книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

функцию:

arctg х+ arctg у (х>0, z/>0).

9.Проверить справедливость равенств:

1113

a)arctg-g-----g arcctgy=-g-n;

хп

б) arcsin x+arcctg УТ^х*~ 2’ при |Х| < 1.

10. Показать, что a+b+c—abc, если

arcctg—+arcctg-у + arcctgy=n.

11.Найти:

гс

12.Решить уравнения:

15 И. К. Андронов и А. К. Окунев

ГЛАВА IX

Уравнения и системы уравнений,

рассматриваемые в тригонометрии

§ 40. Тригонометрические уравнения и их решения

Уравнение называют тригонометрическим, если в нем: 1) неизвестные содержатся только под знаками круговых функций; 2) аргументами круговых функций являются линейные1 функции от неизвестных и 3) над круговыми функциями выполняются только алгебраи­ ческие операции.

Приведем примеры тригонометрических уравнений с одним и несколькими неизвестными:

cos2 х — 3 sin2x + 1,75 = 0; sin (2х — 1) = cos(3 ф- 7х); tg(ax -ф • ctg(cx ф- d) = 1.

tg(ax by + cz) = d\

210

Как известно, всякое нетождественное алгебраическое уравнение либо совсем не имеет решений, либо имеет их конечное множество.

Среди тригонометрических уравнений также встречают­ ся такие, у которых нет решений, например sinx=3. Но если тригонометрическое уравнение имеет решения, то их непременно бесконечное множество.

Рассмотрим, например, уравнение

Итак, данное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Формулу (—+ у п, содержащую все решения дан­

ного уравнения, называют общим решением. Если в общем решении давать параметру п конкретные целые значения, то будут получаться отдельные решения этого уравнения, которые принято называть частными решениями.

Так, например, положив п = 0, получим наименьшее положительное частное решение:

= (-D0-^ +-J • 0 =

при п = — 6 получим другое частное решение:

+ т<-б) = - 4”-

К тригонометрическим уравнениям применим также и графический прием решения уравнений, позволяющий находить приближенные значения корней с небольшой точностью. Поясним этот прием на рассмотренном уже нами уравнении:

1) Отмечаем, что уравнение

sin2x = у

представляет возможное равенство функций:

у = sin 2х и у = -j-.

2) Строим графики этих функций (рис. 112).

Рис. 112.

3) Находим абсциссы точек пересечения графиков у =

найденные выше аналитическим путем, а именно:

решения II класса при п = —1; 1 и 3: х = —и Т2~’

остальные решения на графике не показаны.

Несобственные корни уравнения

212

мы находим его корни, т. е. такие значения аргумента х, при кото­ рых функции f(x) и <?(х) принимают равные значения. Но при ис­ следовании некоторых вопросов представляют интерес и такие зна­ чения аргумента х, при которых функции f(x) и <р(х) (или одна из них) теряют смысл, т. е. не определены, но пределы этих функций существуют и равны между собой. Если при х=а теряет смысл хотя бы одна из функций, представляющих левую и правую части уравнения (1), но

но, число 0 есть предельный (несобственный) корень данного уравнения.

213

Некоторые виды тригонометрических уравнений также имеют предельные (несобственные) решения.

нение левая его часть обращается в выражение -тг» не имеющее смыс­

ся невозможностью найти общий метод их решений. Известно, что целые алгебраические уравнения по край­

ней мере со времен Декарта (1596 — 1650) классифици­ руются по степени уравнения; чем выше степень таких урав­ нений, тем сложнее взаимная связь неизвестного с коэффи­ циентами уравнения и тем труднее найти это неизвестное в зависимости от коэффициентов. Но уже дробные и иррацио­ нальные алгебраические уравнения не классифицируются по степени; тем более не классифицируются по степени транс­ цендентные уравнения и, в частности, тригонометрические. Далее мы убедимся, например, в том, что уравнение 2-й степени

a cos2x 4- b sinx -ф с=0

решается более просто, чем уравнение 1-й степени:

acosx 4- 6sin х -ф с=0.

