книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Нетрудно понять, что таким путем всякому действитель­ ному числу будет поставлена в соответствие определенная точка окружности. Так числу 0 будет соответствовать сама начальная точка А, числу 1 будет соответствовать точка Е— конец дуги АЕ = 1 радиану, числу 2 будет соответствовать точка F—конец дуги AF=2 радианам, числу 7,3 будет соответствовать точка, служащая концом дуги в 7,3 радиа­ на (при условии, что началом дуги является Л). Разумеется, всякому отрицательному числу будет соответствовать точ­ ка, служащая концом отрицательной дуги. Например, числу г=—2 будет соответствовать точка F'—конец отри­ цательной дуги АЕ' =—2 радианам.

Итак, мы нашли способ установления соответствия между числами и точками окружности. По аналогии с числовой прямой (осью) будем называть такую окружность в дальней­ шем числовой окружностью. Однако следует за­ метить, что полной аналогии между числовой окружностью и числовой прямой нет. В самом деле, на числовой прямой осуществлено взаимно однозначное соответствие между числами и точками: каждому числу z соответствует одна точка М—конец отрезка ОМ, равного z единицам масштаба, и, обратно, каждой точке М соответствует единственное число z, равное длине отрезка ОМ, взятой со знаком -(-или

—- в зависимости от положения точки относительно начала О. На числовой окружности также каждому числу z соот­ ветствует единственная точка М—конец дуги AM=z ради­ ан, но обратное соответствие не однозначно: каждой точке М числовой окружности соответствует бесконечное множе­ ство действительных чисел, а именно—величины всех дуг, у которых началом является точка А, а концом—М. Две из этих дуг, наименьшие по длине, составляют целую ок­ ружность, причем одна дуга положительная, а другая отрицательная. Пусть положительная дуга равна а ра­ диан, тогда отрицательная дуга, очевидно, равна —(2л—а) или (а—2л) радианам. Все остальные дуги с тем же нача­ лом А и концом М будут отличаться от рассмотренных дуг целым числом окружностей, поэтому их величины вы­

разятся числами:

1) а + 2тс, а + 2л • 2, а + 2л • 3, . . . , а + 2л ■ п, . . . ;

2) а —2л-2 = а +М—2), а — 2л-3 = а+ 2л(— 3),

а — 2л - 4 = а 4- 2л (— 4)...........а — 2л-т = а + 2л(—иг),...

Нетрудно видеть, что величины всех таких дуг возможно записать одной формулой:

Итак, каждой точке М на числовой окружности соот­ ветствует бесконечное множество чисел, записанных равен­ ством (4); иначе говоря, точка М числовой окружности имеет бесконечное множество круговых координат вида

z — а + 2л£ (k — любое целое число),

где а—наименьшая положительная координата, т. е. ве­ личина наименьшей из всех неотрицательных дуг, имею­ щих начало в точке А и конец в точке М.

Эта особенность числовой окружности весьма наглядно иллюстрируется следующим образом.

Возьмем числовую ось с начальной точкой А и единицей масштаба АЕ (рис. 9), проведем окружность радиусом R=AE—1, касающуюся оси в точке А. Представив себе числовую ось в виде тончайшей нерастяжимой нити, будем мысленно наматывать ее положительный луч на окруж­ ность против часовой стрелки.

Тогда отрезок оси от 0 до 2к обовьет как раз всю ок­ ружность, так как ее длина при 7?=1 равна 2тс. Точки этого отрезка совместятся с точками окружности и таким путем каждой точке окружности поставится в соответствие по одному числу z из промежутка 0<z<2k. Ясно, что точке М будет соответствовать такое число z~a, которым выражается радианная мера дуги AM.

Второй раз окружность обовьется той частью луча АЕ, на которой изображены числа от 2-гс до 4к, при этом каж-

20

дой точке окружности поставится в соответствие еще по одному числу, большему на 2л приписанного при первом обороте. В частности, точке М припишется число а-|-2л.

Третий раз окружность обовьется той частью луча АЕ, на которой изображены числа от 4л до 6л и каждой точке окружности поставится в соответствие еще одно число, большее на число 2л приписанного в предыдущий раз. Точке

Мприпишется число а-]-2л-3.

Продолжая мысленно процесс наматывания луча АЕ

бесконечно, мы поставим в соответствие каждой точке М окружности бесконечное множество положительных чисел вида:

Zi — а + 2л-л (п = 0, 1,2,.. .),

где а—радианная мера наименьшей из положительных дуг AM, имеющих начало в точке А и конец в точке М.

