книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Пример 1. (sin (2x4-3w-l-4)=0,5 (tg (3х+2у+3)=4.

Решение. (2x-|-3z/-|-4==(—1)/14+даг

}3x-|-2y+3=arctg 4-f-wii,

откуда

х= (——0,2 4-0,6 arctg4— 0,2л(2«—3/iJ

у= (— 1 1,2 —0,4 arctg 4+ 0,2к(3/г — 2/Zj),

где n и ni принимают независимо друг от друга произволь­ ные целые значения.

Пример 2. j'sin (х -|-у)=sin (2х—у)

{cos (x+2i/)=cos (у—Зх).

Решение. По известной теореме (§ 43) имеем:

[х +у=(—1)« (2х—у) -|-ад |х 4-2у=±(у—Зх) -)-2ад i.

Эта система распадается на четыре системы:

290

Решая каждую из этих систем, получим четыре класса решений данной системы уравнений:

где k и nY принимают любые целые значения.

Пример 3. (2 sin (х-\-у) +3 cos2 (х4-у) = 1 )2 cos (х—у)—sin2 (х—у) = ^-

Решение. Выразив в первом уравнении косинус через синус, а во втором синус через косинус, получим.

(sin2 (х+у)—2 sin (хЦ-у)—2=0 icos2 (х—у) 4-2 cos (х—у)—у=0,

(корни по абсолютному значению, большие единицы, не рас­ сматриваются).

Решаем полученную систему:

(х4~У~(—l)A+1arcsin 0,732+"/г~(—1)*+1 0,822 4-^/г |х— у— ± arccos 0,581 -|-2м® ±0,951 -|-2к/г,

откуда (как и в предшествующем примере) находим четыре класса решений данной системы:

у3«—0,0645+к(/г—Л)+у [у4 ~ 0,886 + n(k — п) + у,

где k и п принимают произвольные значения.

Пример 4. (sin х sin у=а

1 Icos х cos у =у.

291

Решение. Сложением и вычитанием получаем си­ стему:

COS X COS 1/+S11U SlDt/=y 4-0

cos x cos у—sinx sine/——i —a,

откуда

cos (x—y) = у 4-a

cos (x-H/) = у — a.

Накладываем ограничения на а так, чтобы выполнялись соотношения:

— 1 <:’2" + 1

—---- 1.

Решая эту систему относительно а, получаем

При этом условии имеем:

х — у = ± arccos^y + 4-

х + у = ± arccos^y — aj 4* 2ппг.

Полученная система распадается на четыре алгебраиче­ ские системы, решение которых не представляет затруд­ нений.

Пример 5. Jslnjt + 2cosy = 1,5 (cosx — 2siny — 0,5.

Решение. Уединим sinx и cosx и возведем обе части в квадрат, получим:

sin2x — 2,25 — 6cosy -f- 4cos2y cos2x = 0,25 + 2siny + 4sin2y.

Сложив почленно, получим:

1 =2,5 — 6cosy 4- 2siny 4- 4

292

Вводим вспомогательный угол ?, положив у = tg<p,

будем иметь (см. § 47, стр. 249)

cos(y + ?) — O,9167cos<p,

откуда

у ss —® + arccos(0,9167cos?) + 2™.

Находим ® = arctg-^- як 0,3217; 1 о

arccos(0,9167 cos?) ~ 0,5166.

Следовательно, у ~ — 0,321 7 ± 0,5166 + 2т.п

Vi -0,1949 + 2т. п

у2 як —0,8383+ 2™.

Подставляем значения у в одно из уравнений данной системы, например во второе, получим:

cosXi — 0,5 + 2siny! я» 0,5 + 2sin0,1949 — 0,8872, cosx, — 0,5 + 2siny2 « 0,5 — 2sin0,8383 — — 0,9870,

откуда Xj« ± 0,4797 +2^й,

x2~ ± (^-0,1600) +2r.k^ ± 2,982 +2+e.

Так как в процессе решения нам пришлось возводить уравнения в квадрат, то требуется проверка полученных решений. Подстановкой полученных решений в первое уравнение данной системы находим пригодные решения:

29.4

мени. Найти моменты времени, когда эта функция дости­ гает максимума и минимума.

Решение. Построим на плоскости окружностей прямоугольную систему координат с началом О в общем

294

По определению синуса и косинуса дуги имеем:

А. — sin ''-‘AM, К = cos ^АМ, -

откуда PM=R sin 2~nt, OP~R cos 2-rtnt.

