
книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей
.pdf^0,20 + 26л и 5О/2+Г® sa — 0,20 + (2k + 1) л, так как arcsin 0,20 ~ 0,20 (по таблице).
Окончательно имеем: /1 ~ —0,016 +0,04 Ал,
/2 ~ —0,024+0,02(26 + 1+,
где k— любое целое число. На рисунке 113 корни это го уравнения являются аб сциссами точек пересечения графиков функций:
I = 10 sin(50 t + 1) и I = 2,0
х — у[(—l)"arcsiny +
+ т.п — с ]; его \ ожно разбить на два класса ре шений:
Xi = у [(—1 )2* arcsin у +
+ 26л — с],
хи = у[(— 1 )2*+1arcsin 4 +
+ (2А+ 1)л - с),
или
Xi = y[arcsin у+ 26л— с],
1 . . d ,
хп = у[—arcsin у +
+ (26+1)л-с].
На рисунке 112 передан графический прием решения данного уравнения при
а = 2,Ь = 2, с=0 и d = 1.
II
Силы переменных токов, протекающих в двух провод никах, выражаются соот ветственно функциями
/1 |
= |
10 sin 50 |
t и |
/2 |
= |
20 sin 50(/ |
+ 0.0314). |
Пусть дано уравнение в об щем виде:
atg(bx + с) = d.
Последовательно решаем его:
1) tg(6x +с) = у.
Определить моменты |
вре |
2) |
По формуле (52, а) имеем: |
|||||
мени |
/, |
в которые силы |
то |
, |
, |
а |
||
ков |
в |
обоих |
проводниках |
Ьх |
+ с = arctg |
— + т.п, |
||
откуда находим общее ре |
||||||||
принимают равные значения. |
||||||||
Решение. |
Записы |
шение данн то |
уравнения |
ваем условие задачи урав нением:
10 sin 50 t =
= 20 sin 50(/ 4- 0,0314), или
sin 50/ 2 sin (50 t + у).
I , , d
х = ylarctg у + т.п — с],
состоящее из одного класса решений.
На рисунке 114 передан графический прием решения
14 |
219 |
По формуле сведения получим sin 50/ ~
^2 cos 50 t; или tg 50/ ~ 2,
откуда, по формуле (52, а), 50 t ~ arctg 2 + т.п ~ «1,11 +т.п.
Следовательно, t |
0,022 -|- |
4-0,02 тп, где п целое.
данного уравнения при ус ловии, когда а = 1; b = 2;
с = 0 и d = 1, т. е. tg 2х = 1.
Корнями уравнения служат абсциссы общих точек гра фиков: у = tg 2х и у = 1.
220
Ill
Представляем самому читателю решить уравнение:
a ctg(bx + с) = d.
В результате отметим, что уравнения
a tg(^* + с) — d и actg(ta + с) — d
всегда имеют по одному классу решений, а уравнения a sin(6x 4- с) = d и a coslbx + с) = d
|d| .
разрешимы при условии, если — < 1, причем дают по два класса решений.
Упражнения.
1.Решить следующие уравнения;
а) 5 cos ('у—1) + 3=0;
б) ctg^3x—у)+3=0.
2
2. В каких точках график функции у—1 + 2 cos[-g-^(x—1) ]
пересекает ось Ох?
З.Дана функция f(x)=sin x+cos ^х—-g-j . Найти:
а) |
период этой функции; |
|
б) |
значения |
аргумента, обращающие функцию в нуль; |
в) |
значения |
аргумента, при которых функция принимает |
наибольшее значение.
Указание. Предварительно преобразовать сумму в про изведение (§ 28).
4.Дана функция/(x)=sin х sin (х+<?). Доказать, что эта функ
ция периодическая, найти ее период и определить те значения аргу мента х, при которых функция принимает наибольшее и наимень шее значение.
Указание. Предварительно преобразовать произведение синусов в сумму (§ 28).
5. По проводнику идет переменный ток силой /=0,3 sin (50/+1) ампер. Определить моменты времени t, когда:
а) сила тока достигает максимума? б) сила тока равна 0,1?
6. Шар скатывается по наклонной плоскости в 125 м длиной
и приобретает в конце движения скорость 42 м!сек |
Как |
велик |
|
угол |
наклона плоскости? |
|
|
7. |
Две точки А и В удалены друг от друга на |
15 см; |
перед |
ними находится плоское зеркало на расстоянии 5 см от А и 7 см от В. Как велик угол падения луча, идущего от А и отброшенного зеркалом в направлении к 5?
