сектора AMBO = |
=у^?2х; |
площадь треугольника |
ЛОВ=у/?-7фз1пх == yV?2 sinx, |
площадь сегмента АМВ=^1?х—~7?2sinx =-|р2(х—sinx).
Рис. 127.
2) По условию задачи площадь сегмента А МВ состав
ляет 4- площади круга, следовательно,
□
sinx) = ^r.R2,
|
с. |
о |
короче: |
|
2 |
х — sinx = ук, |
ИЛИ |
2 |
|
х------- — sin X. |
|
и |
|
II. Решение |
уравнения |
графическим |
приемом: |
1) Переходим от уравнения к |
системе: |
|
Рис. 128. |
|
|
2 |
|
|
1/=Х—g-it |
y=sinx.
2
2) Выполняем построение графиков функций: у—х—-х-к
О
иt/=sin х (рис. 129).
3)Находим абсциссу точки пересечения графиков хя»2,6; это число и будет приближенным значением корня уравнения.
4) С помощью таблиц пробами уточняем полученное значение корня, имеем у==2,60.
III.Построение:
1)На данной окружности возьмем произвольную точку
Аи соединим ее с центром О радиусом ОА (рис. 128).
2)С помощью радианного транспортира 1* строим цент ральные углы АОВ=АОС=2,60 радиан.
3)Проводим хорды АВ и АС.
3. Также графическим методом решаются и такие транс цендентные уравнения, в которых над неизвестным, помимо тригонометрических операций, совершаются и другие не алгебраические операции.
В качестве примера решим следующее уравнение такого типа;
cos 2х—1g х=0.
1 Если имеется транспортир только с градусной шкалой, то предварительно по таблице выразить угол х в градусной мере
Запишем его так:
cos 2x=lg х,
а затем заменим системой уравнений:
(y=cos 2х \y=lgx
Выполнив построение графиков функций z/=cos 2х и t/=lgx (рис. 130), находят абсциссы их общих точек: Xi~0,85, х2~2,6, х3~3,6, х4яа5,9, х5~6,6, хв~9,3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения. |
|
|
|
|
|
|
1. |
Решить |
графическим |
методом |
(приближенно) |
уравнения! |
|
a), sin 2х=х2; |
|
|
|
|
|
|
б) x+cos х=1. |
|
|
|
|
X |
2. |
Определить |
|
|
|
|
|
число корней уравнения: sin Зх=—. |
3. |
Определить |
число |
положительных |
корней |
уравнения |
xcosx=l в |
промежутке |
[0; |
10п ] и |
найти |
приближенное значе |
ние наименьшего |
из этих |
корней. |
|
|
|
|
§ 52. Уравнения, |
образованные |
аркфункциями |
Если в уравнении неизвестное содержится только под знаками аркфункций, то говорят, что это уравнение обра зовано аркфункциями.
На практике такие уравнения встречаются весьма редко, но при исследовании некоторых видов функций с ними иногда приходится иметь дело.
Рассмотрим приемы решения важнейших типов таких уравнений.
I. Уравнения простейшего вида: агсГ (ax-}-fe)=c, где агсТ — характеристика любой из
шести аркфункций.
1) arc sin (ax-\-b)—c, где |с|
Решение. Берем от каждой части синус; получаем:
sin [arcsin (ax-\-b)] =sin с,
или на основе известного тождества (47):
ax-\-b—sin с,
откуда
sin с—Ь
В частности, при а=2, Ь~ у и с=1,2 имеем:
arc sin(2?c -фу) = 1,2,
_1_
sinl,2~ 2 |
0,932-0,500 |
ПО1С |
X = -------g------- -----------2-------- |
® 0,216. |
На рисунке 131 дано графическое решение этого урав нения: число xs=0,216~0,2 есть абсцисса точки пересече
ния графиков: y=arcsin (2х -f-у) и £/=1,2.
2) arc cos (ax-\-b)—c,
где 0<с<л.