Аналогично, Р1Л41=2?1 sin 2ttn1t и OP1-'=Rl cos 2r:nJt.

Из прямоугольного треугольника MM±N находим:

MMr = VMN^MiN2 = V(OPi— 0P)2+ (PiMj — PM)2=

= У(/?!COS 2т^— Rcos 2r,nff -k (/^sin 2лп^ —7?sin 2лпГ)2=

= У R12-pR2—2R1Rcos 2л(пх — n)t.

Итак, искомое расстояние выразилось функцией

s = Уру-r2—г/^/ёсоГгЯп! — Уу.

Наибольшее значение эта функция достигает тогда,

Очевидно, это соответствует тем моментам движения, когда точки /И и Ah, проходят через первоначальные свои поло­ жения А и Ai.

Если П1=п, то расстояние между точками будет неиз­

Задача 2. Исследовать движение снаряда в безвоздушном пространстве при условии, что снаряд выброшен из ствола орудия О с начальной скоростью vo под углом а к горизон­ тальной плоскости (к горизонту орудия).

295

Решение. а) Уравнение траектории полета. Ориентируем плоскость полета снаряда систе­ мой прямоугольных координат, как указано на рисунке 139. Положение летящего снаряда будет определяться координатами х и у его центра тяжести М.

С перемещением снаряда в плоскости хОу будут из­ меняться некоторым образом и координаты точки М (х, у), описывающей траекторию полета.

Пусть через / сек. после вылета из капала ствола снаряд оказался в точке М (х, у). Если бы на снаряд не действо­ вала сила земного притяжения, он совершил бы за t сек. прямолинейный путь ON=vot. Но за это время под дей­ ствием силы тяжести, сообщающей ускорение g, снаряд отклонится от первоначального направления ОА на отре-

зок st2 и окажется в точке М(х, у),г где х=ОР =

—ON cos а= vot cos а,

У = РМ = PN — NM = O/Vsina- -ф = c^sina--^’

Итак, мы получили следующее параметрическое урав­ нение траектории полета снаряда:

296

или, положив

Из курса алгебры известно, что графиком данной функ­ ции (3') является парабола, проходящая через начало координат, с осью симметрии параллельной оси Оу, при­ чем ветви параболы направлены вниз. Таким образом, центр тяжести снаряда описывает параболическую кривую, изображенную на рисунке.

б) Дальность полета. Пусть снаряд упал на линии горизонта орудия Ох, тогда дальность полета ОВ равна абсциссе точки В, у которой ордината равна 0. Следовательно, положив в уравнении (3') у=0, найдем абсциссу точки В, т. е.

O =£ZJCa -Jf-bx,

или

х (ах 4-6)=0,

’откуда

зависит от Vo и а. При данной начальной скорости vo наи­ большая дальность полета будет при угле бросания а=45°, так как в этом случае sin 2a=sin 90°=1 принимает наи­ большее значение.

в) Наибольшая высота подъема сна­ ряда. Наибольшая высота подъема снаряда определяет­ ся наибольшей ординатой параболы. Такую ординату имеет точка D, в которой пересекается парабола со своей осью симметрией CD. Абсцисса точки D

x=OC=^OB=is = ^sin2a.

2 2 2g

Подставив значение х в уравнение (3), получим ординату у точки D:

2vaios^Tgsin2a- )2+ T/in2atSa= ^Sin2a’

297

V0COSa’

В момент, когда снаряд упал, аргумент х принял наиболь­ шее значение, т. е.

x=S = — sin 2a.

ё

Итак, продолжительность полета также зависит от vo и а. При заданной начальной скорости снаряда по наиболь­ шая продолжительность его полета

когда sin a=l, т. е. при стрельбе в зенит.

д) У г о л стрельбы. Пусть цель находится в точке К, расположенной на склоне горы (рис. 140) так, что возвышение цели над горизонтом орудия К'К=1гм, топографическая. дальность цели 0К'=1м. Тогда точка К (х, у) имеет абсциссу х—1 и ординату y=h. Подставив эти значения х и у в уравнение (3), получим:

Л=——х—\-l tga,

2p02cos2a 16

где a — искомый угол стрельбы.

Решаем это уравнение относительно а.

Производим замену ^^=14-tg2a, получаем квадрат­

ное уравнение относительно tg a:

298