221
§ 43. Тригонометрические уравнения II основного типа
Т(ах-\-Ь) = Т(аАх+Ьх), |
где левые и правые части суть |
||||
|
одноименные круговые |
функции |
|
||
Решение уравнений данного типа основано на следую |
|||||
щих теоремах: |
равенства sinzz = sinu |
необходи |
|||
1. |
Для выполнения |
||||
мо и достаточно, чтобы |
и = v 4-ir-2zz, |
или |
и = —v -j- |
||
+ п(2н + 1). |
равенства |
cosu |
= cosu необхо |
||
II. |
Для выполнения |
||||
димо и достаточно, чтобы |
и = v 4- 2к/г, или и = —v 4-2zzz. |
III.Для выполнения любого из равенств:
tg и = tgp И ctg и = ctgp
необходимо и достаточно, чтобы и = p-f-nn и чтобы числа и и v были допустимыми значениями аргументов тех функ ций. которые входят в данное равенство.
Параметр п во всех случаях является произвольным целым числом.
Доказательство I.
а) |
Необходимость |
условия. |
|||
Пусть sin и — sin v, |
|
|
|
||
тогда |
|
|
sin и — sin v = О |
|
|
или |
2 sin |
cos |
“ v-= 0, |
[формула (41)] |
|
а это возможно в том случае, если |
|
||||
|
. |
и — v |
п |
и 4- о |
п |
|
sin—2— = О или |
cos —£— = 0. |
|||
Первое из этих равенств дает: |
|
|
|||
u~v = Tzn, и |
и — v = 2кп, |
откуда |
и = 'p-|---2zi; |
||
второе дает: |
|
|
|
|
|
“ + ° =у(2н-|-1), |
и |
и 4- v = ~(2п + 1), откуда «=—иД- |
|||
+ я(2п + 1). |
|
|
|
|
|
б) |
Достаточность |
условия. |
Пусть и = v -|-к - 2п,
222
тогда sin// = sin(u Дл-2/г) = sin о.
Пусть и = —v 4- те(2лг1), тогда
sin и = sin [— v Д тс(2 |
п Д 1) ] |
= sin(— v г л) |
= sin v. |
|||||
В обоих случаях получаем: |
sinu = sin и. |
|
||||||
Доказательство II. |
условия. Пусть cos и= |
|||||||
а) |
Необходимость |
|||||||
= cos v, тогда cos и —• |
cos v = О, |
|
|
|||||
или — 2 sin |
^i^-sin |
|
= 0, |
[по формуле (43)] |
||||
а это возможно в том случае, когда |
|
|
||||||
|
|
. |
U -J- V |
= |
г\ |
• и — V |
л |
|
|
|
sin_.,T-. |
0 или |
sin—Z— =0. |
|
|||
Первое из этих равенств дает: |
|
|
||||||
u + v = пп, |
и |
и Д v = 2л/г, |
откуда |
ц = — оД 2 л/г; |
||||
второе равенство дает: |
|
|
|
|
|
|||
ц~- = тгп, |
и |
и — v = 2л/г, |
откуда |
и = v + 2~п. |
||||
б) |
Достаточность |
условия. |
Пусть |
|||||
и = . ± v Д ъ2п, тогда |
cos и = cos(± v Д 2 л/г) = |
|||||||
= cos(±o) = cos v, т. |
е. |
cos и = cos v. |
|
|
||||
Доказательство III. |
|
|
||||||
а) |
Необходимость |
условия. |
||||||
Пусть |
tg и = tg v, |
|
|
|
|
|
||
тогда |
|
|
tg и — tg v = 0, |
|
|
|||
Но это возможно в том случае, если sin (и — в) = 0 и, |
||||||||
следовательно, |
и — v — кп, откуда и = v Д л/г. |
|||||||
б) |
Достаточность |
условия. |
Пусть и и |
v — допустимые значения для аргумента тангенса, причем и — v Д л/г, тогда
|
tgu = tg(o Д л/г) = tgo, |
т. е. |
tg и = tg и. |
223
Вторую часть этой теоремы (для котангенсов) рекомен дуется доказать самому читателю.
Применим данные теоремы на решении уравнений типа:
Т(ах 4- Ь) — T(atx Ц- ftj).