Далее проведем мысленно такой же процесс «навивания» на окружность отрицательного луча числовой оси по часо­ вой стрелке. При этом каждой точке окружности припи­ шется еще бесконечное множество отрицательных чисел, выражающих радианные меры отрицательных дуг с нача­ лом в точке А и концом М. Очевидно, точке М припишутся при этом числа:

которые можно записать одной формулой:

zn — а + 2л (— т) (т = 1, 2, 3,. . .).

В результате таких операций все точки числовой оси совместятся с точками окружности так, что каждой точке М этой окружности будет поставлено в соответствие бес­ конечное множество чисел вида

z = а + 2л& (k = 0, ± 1, ± 2,. ..),

где а—радианная мера наименьшей из неотрицательных дуг с началом А и концом М. К такому же выводу мы при­ шли выше иным путем.

К установленному нами соответствию между точками окружно­ сти и точками числовой оси можно прийти и другим путем. А именно,

21

представим себе мысленно, что окружность, изображенная на ри­ сунке 9, катится по числовой оси без скольжения «вправо» и при этом на ней «отпечатываются» точки оси вместе с изображенными в них числами.

Так как длина окружности равна 2л (7?=1), то первый оборот окружность сделает на отрезке оси от 0 до 2л, второй оборот на отрезке от 2л до 4л, третий—на отрезке от 4л до 6л и т. д.

При первом обороте точки окружности вступят во взаимно однозначное соответствие с числами промежутка [0; 2л), при втором обороте те же точки вступят во взаимно однозначное соответствие с числами промежутка [2л; 4л), при третьем обороте с числами про­ межутка [4л; 6л) и т. д.

Таким образом, после п оборотов окружности каждой ее точке будет поставлено в соответствие п различных действительных чисел из промежутков [0; 2п), [2л; 4л), [4л; 6л), .... [2(л—1)л, 2ял), причем, если при первом обороте какая-нибудь точка М окружно­ сти вступит в соответствие с числом а, то при втором обороте ей поставится в соответствие второе число а+2л, при третьем обороте— третье число а+2л-2, при четвертом обороте—четвертое число а+2л-3 и т. д. Все эти числа можно записать одной формулой

а4-2л-л, где п=0, 1, 2, 3........

Повторив мысленно такой же процесс качения окружности «влево» от точки 0, мы поставим в соответствие каждой ее точке бесконечное множество чисел вида

а+2л-й,

где k=0, —1, —2, —3, ...

На первый взгляд может показаться весьма неудобным установленный нами вид соответствия между действитель­ ными числами и точками окружности, однако в дальней­ шем вы увидите, что именно такое соответствие делает числовую окружность эффективным средством при изу­ чении круговых функций, к которым мы теперь и пере­ ходим.

Примечание. В дальнейшем при определении и изучении круговых функций мы всегда будем иметь дело с числовой окруж­ ностью, радиус которой принят за единицу, отнесенной к осям пря­ моугольных координат, так что ее центр совпадает с началом коор­ динат, а начальная точка А лежит на положительном луче оси аб­ сцисс (см. рис. 13, стр. 28). Поэтому ради краткости, говоря о ч и с- ловой окружности, будем всегда иметь в виду, что она отнесена указанным здесь способом к осям координат.

Упражнения.

бесконечную арифметическую прогрессию.

22

Сколько таких точек будет на числовой окружности и сколько на оси?

2. Укажите на числовой оси и на числовой окружности точки, соответствующие числам:

z=nk и z1=-g-(2ft-|-l) (^=0, ±1, ±2,...).

Написать все круговые координаты точки М.

5. Зная, что—1,5 есть одна из круговых координат точки М на числовой окружности, найти все круговые координаты этой точки.

числовой окружности), если ее координату г: а) увеличить на а;

л

б) уменьшить на а (а=1, 2, у, л, 4л).

8. Найти геометрическое место точек на числовой оси (на чис­ ловой окружности), соответствующих тем числам г, которые удов­ летворяют неравенству

если ее координата г изменяется непрерывно:

а) от 0 до л; б) от 0 до—у;в)от0 до—40л; г) оту до л;

д) от ~2 до 0; е) от —у до у?

10. Найти круговые координаты точек, в которых числовая окружность пересекается с осями координат.

11. Найти круговые координаты точек, в которых числовая окружность пересекается биссектрисами координатных углов.

23

Рассмотрим, какое положение относительно оси Ох з а­ нимают точки числовой окружности M(z) и М'(—z).

Оказывается, эти точки симметричны относительно оси Ох.

Действительно, разделим г на 2щ получим:

г — 2т.k Д а, где 0<|а|<2к(*).

Числа z и а изображаются, как известно, на числовой окружности одной точкой; обозначим ее через М (рис. 10).

Умножив обе части равенства (*) на — 1, получим

— z = — 2лй + (—а).

