Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

.pdf
Скачиваний:
67
Добавлен:
30.10.2023
Размер:
14.53 Mб
Скачать

^0,20 + 26л и 5О/2+Г® sa — 0,20 + (2k + 1) л, так как arcsin 0,20 ~ 0,20 (по таблице).

Окончательно имеем: /1 ~ —0,016 +0,04 Ал,

/2 ~ —0,024+0,02(26 + 1+,

где k— любое целое число. На рисунке 113 корни это­ го уравнения являются аб­ сциссами точек пересечения графиков функций:

I = 10 sin(50 t + 1) и I = 2,0

х — у[(—l)"arcsiny +

+ т.п — с ]; его \ ожно разбить на два класса ре­ шений:

Xi = у [(—1 )2* arcsin у +

+ 26л — с],

хи = у[(— 1 )2*+1arcsin 4 +

+ (2А+ 1)л - с),

или

Xi = y[arcsin у+ 26л— с],

1 . . d ,

хп = у[—arcsin у +

+ (26+1)л-с].

На рисунке 112 передан графический прием решения данного уравнения при

а = 2,Ь = 2, с=0 и d = 1.

II

Силы переменных токов, протекающих в двух провод­ никах, выражаются соот­ ветственно функциями

/1

=

10 sin 50

t и

/2

=

20 sin 50(/

+ 0.0314).

Пусть дано уравнение в об­ щем виде:

atg(bx + с) = d.

Последовательно решаем его:

1) tg(6x +с) = у.

Определить моменты

вре­

2)

По формуле (52, а) имеем:

мени

/,

в которые силы

то­

,

,

а

ков

в

обоих

проводниках

Ьх

+ с = arctg

— + т.п,

откуда находим общее ре­

принимают равные значения.

Решение.

Записы­

шение данн то

уравнения

ваем условие задачи урав­ нением:

10 sin 50 t =

= 20 sin 50(/ 4- 0,0314), или

sin 50/ 2 sin (50 t + у).

I , , d

х = ylarctg у + т.п — с],

состоящее из одного класса решений.

На рисунке 114 передан графический прием решения

14

219

По формуле сведения получим sin 50/ ~

^2 cos 50 t; или tg 50/ ~ 2,

откуда, по формуле (52, а), 50 t ~ arctg 2 + т.п ~ «1,11 +т.п.

Следовательно, t

0,022 -|-

4-0,02 тп, где п целое.

данного уравнения при ус­ ловии, когда а = 1; b = 2;

с = 0 и d = 1, т. е. tg 2х = 1.

Корнями уравнения служат абсциссы общих точек гра­ фиков: у = tg 2х и у = 1.

220

Ill

Представляем самому читателю решить уравнение:

a ctg(bx + с) = d.

В результате отметим, что уравнения

a tg(^* + с) — d и actg(ta + с) — d

всегда имеют по одному классу решений, а уравнения a sin(6x 4- с) = d и a coslbx + с) = d

|d| .

разрешимы при условии, если — < 1, причем дают по два класса решений.

Упражнения.

1.Решить следующие уравнения;

а) 5 cos ('у—1) + 3=0;

б) ctg^3x—у)+3=0.

2

2. В каких точках график функции у—1 + 2 cos[-g-^(x—1) ]

пересекает ось Ох?

З.Дана функция f(x)=sin x+cos ^х—-g-j . Найти:

а)

период этой функции;

б)

значения

аргумента, обращающие функцию в нуль;

в)

значения

аргумента, при которых функция принимает

наибольшее значение.

Указание. Предварительно преобразовать сумму в про­ изведение (§ 28).

4.Дана функция/(x)=sin х sin (х+<?). Доказать, что эта функ­

ция периодическая, найти ее период и определить те значения аргу­ мента х, при которых функция принимает наибольшее и наимень­ шее значение.

Указание. Предварительно преобразовать произведение синусов в сумму (§ 28).

5. По проводнику идет переменный ток силой /=0,3 sin (50/+1) ампер. Определить моменты времени t, когда:

а) сила тока достигает максимума? б) сила тока равна 0,1?