1. |
Решаем |
уравнение: sin(ax 4- b) |
— sin(aix |
|
||||
По теореме 1 |
имеем: |
|
|
|
|
|
||
|
|
ах —|— b —— (а^х -J- ^i) 4- |
|
* 2/z, |
|
|||
|
и |
ах -I- b = — (aix 4- bi) |
4- tt(2n 4- 1)> |
|
||||
|
откуда Xi = |
|
|
если а — а± =4= |
0; |
|||
|
|
|
*п = -------- А-Н-2—если а 4- а.1 |
0. |
||||
|
|
|
|
и, -j- щ |
|
|
|
|
2 |
Решаем |
уравнение: cos(ax 4* b) |
= cos^x 4~ ^i)- |
|
||||
По теореме |
II имеем: |
|
|
|
|
|||
|
|
' |
ах 4- b = ± (ар; 4- b i) 4- 2ящ, |
|
||||
|
откуда: Xi |
2m 4- b, — b |
|
|
, n |
|||
|
= —4^4—если |
|
||||||
|
|
|
*n |
2~n — (b\ + b) |
. |
n |
||
|
|
|
= -----„ . |
' |
■> |
если a + a± |
=4=0. |
|
|
|
|
|
Cl Д- |
U| |
|
|
|
3. Уравнения |
tg(ax 4- b) = tgfax 4- b^ |
|
||||||
|
|
|
и ctg(ax 4- b) = ctgfajx 4- b^ |
|
||||
рекомендуем решить читателю самостоятельно. |
|
|||||||
4. |
Решим следующую задачу: |
|
|
|
Две силы Р и Q приложены к материальной точке. Най ти угол между этими силами, если известно, что их равно действующая не изменится, если этот угол увеличить в два раза.
Дадим геометрическое изображение сил Р и Q и их
равнодействующей R (рис. 115). Искомый угол |
(Р, |
Q) |
обозначим через х, тогда-4 £DС = х, так как CD |
|| |
АВ. |
Из прямоугольного треугольника АСЕ имеем: |
|
|
АС2 = АЕ2 4- ЕС2. |
|
|
Но АС = R, ЕС = £>C-sin х = Q-sin х, |
|
|
АЕ — AD A-DE — Р 4-DC-cos х = Р 4- Q cos |
х, |
224
следовательно,
|
R2 |
— (Р 4- Q cos x)2 + Q2 sin2 |
x |
или |
R2 |
= P2 + Q2 4- 2PQ cos x |
(*) |
По условию равнодействующая сил Р и Q не изменится, если угол между ними увеличить в два раза, следовательно,
R2 = Р2 + Q2 4- 2PQcos 2х. (**)
Из соотношений^) и (**) получаем уравнение:
Р2 4- Q2 4- 2PQ cos х = Р2 4- Q2 4- 2PQ cos2x,
или cos х — cos 2х. |
|
& Q |
По теореме II имеем: |
|
г |
2х = ±х4-2тт, |
у |
/ |
откуда xi=2irn; |
|
/х\ |
В частности, при п = 0 и 1, получаем ху = 0 и х2 —
т. е. Xi = 0° и х2 = 120°.
Упражнения.
1.Решить следующие уравнения:
1)cos 5% = cos (54-х);
2)tg (—3x-p2) = tg (х—1);
3)ctg т.х 4- ctg ~~=0-
2. Существуют ли общие точки у графиков функций #=tg х
и у= tg Зх?
§ 44. Тригонометрические уравнения III типа
T(ax+b) = Ts (aiX+bi), в которых левые и правые
части суть соименные круговые функции
Уравнения данного типа сводятся непосредственно ко
IIосновному типу по формулам приведения (18, § 19). Покажем это на конкретных примерах.
1.Пусть требуется решить уравнение:
sin(ax + b) = cos^x 4- Ьг).
225
Выразим синус через косинус по формуле приведения (19), получаем:
cos [ — (ах + Ь) ] = cos(atx 4- bi).
По теореме II предыдущего параграфа имеем:
у — (ах + Ь) = ± (агх + bi) -|- 2ад,
|
6+&1+2"/г—у |
откуда |
хх = —------> если «+«1=#0; |
|
К |
|
и—(-2т:/г—"2” |
|
х2 = ----- ——------, если а±—а^О. |
2. В |
уравнении tg(ax 4- b) = с(§(агх 4- Ь^ выразим, |
например, котангенс через тангенс по формуле приведения
(20):
tg(ax 4- b) = tg [ у — (агх 4- &х)];
откуда ах 4- b = у — (агх 4- bi) 4-
х = |
пп—(64-61)4- |
, если й4-<21¥=0. |
|
|
a+a-i |
Так как в уравнение входят функции тангенс и котан генс, которые не определены при некоторых значениях их аргументов, то следует исключить из множества полученных значений х такие значения, при которых теряет смысл хотя бы одна из частей уравнения, а именно значения х, удовлетворяющие условию
ах 4- b = у 4- кт, и <hx 4- Ьг — т,
где т — произвольное целое число.