Решение. Берем от каждой части косинус, по лучаем:
cos [arc cos (ах-(-6)]—cose,
или на основе известного тождества (50)
ax-j-b—cos с,
В |
частном случае |
при а — |
b =—у и с=2 имеем: |
arccosfyX — у) = 2, |
х = — |
2 ~ ~°’4^6 + 0’5 ~о, 168. |
На |
рисунке 132 |
передано |
графическое решение этого |
уравнения: число xs»0,168^0,17 есть абсцисса точки пере
сечения графиков: £/=arc cos (ух— у) и £/=2.
3) arctg (ах+ Ь)^с, где |с[<у.
Решение, tg [arc tg (ax+b) l = tg с,
или |
ax4-6 = tgc, |
[тождество 531 |
откуда
х = tgc — Ъ
|
|
а |
|
В частном случае |
при |
а=1,5, 6=4 и с—1 имеем: |
arctg(l,5x + 4) = 1; |
х = |
1 ,0 |
« -1’588~4 «-1,63. |
|
|
1,0 |
На рисунке 133 передано графическое решение данного уравнения: число х«—1,63«—1,6 есть абсцисса точки
пересечения кривой |
y=arctg (1,5х+4) и прямой |
у=1. |
II. Уравнения вида: f [arc Т (ах-)-6)]=0, |
где |
f — характеристика |
алгебраических действий, выполняе |
мых над одной и той же аркфункцией.
19 И. К. Андронов и А. К. Окунев |
273 |
Такие уравнения сводятся к простейшим подстановкой
arc Т (ах-}-Ь)=у |
и |
решением |
получающегося |
алгебраиче |
ского |
уравнения |
/ (t/)=0. |
|
|
|
Пример, arctg2 |
(3x41)4-4 arctg (Зх-}-1) -|-3=0. |
1. |
Вносим замену: |
arctg (Зх-(-!)—у, получаем: |
|
|
|
|
у2-Му 4-3=0, |
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
У\,2=—2±]/4—3=—2±1; yi——1, г/а=—3. |
Так как |arctg (Зх41)|<у = 1,57 .... |
то пригоден только |
один корень: r/i=—1. |
|
замену |
|
|
2. |
Производим |
обратную |
|
|
|
|
|
arctg (3x4-1)=—1 |
|
|
и решаем полученное уравнение: |
|
|
tg [arctg (Зх 4-1)] = tg (—1); |
3x4-1——1,558; |
—0,853. |
III. |
Уравнения |
вида: |
/[arcsin (ах4-6), |
arccos (ах 4-6) ]=0 |
и |
/[arctg (ах4-6), |
arcctg (ах-|-6)]=0, |
где / — характеристика алгебраических действий над ука занными аркфункциями, сводятся к предыдущему типу на основе тождеств (58) и (59), позволяющих одну из арк-
функций йыражать через другую, не изменяя аргумента.
Пример 1. 6 (arccos х)24-14 arcsin х 4-4—7^=0.
На основании тождества (58) выразим арксинус через арккосинус:
arcsin х=у—arccos х,
получим уравнение предыдущего вида:
3 (arccos х)2—7 arccos х-|-2=0.
Вносим замену: arccos х~у, получаем квадратное урав нение
Зу2—71/4-2=0, |
|
откуда |
|
|
7±V49 — 24 |
о |
1 |
У1.2 —----- q------ > |
У1 — 2; |
у2 — у. |
Совершаем обратную замену:
(arccos х) 1=2 и (arccos х)г=-|-,
откуда
Xi= cos 2»—0,4161,
xa=cos4-~0,9449.
Пример 2. р arctg (ах-]-6) 4-7 arcctg (ax-(-b)—c.
Выражаем арккотангенс через арктангенс (59):
arcctg (ах 4-6)=у— arctg (ах4-6),
получаем:
р arctg(ax 4- 6) 4- д[у — arctg (ах4-6)] = с
или
(р — <?)arctg(ax 4- 6) = с — q^,
откуда
arctg(ax + b) = если p^q.
Взяв от каждой части тангенс, |
находим: |
|
|
. , |
. |
2с — ~q |
1 |
. . 2с— ~q |
|
Ь |
ах 4- 6 |
= tg -к------- х |
= —tg |
----------- |
- — —. |
|
6 |
2(р — q) |
a 5 2,р—q) |
а |
IV. Уравнения, в |
которых |
|
выпол |
няются алгебраические операции над одной или несколькими аркфункциями с различными аргументами.
