех трех медиан и не

Азависит от того, какими буквами обозначить вершины и стороны тре­ угольника. Поэтому вывод теоремы не изменится, если в треугольнике осуществить круговую перестанов­ ку обозначений для вершин А, В,

С и сторон а, Ь, с.

Запомнить такую перестановку

циклической (круговой).

§ 56. Зависимость между основными элементами треугольника

Основными элементами треугольника называют его сто­ роны и углы. Соотношение между углами треугольника выражается известным из геометрии равенством:

306

можно получить различные (встречающиеся при решении задач) зависимости между круговыми функциями углов треугольника. Например:

sin (B-f-C)=sin (тс—C)=sin С,

cos (B-|-C)=cos (тс—С)=—cos Сит. п.

Заметив, что

Доказательство. Опишем около треугольника АВС круг (рис. 147) и обозначим его радиус через R.

Проведя через вершину В диаметр BD и соединив его конец D с вершиной С, получим прямоугольный треуголь­ ник BCD, из которого имеем:

BC—BD-sin D.

Так как ВС=а, BD=2R и ^D=^A, то

a=2Z?-sin А.

На рисунке 147 угол А — острый, но полученное равен­ ство справедливо и в том случае, когда угол А — тупой (рис. 148). Действительно, повторив указанное построение для треугольника АВС с тупым углом А, получим прямо­ угольный треугольник BCD, из которого имеем:

=sin (180°—A)=sinA, поэтому предыдущее равенство за­ пишется так:

а=22? sin А.

Аналогичными рассуждениями можно получить ра­

венства:

Z>=2/?-sin В, c=2/?-sin С.

Эти равенства можно записать в следующем виде:

Эти соотношения верны и для прямоугольного треуголь­ ника.

В самом деле, если в треугольнике АВС угол С — пря­ мой, то

308