книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Пример, arcctg (—1) = * — arcctg 1 = л---- = ук.

Рекомендуем читателю убедиться в справедливости рассмотренных свойств arcctg х на числовой окружности.

Примечание. Ради краткости все обратные круговые функции называют обычно аркфункциями.

Упражнения.

1. Выразить все значения г с помощью обратных круговых

3.Найти: 1) без таблиц:

a) arcsin (“; б) arccos(—1); в) arctgO;

2)по таблицам:

a)arcsin 0,5340; б) arccos 0,2348;

4.Изобразить на числовой окружности и на графиках:

a) arcsin (—у) ; б) arccos (—у) ;в) arctg2; г) arcctg( — 1,5);

5.Представить z как функцию от у:

z

а) у — arcsin 3z; б) z/=2arccosy; в) у = 3arctg(z — 1);

г) У ~ 1 + arcctg Уг .

6.Найти наименьшее и наибольшее значения функций:

7.Проверить равенства:

/Г. a) arcsin 1 = 3arctg —у

199

ждать, 4To it=arcsin О?

9. Известно, что cos (—можно ли на этом основании

я1

записать, что —агссозту?

10. Построить графики следующих функций:

тельные числа, то с аркфункциями можно производить те же операции, что и с действительными числами, т. е. сложение, вычитание, умножение, деление, возвышение в степень, извлечение корня, логарифмирование и взятие круговых функций. Чтобы избежать трудности, возникаю­ щие при выполнении операций над многозначными функ­ циями, мы будем в дальнейшем рассматривать только главные значения аркфункций, сохраняя ради кратности

идля них общее название аркфункций.

Вэтом параграфе мы остановимся на операциях, свя­ занных с взятием круговых функций от аркфункций.

Простейшие случаи таких операций даны в самих опре­ делениях аркфункций, а именно:

sin(arcsin х) = х и cos(arccos х) = х

в промежутке — 1 < х < ф- 1, а также

tg(arctgx) = х и ctg(arcctgx) = х

при всех значениях х. .

С помощью этих тождеств и известных нам формул три­ гонометрии круговые функции от любых аркфункций легко приводятся к алгебраическим выражениям. Покажем это на нескольких примерах.

200

1. Используя формулу sin а = ±]Z 1 — cos2a и преды­ дущие равенства, находим:

sin (arccos х) = У1 — cos2 (arccos x) — У1 — x2.

Так как arccosx изменяется в промежутке от 0 до к, то sin(acrcosx) — число неотрицательное, а потому корень квадратный надо брать только с одним знаком -ф.

2.Аналогично находим:

cos (arcsin х) = У1 — sin2 (arcsin х) = ]/1 — х2.

Так как arcsin х изменяется в промежутке от — J до J

то cos(arcsin х) есть число неотрицательное, а потому надо брать квадратный корень только с положительным знаком:

3. Используя теорему сложения

cos(a + ) = cosacosS — sinasinp,

получим:

cos(arcsinx 4-arcsini/) = cos (arcsin x) cos(arcsin y) —

— sin(arcsin x) sin(arcsin у) = У1 — x2 ]/ 1 — y2 — xy.

4.Аналогично находим:

sin (2arcsin x) — 2sin (arcsin x) cos (arcsin x) = 2хУ 1 — x2;

cosy (arccos x) = ———.

5.Используем формулы приведения и другие, находим:

1 + sin (2 arccosa — 1,5 it) = I -ф sin (2 arccos a +y) =

= 1 f cos(2 arccos a). — 2 cos2(arccos a) = 2a2.

201

Примечание. Не следует удивляться тому, что при вы­ полнении над числом а двух взаимно обратных тригонометрических операций (например, взятие арксинуса, затем синуса) мы полу­

3)у/га^= а-, (j/a)n=a, где а>0 и корень имеет арифмети­

Tt

при — у < а < 2 •

§39. Простейшие зависимости между аркфункциями

1.Зависимости между аркфункциями одного и того же аргумента

ложим arcsin х = z, тогда по определению арксинуса имеем

sin г = х и —< г <у,

или

c°s(y ~ г) = х- и у > -—г >. «—у.

Прибавим к каждой части неравенства по у, получим:

4- arccos х,~ или у = arcsin х 4- arccos х.