В тригонометрии приходится создавать свою специфи­ ческую классификацию уравнений.

К первому основному типу отнесем тригонометрические уравнения вида:

214

Ко второму основному типу отнесем уравнения:

sin(ax 4- b) = sin(cx 4- d); cos{ax + b) = cos(ex + d)\ tg{ax+b) = tg(cx 4-d); ctg(ax + b) = ctg(cx 4- d),

или в общем виде: Т{ах 4- b) = Т{сх 4- d), где Т — знак любой из круговых функций.

Эти два типа уравнений мы назвали основными потому, что к ним будут сводиться в процессе решения всякие тригонометрические уравнения, решаемые элемен­ тарными методами.

Как будет далее показано, наиболее просто сводятся ко второму основному типу уравнения вида

sin(ax 4- b) = cos(cx 4- d);

tg{axb) = ctg(cx 4-d);

sec(ax 4- &) = csc(cx 4- d),

короче: T{ax 4-6) = Ts{cx +d), где Ts — знак круговой функции, соименной с функцией 7; такие уравнения мы относим к третьему (уже не основному) типу.

типа. В краткой записи они имеют вид:

f[T{ax 4-6) ] = О,

где знак f — характеристика алгебраических действий над одной и той же круговой функцией Т{ах -J- Ь) с аргу­ ментом ах 4- Ь.

Например:

5sin3(3 х 4- 1) 4- И sin2(3 х + 1) — 10 sin(3 х ф1) =0.

215

Пятый тип, сводимый к четвертому, образуют уравнения, левая часть которых есть произведение функций вида левой части уравнений IV типа, т. е.

f^T^x +6J] • /а[Г2(а2х + 6г)] • • • [Tk {ak'x + bk) ] = 0.

Например,

к1 9

(sin2 2х + -g-sin 2x+-jr) (cos3 Зх —g-cos Зх) [5 tg (4x—1) +

+ 17] = 0.

из предшествующих, образуют уравнения, в которых со­ вершаются какие-либо алгебраические действия над одной функцией, взятой от разных аргументов, что передадим короче в виде:

f[T(aAx +&i); Т(а2х + &2); Т(а5х + bs) 1 = 0.

Например, cos 2х -|-cos3x «= 0;

sin Зх -ф sin 2х — sin х = 0.

Восьмой тип уравнений, сводимых к одному из предшествующих, образуют уравнения, в которых со­ вершаются какие-либо алгебраические действия над не­ сколькими круговыми функциями, взятыми от различ­ ных аргументов, что короче запишем в виде:

216

классификация имеет недостаток, заключающийся в том, что всякое уравнение второго основного типа подходит также и под определение уравнения VII типа, а уравнение III типа можно отнести к уравнениям VIII типа. Но если иметь в виду нашу главную задачу — подыскание соот­ ветствующих методов решения тригонометрических урав­ нений,— то данная классификация является весьма удоб­ ной и целесообразной, в чем мы убедимся в дальнейшем.

§ 42. Тригонометрические уравнения I основного

типа:

АТ (ах-}-Ь)=с

Уравнения данного типа решаются непосредственно на основе следующих формул, установленных нами в предыду­ щей главе:

записана в более кратком виде, а именно:

при с = 1, z = -у ф- 2тг&

Действительно, при с — 1 формула (46,а) дает:

z = (—l)"arcsin 1 ф- ад = (—1)я -у ф- ад,

отсюда при четном п= 2k, z = у + тс-2& и при

нечетном п = 2k-\- 1, z = — у+тс(2&+1) = у + тс ■ 2 k.

Если же с = —1, то по формуле (46,а) имеем:

z = (—1)" arcsin (—1) 4- тсп = (—1)" (—+ тсп;

отсюда при четном n=2k, z = — ■— -j-n-2k, при нечет­ ном п = 2k — 1, z = у + тс(2& —1) = — у + тс-2k.

Такой же результат можно получить непосредственно по определению синуса на числовой окружности (стр. 30,

Аналогичными рассуждениями убеждаемся через формулу (49,а) и непосредственно на числовой окружности, что реше­

218