Решение таких уравнений связано с большими трудно стями, а иногда вообще невозможно аналитическим методом. Но в учебной литературе обычно даются только такие урав нения данного вида, которые легко сводятся к алгебраи ческим уравнениям взятием от левой и правой части какойлибо из круговых функций.
Следует, однако, заметить, что выполнение такой опера ции может привести к неэквивалентным уравнениям. В самом деле, пусть дано уравнение •
/(x)=g(x). (I)
Возьмем, например, синус от каждой части, |
получим |
новое уравнение |
(И) |
sin /(x)=sin g(x). |
Понятно, что всякий корень уравнения (I) будет также корнем уравнения (II), но обратное неверно. Действитель но, по теореме (§ 43, I) уравнение (II) можно заменить
следующим эквивалентным ему уравнением: |
|
f (х) =(—1)п g (х)+кп, где п=0, ±1, ±2..., |
(И7) |
однако всякое решение этого уравнения при п=#0 будет посторонним для уравнения (I).
Посторонние решения могут появиться иногда и потому, что в процессе некоторых тождественных преобразований расширяется множество допустимых значений для аргу мента.
Так, например, для уравнения |
|
arccos (2х2—x)=arccos (4х—2) |
(*) |
множество .допустимых значений аргумента х определяется условием
|2х2—х|<1 и |4х—2|С 1. |
(**) |
Возьмем косинус от каждой части уравнения (*), полу |
чим новое уравнение: |
|
2х2—х==4х—2. |
(* * *) |
Если это уравнение рассматривать вне связи с данным уравнением (*), то в нем множество допустимых значений для х ничем не ограничено.
Решив это уравнение, получим два корня xi=2 и хг =у,
но уравнению (*) удовлетворяет только один из этих корней х2 = -i; другой корень будет посторонним, так как он не
принадлежит множеству допустимых значений х:
|2Д—XjI = |2-4—2|> 1.
Итак, если в процессе решения уравнения выполнялась какая-нибудь тригонометрическая операция над обеими частями уравнения, то полученные решения следует про
верить подстановкой их в данное (исходное) уравнение с тем, чтобы обнаружить и отбросить посторонние корни.
Примечание. При аыполнении некоторых тригонометри ческих операций над обэими частями уравнения возможна и потеря корней, если при этом множество допустимых значений для аргу мента сужается.
Так, например, уравнение
х== к—х
к
имеет решение х—-^. Возьмем от каждой части этого уравнения тан
генс, получим:
tgx=tg (л—х);
это уравнение имеет бесконечное множество решений. Действительно, применив в правой части формулу приведения:
tg (л—х)=—tg х, имеем:
tg х=—tg х; 2tgx=0; |
tgx=O, откуда x=r.n. |
л |
Произошла потеря корня, так |
Но среди этих решений нет ту. |
л
как значениех=у не попало во множество допустимых значении
аргумента нового уравнения.
Остановимся на решении некоторых уравнений данного типа.
Пример 1. arcsin (2x-j-0,6)=arcsin (х+0,8).
Решение, sin [arcsin (2х +0,6)] =sin [arcsin (x +0,8)] 2x+0,6=x+0,8; x=0,2.
Пример 2. 2 arcsin x=arcsin (2x+l).
Решение, sin [2 arcsin x ]=sin [arcsin (2x+l)];
2 sin (arcsin x) cos (arcsin x)=2x+l; 2x V1—x2 =2x +1;
4x2(l—x2) = 4x2 + 4x +1; x4 +x +y = 0.
Действительные корни этого уравнения можно найти графически. Для этого перепишем уравнение так:
х‘=-Х—L 4
Заменим его системой уравнений:
У=х\
1
(/=—х-т.
Построив графики функций y=xi и у——х—|-(рис. 134),
находим абсциссы их общих точек: xt~—0,25; х2~—0,9.
Проверяем корни подстановкой их в данное уравнение:
1) 2 arcsin Xi =—2 arcsin 0,25=»—2-0,25=—0,5<0;
arcsin (2х1-ф1)=arcsin 0,5=»0,5>0, следовательно, Xi=—0,25 не является корнем уравнения.2
2) 2 arcsin г2=»—2 arcsin 0,9==—2-1,1 =—2,2;