202

В справедливости соотношения (58) можно убедиться

ина графике (рис. 111), а именно:

1)при х — ОА имеем:

arccos х = АВ 1 отрезки АВ и АВг — на- + arcsin х = ABJ_______ правленные________

arccos х + arcsin х = АВ 4- АВг — АВ — В±А = •= АВ -СВ = AC =-J;

2) при х = 0 имеем:

arccos х — OD

+arcsin х = 0;

arcsin х + arccos x = OD + О — OD = y

3) при x = ОЕ имеем: arccos x = EE

arcsin x = EE_______________________ ___

arccos x + arcsin x = EE + EE = EE + EG = EG =

Аналогично доказывается справедливость соотношения (59). Рекомендуем провести доказательство самостоятель­ но.

2. Выражение одной аркфункций через другую с измененным аргументом

Используя известные ал­ гебраические зависимости между круговыми функци­ ями, можно любую аркфункцию выразить через все ос­ тальные.

Покажем это на конкрет­ ных примерах.

1. Пусть требуется выра­ зить arcsin х через арктан­ генс.

Находим tg(arcsinx) =

X

{lx!-1),.

У1

203

Замечаем, что данное равенство допускает обращение,

аге сtg х = arc cos

]/1 + X2

arc tg x = arc sin —x

V 1 + X2

3. Несколько сложнее переход от аркфункции к другой аркфункции, если области их значений не совпадают.

Пусть, например, надо выразить arcsin х через аркко­ синус.

Находим

меняется от 0 до л, поэтому обращение равенства (*) при всяком х недопустимо.

Если же х < 0, то — х > 0; пользуясь свойством не­ четности арксинуса, получаем:

arcsin х — — arcsin (—х).

Теперь функция arcsin (—х) имеет положительный аргумент (—х), а потому к ней применима предшествующая формула

arcsin (—х) =- arccos ]/Т — (—х)2 = arccos ]/"1 — х2.

204

Итак, окончательно имеем:

Пример, arcsinf—= —arccos 1/"]_

=— arc cos KrL = —

2Ь

4.Пусть требуется выразить arccos х через арксинус.

Находим: sin (arccos х) = /1 — х2.

arc cos х—

,, ]/1 — X2

т:+arctg —------, при —Kx<0

и

205

3.Выражение суммы или разности архфункции через одну

аркфункцию

Иногда при исследовании функции и решении уравне­ ний бывает целесообразно заменить сумму или разность, двух аркфункций одной какой-либо аркфункцией. Пока­ жем на примерах, как это делается.

1. Пусть требуется сумму

выразить через одну аркфункцию, например через аркко­ синус.

Рассмотрим случаи, когда х и у одного знака:

1) х > 0 и у > 0.

Находим косинус суммы:

cos у = cos(arcsinx -j- arcsin у) = cos(arcsin.r)cos(arcsiny)—

2) Если х < 0 и у < 0, то —х > 0 и —у > 0.

arcsin х = —arcsin(—х)

arcsiny = —arcsin (—у),

откуда 7 = — [arcsin (—х) ф-arcsin (—у) ].

Применив формулу (**) к сумме аркфункций

206

arcsin (—x) 4- arcsin (—у), получим:

7 = — arccos IV1 — (—x)2 У1 — {—у}2 — (—x)(—у) 1 =

=— arccosfj/1 — х2У 1 — у2 — ху).

Итак, имеем:

' arccos(]/1—х2У 1—у2 — ху),

если х>0, у>0,

7 — arcsin arcsin у = —arccos ('К 1—х2У 1—у2— ху),

если х<0, у<0.

2 . Пусть требуется заменить разность двух аркфункций

7 = arctgx — arctgy

одной аркфункцией, например арктангенсом. Берем тангенс этой разности:

tgf = tg(arctgx—arctgy)=.

Допустим, что x > 0 и у > 0, тогда

0 < arctg х < у;

0 < arctg у < у,

Итак, при х > 0 и у > 0

arctgx—arctgy=arctg-~^-.

207

3.Показать на числовой окружности справедливость тождеств:

к

a)arcsin x+arccosx =-% (|х|<1);

б) sin(arccosx)=}/l—х2 (|x[<i).

4.Найти!

a)cos (arcsin 0,8); б) tg[ arcsin(—"g)]-

5.Вычислить, не пользуясь таблицами:

a)cos [arcsin I — yj-|-arcsin^];

3

6)tg (2arcsin-^-);

в) sin (yarcsinO^-cos^yarcsinO'.Sy,

6.Проверить справедливость соотношений:

a)tg (arcsinx) cos(arcsinx)=x (|x| < 1);

6)sin 2(arcsinx)=2x ]/l—x2 ([x| <1);

208