книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Возьмем теперь более сложные функции:

1)2/=aotgn(b+/)+a1tg'!-i(fex4-/)H-. ..+a«-itg(ftx-t-Z) +art;

2)«/=&otgm(£x-|-Z)4-b1tgm—itg(fex-|-Z;4~Om,

где n>m,

и поставим прежний вопрос: при каких значениях х эти функции принимают равные значения?

Для ответа на вопрос составляем уравнение:

aotg” (^x+/)+a1tg«-i (ftx4-Z)4-...+a„_1tg (foc+Z)+<z„=

=&0'gm (Ax+Z)--|-61tg’«—1 (^x4-Z)H-...+&m—j tg (kx-\-l)-\-bm.

После переноса всех членов в левую часть и приведения подоб­ ных членов получаем снова уравнение IV типа:

cotg« (fex+Z)+citg«-i (kx+l)+ ... H-c„-itg (kx+ l)+cn=0,

но более сложное, чем рассмотренные ранее. Заменой tg (&x+Z)=z это уравнение сводится к алгебраическому уравнению n-й степени:

c0z'!+ciZ«^i+c2z«-2+... +сп-1г+с,1 =0.

Допустим, что мы решили это уравнение и из всех его корней отобрали действительные корни гх, г2, ... гр, тогда обратная замена приведет нас к уравнениям I типа:

Решая их, получаем искомые значения неизвестных:

кхг+1= arctg zi+лп, откуда хр= у [arctg гг+ т—1 ];

1 Ax2+Z=arctgz2+^n, откуда x2=-^[arctgz2-|-Kn -..

1 fexp-)-Z=arctgZp+-n, откуда xp=-^[arctg гР-^~п~/].

Аналогично решаются и другие уравнения IV типа. Понятно, что разрешимость таких уравнений зависит

229

только от того, сумеем ли мы или нет решить те алгебраические уравнения, к которым они сводятся. Имея в виду читателя, владеющего лишь элементарной алгеброй,

левой части уравнений IV типа

Уравнение типа

fAT^a^x + bi)]-f2[T2(a2x + />2)]- ■ •fk[T'k(akx + ^й)1 — 0

сводится непосредственно к уравнениям IV типа.

В самом деле, произведение равняется нулю в том и только в том случае, когда по крайней мере один из сомно­ жителей равен нулю, а другие сомножители не теряют при этом смысла. Приравнивая нулю каждый сомножитель левой части, получим k уравнений IV типа:

/1 [Т](арс —&i) ] = 0, f2 [Т2(а2х 4- W 1 = 0,..., fhlTk(akx4-

Предполагая, что алгебра дает средства для решения этих уравнений, находим их корни. Пусть действительными корнями оказались следующие значения аргументов:

21 = «!, а2,...а„;

~ Р1> р2’-"?т>

Х2,...лу.

230

Совершив обратную замену:

Т^арс + = аъ а2,...а„; Т2(а2х + Ь2) = i,

Остановимся на некоторых вопросах, приводящих к решению уравнений V типа.

1.Найти точки, в которых график функции

у— (4 -ф 7cos3x)(2 — 3sin22,v) [6 — sin(x 4- 1) —sin2(jc -(-1)]

пересекает ось абсцисс.

Вычерчивание графика отняло бы много времени, целе­ сообразнее искать ответ аналитическим методом.

Известно, что у каждой точки графика, лежащэй на оси абсцисс, ордината у равна 0, поэтому задача сводится к отысканию тех значений х, при которых функция у = О, т. е. к решению уравнения:

(4 4- 7 cos3x)(2 — 3sin2 2x) [6 — sin(x 4-1)—sin2(x 4- 1) ] =

Это уравнение V типа; решаем его, как указано выше:

1) 4 4-7 cos3x — 0;

2) 2 — 3 sin2 2х = 0; уравнения IV типа.

3)6 — sin(x 4-1) — sin2(x 4- 1) = 0 .

Производим замену cos х = zi, sin 2x=z2 и sin (х4-1) —

—7з, приходим к алгебраическим уравнениям:

1)4 4- 7гх3 = 0, 2) 2 — 3z22 = 0 и 3) 6 — z3 — z32 = 0.

Решаем каждое из этих уравнений:

231

Все найденные нами значения х являются корнями уравнения (*), так как каждое из этих значений обращает в нуль один из сомножителей левой части этого уравнения, а другие сомножители при этом значении х не теряют смысла; последнее мы не проверяем потому, что в данном уравнении все сомножители имеют смысл (определены) при всяком значении х.

Итак, мы нашли абсциссы искомых точек:

Хг яг ± 2,55 4- 2im,

х2,з ~ ± 0,4776(— 1)л 4-у"«> где п = 0, ± 1, ± 2,...,

следовательно, можно построить и сами точки; их будет бесконечное множество.

2. Может ли функция у = tgy(l 4-cos х) принимать

нулевые значения?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо решить уравнение:

Это уравнение V типа; оно распадается на два уравне­ ния:

2 32

Из первого уравнения получаем ~ ■— т, или Xi = 2тси.

Из второго: cos х = —1, откуда хч = тс -|- 2тсп.