6. Шар скатывается по наклонной плоскости в 125 м длиной

и приобретает в конце движения скорость 42 м!сек

Как

велик

угол

наклона плоскости?

 

 

7.

Две точки А и В удалены друг от друга на

15 см;

перед

ними находится плоское зеркало на расстоянии 5 см от А и 7 см от В. Как велик угол падения луча, идущего от А и отброшенного зеркалом в направлении к 5?

221

§ 43. Тригонометрические уравнения II основного типа

Т(ах-\-Ь) = Т(аАх+Ьх),

где левые и правые части суть

 

одноименные круговые

функции

 

Решение уравнений данного типа основано на следую­

щих теоремах:

равенства sinzz = sinu

необходи­

1.

Для выполнения

мо и достаточно, чтобы

и = v 4-ir-2zz,

или

и = —v -j-

+ п(2н + 1).

равенства

cosu

= cosu необхо­

II.

Для выполнения

димо и достаточно, чтобы

и = v 4- 2к/г, или и = —v 4-2zzz.

III.Для выполнения любого из равенств:

tg и = tgp И ctg и = ctgp

необходимо и достаточно, чтобы и = p-f-nn и чтобы числа и и v были допустимыми значениями аргументов тех функ­ ций. которые входят в данное равенство.

Параметр п во всех случаях является произвольным целым числом.

Доказательство I.

а)

Необходимость

условия.

Пусть sin и — sin v,

 

 

 

тогда

 

 

sin и — sin v = О

 

или

2 sin

cos

“ v-= 0,

[формула (41)]

а это возможно в том случае, если

 

 

.

и — v

п

и 4- о

п

 

sin—2— = О или

cos —£— = 0.

Первое из этих равенств дает:

 

 

u~v = Tzn, и

и — v = 2кп,

откуда

и = 'p-|---2zi;

второе дает:

 

 

 

 

“ + ° =у(2н-|-1),

и

и 4- v = ~(2п + 1), откуда «=—иД-

+ я(2п + 1).

 

 

 

 

б)

Достаточность

условия.

Пусть и = v -|-к - 2п,

222

тогда sin// = sin(u Дл-2/г) = sin о.

Пусть и = —v 4- те(2лг1), тогда

sin и = sin [— v Д тс(2

п Д 1) ]

= sin(— v г л)

= sin v.

В обоих случаях получаем:

sinu = sin и.

 

Доказательство II.

условия. Пусть cos и=

а)

Необходимость

= cos v, тогда cos и —•

cos v = О,

 

 

или — 2 sin

^i^-sin

 

= 0,

[по формуле (43)]

а это возможно в том случае, когда

 

 

 

 

.

U -J- V

=

г\

• и — V

л

 

 

 

sin_.,T-.

0 или

sin—Z— =0.

 

Первое из этих равенств дает:

 

 

u + v = пп,

и

и Д v = 2л/г,

откуда

ц = — оД 2 л/г;

второе равенство дает:

 

 

 

 

 

ц~- = тгп,

и

и — v = 2л/г,

откуда

и = v + 2~п.

б)

Достаточность

условия.

Пусть

и = . ± v Д ъ2п, тогда

cos и = cos(± v Д 2 л/г) =

= cos(±o) = cos v, т.

е.

cos и = cos v.

 

 

Доказательство III.

 

 

а)

Необходимость

условия.

Пусть

tg и = tg v,

 

 

 

 

 

тогда

 

 

tg и — tg v = 0,

 

 

Но это возможно в том случае, если sin (и — в) = 0 и,

следовательно,

и — v — кп, откуда и = v Д л/г.

б)

Достаточность

условия.

Пусть и и

v — допустимые значения для аргумента тангенса, причем и — v Д л/г, тогда

 

tgu = tg(o Д л/г) = tgo,

т. е.

tg и = tg и.

223

Вторую часть этой теоремы (для котангенсов) рекомен­ дуется доказать самому читателю.

Применим данные теоремы на решении уравнений типа:

Т(ах 4- Ь) — T(atx Ц- ftj).

1.

