книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

arcsin (2x2+1)—arcsin (—0,8)«—0,93, следовательно, x2=—0,9 также не будет корнем уравнения.

Итак, уравнение не имеет решений.

Убедимся в этом иначе, т. е. графическим решением уравнения. Действительно, на рисунке 135 мы видим, что графики функций у=2 arcsin х и y=arcsin (2x4-1) не пере­ секаются.

Пример 3. 2 arcsin х—arcsin у=0.

Решение. 2 arcsin х=arcsin^-;

sin (2 arcsin x)=sin (arcsiny);

2 sin (arcsin x) cos (arcsin x) = y;

2хУГ^х2= -J;

x (4 У1—x2—1)=0; Xi=0;

4УТ^хг = 1,

279

в одной точке О (0; 0).

Пример 4. 2 arc sin x=arc cos 2х.

Решение, cos (2 arcsin x)=cos (arccos 2x);

cos2 (arcsin x)—sin3 (arcsin x)=2x;

1—x2—x2—2x-, 2x24-2x—1=0;

I—1—/3-1

Так как------— >1,то число хг не может быть кор­

нем данного уравнения. Число xt=~о,366 является

корнем этого уравнения, так как косинусы дуг 2 arcsin xi и arccos 2xi равны, а сами дуги принадлежат промежутку (0; к), в котором не существует различных дуг, имеющих одинаковый косинус.

На рисунке 137 передано графическое решение данного уравнения.

Пример б. arctg x-|-arctg Зх=у.

Реш е н.ие.

arctg Зх =у— arctg л;

tg(arctg Зх) = tg [у — arctg х) ;

280

*+2 =0; 2х — xs = 0; л(2 — л2) = 0;

откуда Хх = 0, л2 =1^2, xs = —]/2.

2 sin (x—2-Jcosy = cosy; sin (x —yj =y;

x = у + (—l)”y + vn.

В соответствии с определением арксинуса должны вы­ полняться два условия:

1)|х- 1 |<у;

2)| cos-y — sinxjCl.

282

| cosy—sin (у+у) К 1> следовательно, х=у+у—реше­

ние данного уравнения.

Упражнения.

I.Решить следующие уравнения:

1)2 arcsin (х3—Зх+З)=тс;

2)arctg (2х—1) =у— 2arctgy;

3)(arcsin х)2+2,5 arccos x= 1,25л—1;

4)arctg у x—l=arctg (3—x);

o)arcsin-----— arcsin У1 —x=-rr;

6)arcsin (x—1) + 2 arc tgy = arc cos(l — x);

7)arc ctg(3 + cos x) + arctg (4 — cos x)=—.

2.He выполняя построение графиков, найти координаты общих

X

точек кривых: у= arccosy и у--2 arctg (х—-1).

3. Найти точки, в которых график функции у—х—arcsin (sin х) пересекает ось абсцисс. Надо ли строить для этого график функ­ ции?

§ 53. Простейшие системы тригонометрических уравнений

Системами тригонометрических уравнений принято на­ зывать такие системы уравнений, которые составлены либо только из тригонометрических уравнений, либо из тригоно­ метрических и алгебраических уравнений.

Примеры. l)(sin (х-\-у—1)=0,6

{2х—Зу=4;

2)(sin x-j-cos 2у=а (sin 2%4-cos y=b‘

3)( sin x-f-3 cos у—2 tg г=5 ■! X +2y +2=1

!z/—3x=0.

Системы тригонометрических уравнений так же, как

исистемы алгебраических уравнений, бывают:

1)совместные, т. е. имеющие решения, и

2)несовместные, т. е. не имеющие решений. Так, например, система уравнений

несовместная, так как она решений не имеет; действитель­ но, подставив значение у=2 в первое уравнение, получаем:

sin x-f-cos 2=1

или

sin х—0,416~ 1,

откуда sin х»1,416>1, чего быть не может ни при каком значении х.

Совместные системы уравнений бывают:

1)определенные, т. е. имеющие конечное множество классов решений, и

2)неопределенные, т. е. имеющие бесконечное множе­ ство классов решений.

Так, например, рассмотренная выше система уравнений

(1) является определенной потому, что она имеет только два класса решений:

284

2. Системы, содержащие только тригонометрические уравнения.

Понятно, что решение тригонометрических систем урав­ нений представляет еще большие трудности, чем решение тригонометрических уравнений. Мы ограничимся здесь рассмотрением лишь самых простых систем, встречающихся в различных приложениях тригонометрии.

а) Решение простейших систем I вида с двумя неизвестными, состоящих из двух уравнений: тригонометрического и алгебраического

|Т(х, у) = 0 (тригонометрическое уравнение) (/(х, у) — 0 (алгебраическое уравнение).

Такая система может быть сведена к тригонометрическо­ му уравнению с одним неизвестным, если удастся выра­ зить в явном виде из алгебраического уравнения одно неизвестное через другое.

В самом деле, пусть из уравнения f (х, у)—0 мы нашли у=<? (х); тогда, подставив это выражение в первое урав­ нение, получим тригонометрическое уравнение с одним неизвестным:

В алгебре такой прием решения систем уравнений на­ зывают обычно способом подстановки.

Решим этим способом систему уравнений

[sin x-f-cos у= 1 I

с которой мы уже встречались выше.

Из второго уравнения выражаем у через х:

п

и подставляя в первое уравнение, будем иметь: sin х +cos(у—х) = 1,

286

или

2 sin х—1,

откуда

sinx=y, х=(—1)п-£+тт,

Xj—-g—f-rc-2£ Хг = —g—1)

Z/i=y —Х1=у—Я-2А i/a= ~x2=^—iv(2&+ 1)

(k — целое).

Получили два класса решений данной системы. Некоторые системы тригонометрических уравнений I ви­

да удается сводить к алгебраическим системам путем тож­ дественных преобразований тригонометрического уравне­ ния на основе различных формул тригонометрии.

Покажем это на конкретных примерах.

Пример 1. (cos x-|-cos у—а | х+у=Ь.

Решение. Преобразуем в произведение левую часть первого уравнения:

п х+у х—у

2 cos —y cos -у2-=а.

Используя второе уравнение х-\-у=Ь, получим экви­ валентную систему:

2cos ^cos^=^=a

x+y=b.

В зависимости от параметров а и b возможны различные случаи.

1) Если cosy=#0, т. е. 6#=ir(2A+l) и

2cos

то имеем:

28?

откуда

х—у— ± 2arccos—^-y+4ir£

2cosy

,х4-г/=6;

получили алгебраическую систему уравнений, из которой сложением и вычитанием находим общее решение данной системы:

Ь , а . о ,

х ==у ± arccos----- |-2лА

2cosTj-

У = 4- Т arccos——2nk (k — целое число).

2cos-2"

а

2) Если Ь >1, а также если />=к(2&4-1), но а=#0,

2cos-g-

то система не имеет решений.

3) Если b — v(2k4-1) и а=0, то система неопределенна, т. е. имеет бесконечное множество классов решений. В этом случае одному из неизвестных, например, х можно давать любые значения, а другое при этом будет получать соот­ ветствующие значения, удовлетворяющие второму уравне­ нию системы, т. е. у=Ь—х=к (2&+1)—х. Таким образом, общий вид всех решений будет следующий:

(х — произвольное число

[у =1г(2Л4-1)—х, где k — целое число.

Аналогичным путем проводится решение и исследование следующих систем (что рекомендуется сделать читателю):

нения в сумму (39,а), получим:

•|-[sin (x-4-y)-|-sin (х—у) |=а

х-\-у=Ь

288