Можно ли быть уверенным, что все решения уравнений (**) будут решениями данного уравнения(*)? Нет, так как один из сомножителей левой части уравнения есть

при всяком значении х, следовательно, Xi = 2т — решение данного уравнения (*);

Посмотрим, не будет ли это предельное (несобственное) решение?

значения при х = 2 т (п — произвольное целое число); а если х стремится к тс -|- 2тсл, то она также стремится к О,

так как lim tgy (I ф- cos x) == О

х->(тс -j- 2тсп)

Упражнения.

Решить следующие уравнения:

I)tg х ctg 2х sin 3x=0; I—cos x

3)2sin (I—x) cos (I—x)=cos (I—x).

233

§ 47. Тригонометрические уравнения VI типа f[sin (ax+b), cos(ax+b), tg (ax+b),ctg (ях-|-Ь),

sec(ax+b), csc(ax+b)] = 0, где выполняются алгебраические действия над несколькими круговыми функциями одного аргумента

а) Решим следующую задачу:

Профиль дорожной насыпи имеет форму равнобочной трапеции, у которой боковые стороны равны меньшему основанию, а высота вдвое меньше большего основания.

Определить углы этого профиля.

1.Составление уравнения

1.Допустим, задача решена — возьмем произвольный рисунок равнобочной трапеции ABCD (рис. 117).

2.Обозначим через х угол профиля при большем осно-

Получили уравнение VI типа с двумя круговыми функ­ циями от одного и того же аргумента.

2. Решение уравнения через сведение к одной функции одного аргумента

1.Выражаем синус через косинус по формуле (26): ±]Л1 — cos2x — cos х =

2.Уединяем радикал и возводим в квадрат:

234

1 — cos2x = cos2x 4- cosx 4- -j,

или 8 cos2 x 4- 4cos x — 3 = 0 (уравнение IV типа).

3. Вносим замену: cosx = z, получаем алгебраическое уравнение

8zs + 4z — 3 = О,

0,4114; z2« —0,9114.

4.Обратная замена дает уравнения I типа: cos Xj « 0,4114 и cos х2 я» —0,9114,

откуда Xi « ±65°40' 4- 360° п;

х2 ±114°20' +360° п.

5. Совершаем проверку, так как при решении уравне­ ния возвышали в квадрат.

1) sin хх — cos xr = sin(±65°40') — cos(±65°40') ~ ±

0,500 = 1

±0,911—0,411 =

—1,322 #=!

Следовательно, числа (—65°40' 4-360°n) не удовлет­ воряют уравнению.

2) sin x2—cos x2=sin (±114°20')—cos (±114°20') ~

1,322 #=!

±0,911 4-0,411 =

-0,5 =# !■

Следовательно, уравнению удовлетворяют только числа

(65°40' -|-360о-л).

6. По смыслу задачи угол х острый, поэтому из всех корней уравнения надо взять только х~66° — частное ре­ шение уравнения.

Полученное в задаче уравнение VI типа мы свели к уравнению IV типа с помощью формул, выражающих зави­ симость между круговыми функциями. Такое сведение возможно для всякого уравнения VI типа.

235

В самом деле, пусть дано уравнение VI типа в общем виде:

f [sin (ах b), cos (ах 4- b), tg (ах 4- b), ctg (ах -]-Ь ), sec (ах 4- b), esc (ах 4- Ь) ] =0.

Ради краткости записи внесем обозначение: ax-\-b=z, получим:

/(sinz, cosz, tgz, ctgz, secz, cscz)=0.

Выражаем все функции через одну, например, sin г, имеем:

короче:

F (sin г)=0,

где F также характеристика алгебраических действий, со­ вершаемых в уравнении над sin z, но она, вообще говоря, выражает более сложные операции, чем прежняя характе­ ристика /. Так, например, в уравнении

1 А sin х — cos х — у=0

характеристика / выражает только последовательное вы­ полнение двух операций вычитания, тогда как новая харак­ теристика F в преобразованном уравнении

±У1—COS2 Z — COS X---- = 0,

кроме прежних действий, выражает вычитание под корнем с последующим извлечением корня, который берется к то­ му же с двумя знаками.

Необходимо отметить, что хотя указанный способ сведе­ ния уравнений VI типа к IV типу применим всегда, поль­ зоваться им в большинстве случаев невыгодно, так как получающееся при этом уравнение оказывается, как пра­ вило, очень громоздким и многоиррациональным. Поэтому

236

на практике в тех случаях, когда Это возможно, исполь­ зуют другие приемы решения таких уравнений.

Так, например, рассмотренное нами выше уравнение

1 sm х—cos x=y

можно решить следующим образом:

sin x — sin(y — x) = y;

2cos у sin(x — -J) = 1;

В поисках таких частных приемов полезно выделение из VI типа уравнений некоторых подтипов, которые ради краткости будем обозначать через VIb VI2, VI3 и т. д.

б) К подтипу VI, отнесем уравнения вида:

нальных алгебраических операций над указанными круго­ выми функциями одного аргумента.

Такие уравнения сводятся к рациональным алгебраическим уравнениям с помощью подстановки: tg-|=y.

В самом деле, используя соответствующие формулы, будем иметь:

237

ные операции, а потому его можно записать короче так:

Z?i(y)=O,

где через Rt обозначена характеристика всех рациональных операций, производимых в уравнении над у.

238