Решаем

уравнение: sin(ax 4- b)

sin(aix

 

По теореме 1

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

ах —|— b —— (а^х -J- ^i) 4-

 

* 2/z,

 

 

и

ах -I- b = — (aix 4- bi)

4- tt(2n 4- 1)>

 

 

откуда Xi =

 

 

если а — а± =4=

0;

 

 

 

*п = -------- А-Н-2—если а 4- а.1

0.

 

 

 

 

и, -j- щ

 

 

 

2

Решаем

уравнение: cos(ax 4* b)

= cos^x 4~ ^i)-

 

По теореме

II имеем:

 

 

 

 

 

 

'

ах 4- b = ± (ар; 4- b i) 4- 2ящ,

 

 

откуда: Xi

2m 4- b, — b

 

 

, n

 

= —4^4—если

 

 

 

 

*n

2~n — (b\ + b)

.

n

 

 

 

= -----„ .

'

■>

если a + a±

=4=0.

 

 

 

 

Cl Д-

U|

 

 

 

3. Уравнения

tg(ax 4- b) = tgfax 4- b^

 

 

 

 

и ctg(ax 4- b) = ctgfajx 4- b^

 

рекомендуем решить читателю самостоятельно.

 

4.

Решим следующую задачу:

 

 

 

Две силы Р и Q приложены к материальной точке. Най­ ти угол между этими силами, если известно, что их равно­ действующая не изменится, если этот угол увеличить в два раза.

Дадим геометрическое изображение сил Р и Q и их

равнодействующей R (рис. 115). Искомый угол

(Р,

Q)

обозначим через х, тогда-4 £DС = х, так как CD

||

АВ.

Из прямоугольного треугольника АСЕ имеем:

 

 

АС2 = АЕ2 4- ЕС2.

 

 

Но АС = R, ЕС = £>C-sin х = Q-sin х,

 

 

АЕ — AD A-DE — Р 4-DC-cos х = Р 4- Q cos

х,

224

следовательно,

 

R2

— (Р 4- Q cos x)2 + Q2 sin2

x

или

R2

= P2 + Q2 4- 2PQ cos x

(*)

По условию равнодействующая сил Р и Q не изменится, если угол между ними увеличить в два раза, следовательно,

R2 = Р2 + Q2 4- 2PQcos 2х. (**)

Из соотношений^) и (**) получаем уравнение:

Р2 4- Q2 4- 2PQ cos х = Р2 4- Q2 4- 2PQ cos2x,

или cos х — cos 2х.

 

& Q

По теореме II имеем:

 

г

= ±х4-2тт,

у

/

откуда xi=2irn;

 

/х\

В частности, при п = 0 и 1, получаем ху = 0 и х2 —

т. е. Xi = 0° и х2 = 120°.

Упражнения.

1.Решить следующие уравнения:

1)cos 5% = cos (54-х);

2)tg (—3x-p2) = tg (х—1);

3)ctg т.х 4- ctg ~~=0-

2. Существуют ли общие точки у графиков функций #=tg х

и у= tg Зх?

§ 44. Тригонометрические уравнения III типа

T(ax+b) = Ts (aiX+bi), в которых левые и правые

части суть соименные круговые функции

Уравнения данного типа сводятся непосредственно ко

IIосновному типу по формулам приведения (18, § 19). Покажем это на конкретных примерах.

1.Пусть требуется решить уравнение:

sin(ax + b) = cos^x 4- Ьг).

225

Выразим синус через косинус по формуле приведения (19), получаем:

cos [ — (ах + Ь) ] = cos(atx 4- bi).

По теореме II предыдущего параграфа имеем:

у — (ах + Ь) = ± (агх + bi) -|- 2ад,

 

6+&1+2"/г—у

откуда

хх = —------> если «+«1=#0;

 

К

 

и—(-2т:/г—"2”

 

х2 = ----- ——------, если а±—а^О.

2. В

уравнении tg(ax 4- b) = с(§(агх 4- Ь^ выразим,

например, котангенс через тангенс по формуле приведения

(20):

tg(ax 4- b) = tg [ у — (агх 4- &х)];

откуда ах 4- b = у — (агх 4- bi) 4-

х =

пп—(64-61)4-

, если й4-<21¥=0.