Как видим, числа—z и—а также изображаются на ок­ ружности одной точкой; обозначим ее через М'. Проведем

Действительно, дуги AM=z радиан и АМ'=г4-т ради­ ан отличаются полуокружностью, следовательно, они окан­ чиваются в точках диаметрально противоположных, т. е. симметричных относительно центра числовой окружности

(рис. 11).

Найдем условие, которому удовлетворяют числа, соот­ ветствующие точкам первой четверти числовой окружности.

Точками первой четверти числовой окружности изобра­ жаются числа г,удовлетворяющие условию;

24

Действительно, обозначим через а наименьшую коорди­ нату произвольной точки первой четверти окружности, тогда будем иметь:

Прибавив к каждой части этого соотношения по 2тс/г получим

2nk < а 4- 2~k < у +

Но если а—наименьшая координата некоторой точки, то

г=а-\-2к1г (при &=0,±1,±2,...) выражает любую координату этой точки, следовательно, соотношение (**) есть искомое.

Найдите условия, которым удовлетворяют числа, соот­ ветствующие:

2 И. К.. Андронов и А. К. Окунев

ГЛАВА И

Круговые функции действительного числа

§ 5. Простейшие периодические процессы

Каждому приходилось наблюдать за движением раз­ личных частей всевозможных машин и станков.

Характерной особенностью часто встречающихся дви­ жений является их повторяемость через один и тот же промежуток времени. Такие движения называют пери­ одическими1.

Клапаны парораспределительного механизма паровой машины периодически открываются и закрываются, пор­ шень машины, подобно маятнику часов, периодически по­ вторяет свое прямолинейное движение от одного своего крайнего положения к другому и обратно, маховик и колен­ чатый вал совершают повторяющиеся круговые движения

и т. д.

Но не только механические движения могут иметь перио­ дический характер. Таким свойством обладают многие световые, звуковые и электромагнитные явления, а также целый ряд явлений, наблюдаемых нами в самой природе (движение планет, смена дня и ночи, смена времен года, приливы и отливы на морях и т. п.) и в организме человека (работа сердца и кровообращения).

Периодические процессы и явления изучаются физика­ ми, механиками, астрономами, математиками и другими учеными. Закономерности тех или иных периодических

1 Более подробное и точное определение периодических про­ цессов будет дано далее, в главе IV, § 15.

26

явлений ученые записывают в виде функций, а затем, ис­ следуя эти функции, раскрывают внутреннее содержание таких явлений и указывают пути практического использо­ вания их на благо человека.

Рассмотрим более подробно какой-нибудь из периоди­ ческих процессов, встречающихся в технической практике.

нейное. На принципе рабо­ ты такого механизма уст­ роено много машин и стан­ ков. На рисунке 12 изоб­ ражена его схема.

Насаженное на ось О колесо К соединено посред­ ством «пальца» М с рамкой

соединить посредством штока Е с какой-нибудь деталью (например, с поршнем насоса), то последняя будет совер­ шать такое же движение, которое делает рамка.

Для выяснения закона движения рамки построим оси координат, как это сделано на рисунке, причем за единицу измерения примем ради простоты радиус колеса /?. Наблю­ дение начнем с того момента, когда палец М находится на оси абсцисс в точке А.

Пусть колесо вращается равномерно против часовой стрелки, делая в 1 сек. полный оборот, тогда угловая ско­ рость вращения о>=2тг рад/сек и, следовательно, палец М опишет за t сек. дугу Д7И=2тс1 радиан. За первую чет­ верть секунды палец М опишет первую четверть окружно­

положение АА'. Далее палец М описывает третью четверть окружности, а рамка N скользит «вниз» до крайнего ниж­ него положения В'. В следующую четверть секунды палец М опишет последнюю четверть окружности и возвратится в свое исходное положение А и рамка N также придет в свое первоначальное положение АА'. Таким образом, в течение первой секунды палец М опишет полную окруж­ ность, а рамка N совершит полное колебание, пройдя дваж­

ды расстояние между своими крайними положениями В и В'. Далее процесс движения рамки будет периодически повторяться через каждую секунду.

Понятно, что в каждый момент времени t расстояние рам­ ки от оси абсцисс будет равно расстоянию пальца М от этой оси, т. е. ординате точки М. Это обстоятельство показывает, что закон движения рамки тот же, что и закон изменения ординаты точки М, совершающей равномерное движение по окружности радиуса /?, при условии, что эта окружность отнесена к прямоугольным осям координат так, как пока­ зано на схеме механизма (рис. 12). Припоминая, что таким именно путем связана с осями координат числовая окруж­ ность (глава 1, §4), можно считать, что точка М движется по числовой окружности, описывая ее в течение 1 секунды

(рис. 13).

Обозначим через М' проекцию точки М на ось Оу (т. е.

28