3. Уравнение tg (ах 4- Ь) • tg (сх 4- d.) = 1 сводится так же к данному типу, а именно, заметив, что в данном случае ни один из множителей левой части не может быть нулем,
226.
разделим уравнение на один из них, получим tg(ax+&) —
= tg(2+3)’или tg(ax+= ctg(cx +
Упражнения.
1. Ргилть следую цие уравнения:
1)sin 2х —cos(24-x)=3;
2)tg (x+l)+ctg (2х—1)=0;
х
3)tgy tg х= 1.
2.Не выполняя построение графиков, найти координаты об щих точек кривых:
y=3cos (2х+1) и у=3 sin (Зх—1).
§ 45. Тригонометрические уравнения IV типа fyTfaxA-b)] =0, в которых совершаются алгебраические
операции только над одной круговой функцией с одним и тем же аргументом
Предварительно рассмотрим этот тип уравнений на част ных примерах.
Поставим следующие вопросы:
Могут ли принимать рав ные значения функции:
у = sin2x и у = sinx —
___I?
8 ■
Составляем тригономет
рическое |
уравнение: |
|||
. , |
= |
3 . |
1 |
|
Sin2X |
-rSin |
X-- g-. |
||
|
|
|
4 |
8 |
Внесем |
обозначение sinx = |
|||
= г, |
|
получим |
алгебраи |
|
ческое |
|
уравнение: |
г2-г2+4=0’
откуда
Могут ли принимать рав ные значения функции:
у = a sin2(Ax 4-0 4- -\-b sin(&x 4- /) 4- с
и у — aisin2(foc |
4- /) 4- |
4- 6, sin(£x 4~ 0 |
4- Ci? |
Составляем тригонометри ческое уравнение:
asi/i2(fex 4- /) 4- Ь sin(£x ф- 4- I) 4- с = ал sin2(£x 4- 4- /) 4- b± sin(/cx 4- /) + ct,
или, после преобразования,
(а — at) sin24-(fex 4-Z) 4-
4- {b—Z>1)sin(to4-/) 4-(c—Ci) = = 0. Если a—a14=0,
227
Z1 |
1 |
1 |
2 ’ 2s |
4 ' |
Обратная замена дает уравнения I основного типа:
sin л'1 |
1 |
. |
х2 = |
1 |
=у |
и sm |
|
откуда по • формуле (46, а) получаем:
Xi = (-l)"-f + г.п,
х2 = (—l)"arcsin -|-
4- т,п (—1)" • 0,253 -4 таг.
Итак, мы нашли такие значения аргумента х, при которых данные функции принимают равные значе ния.
Графически (рис. 116) это выразилось в том, что
кривые у — sin2x и у —
3.1 Л
=Tsmx—5- имеют общие
4 о
точки с абсциссами лу и х2.
то заменой sin (kx |
1) = z |
данное уравнение сводится к квадратному алгебраиче скому уравнению:
(а — ci) а2 + (b — b>) z + + (с — Ci) = О,
откуда
21,2 =
61 — &±4(а—а, 'с—Ci)
2,а—а1)
Обозначим корни короче:
21 = Pi, |
z2 |
= р2; |
обрат |
ная замена дает уравнение I |
|||
основного |
типа: |
sin |
|
sin(&x + I) |
— pi и |
||
(kx + /) |
= р2. |
|
Если pi и р2 — действи тельные числа, не превос ходящие по абсолютному значению 1, то по формуле (46, а) имеем:
kxi-\-l —(—l)narcsinpi-|-Kn, te+/=(—l)"arcsin p2 4-таг;
откуда
xi=-|-[(— l)"arcsin pi-\-im—
-/].
X2= ~ [(— l)"arcsin p2-(-~n—
-I].
При этих значениях аргу мента данные функции при нимают равные значения.
Рассмотренная задача привела нас к тригонометриче ским уравнениям IV типа, которые соответствующей заме ной свелись к квадратным алгебраическим уравнениям, а затем к уравнениям I основного типа.
228