 

a+a-i

Так как в уравнение входят функции тангенс и котан­ генс, которые не определены при некоторых значениях их аргументов, то следует исключить из множества полученных значений х такие значения, при которых теряет смысл хотя бы одна из частей уравнения, а именно значения х, удовлетворяющие условию

ах 4- b = у 4- кт, и <hx 4- Ьг — т,

где т — произвольное целое число.

3. Уравнение tg (ах 4- Ь) • tg (сх 4- d.) = 1 сводится так­ же к данному типу, а именно, заметив, что в данном случае ни один из множителей левой части не может быть нулем,

226.

разделим уравнение на один из них, получим tg(ax+&) —

= tg(2+3)’или tg(ax+= ctg(cx +

Упражнения.

1. Ргилть следую цие уравнения:

1)sin cos(24-x)=3;

2)tg (x+l)+ctg (2х—1)=0;

х

3)tgy tg х= 1.

2.Не выполняя построение графиков, найти координаты об­ щих точек кривых:

y=3cos (2х+1) и у=3 sin (Зх—1).

§ 45. Тригонометрические уравнения IV типа fyTfaxA-b)] =0, в которых совершаются алгебраические

операции только над одной круговой функцией с одним и тем же аргументом

Предварительно рассмотрим этот тип уравнений на част­ ных примерах.

Поставим следующие вопросы:

Могут ли принимать рав­ ные значения функции:

у = sin2x и у = sinx —

___I?

8 ■

Составляем тригономет­

рическое

уравнение:

. ,

=

3 .

1

Sin2X

-rSin

X-- g-.

 

 

 

4

8

Внесем

обозначение sinx =

= г,

 

получим

алгебраи­

ческое

 

уравнение:

г2-г2+4=0’

откуда

Могут ли принимать рав­ ные значения функции:

у = a sin2(Ax 4-0 4- -\-b sin(&x 4- /) 4- с

и у — aisin2(foc

4- /) 4-

4- 6, sin(£x 4~ 0

4- Ci?

Составляем тригонометри­ ческое уравнение:

asi/i2(fex 4- /) 4- Ь sin(£x ф- 4- I) 4- с = ал sin2(£x 4- 4- /) 4- sin(/cx 4- /) + ct,

или, после преобразования,

(а — at) sin24-(fex 4-Z) 4-

4- {b—Z>1)sin(to4-/) 4-(c—Ci) = = 0. Если a—a14=0,

227

Z1

1

1

2 ’ 2s

4 '

Обратная замена дает уравнения I основного типа:

sin л'1

1

.

х2 =

1

и sm

 

откуда по • формуле (46, а) получаем:

Xi = (-l)"-f + г.п,

х2 = (—l)"arcsin -|-

4- т,п (—1)" • 0,253 -4 таг.

Итак, мы нашли такие значения аргумента х, при которых данные функции принимают равные значе­ ния.

Графически (рис. 116) это выразилось в том, что

кривые у — sin2x и у —

3.1 Л

=Tsmx—5- имеют общие

4 о

точки с абсциссами лу и х2.

то заменой sin (kx

1) = z

данное уравнение сводится к квадратному алгебраиче­ скому уравнению:

— ci) а2 + (b — b>) z + + (с — Ci) = О,

откуда

21,2 =

61 — &±4(а—а, 'с—Ci)

2,а—а1)

Обозначим корни короче:

21 = Pi,

z2

= р2;

обрат­

ная замена дает уравнение I

основного

типа:

sin

sin(&x + I)

— pi и

(kx + /)

= р2.

 

Если pi и р2 — действи­ тельные числа, не превос­ ходящие по абсолютному значению 1, то по формуле (46, а) имеем:

kxi-\-l —(—l)narcsinpi-|-Kn, te+/=(—l)"arcsin p2 4-таг;

откуда

xi=-|-[(— l)"arcsin pi-\-im—

-/].

X2= ~ [(— l)"arcsin p2-(-~n—

-I].

При этих значениях аргу­ мента данные функции при­ нимают равные значения.

Рассмотренная задача привела нас к тригонометриче­ ским уравнениям IV типа, которые соответствующей заме­ ной свелись к квадратным алгебраическим уравнениям, а затем к уравнениям I основного типа.

228

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