книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

число).

Пусть точка Р движется по оси Ох от А' к А, тогда точ­ ка М будет двигаться по верхней полуокружности А'ВА

что при*равномерном движении точки Р по оси Ох точка М будет совершать неравномерное движение по полуокруж­ ности А'ВА по закону -^-АМ = г = arccos х, что видно И на графике (рис. 106,6).

1§9

§ 86. Арктангенс — функция, обратная тангенсу

1. Функция, обратная y=tg х

При обращении функции у = tg х приходится также удовлетвориться условной записью

х = Arctg у,

так как с помощью алгебраических операций невозможно выразить х через у'. Эта запись означает, что х есть число (дуга), тангенс которого (которой) равен у, а читается так: х равен арктангенсу у.

Поменяем местами буквы х и у, получим следующую запись функции, обратной тангенсу:

у = Arctg х.

При такой записи буквой у выражается число, тангенс которого равен х, т. е.

tg у = х или tg(Arctg х) = х.

Итак, арктангенсом любого действительного числа х называют число (или дугу), тангенс которого (которой) равен х.

Функция у = Arctg х определена при любом действитель­ ном значении х, так как тангенс принимает всевозможные действительные значения.

2. График арктангенса и выделение главного значения

Так же как и тангенсоида, график у = Arctg х состоит из бесконечного множества отдельных ветвей. Любая прямая, перпендикулярная оси Ох, пересекает каждую из ветвей графика, следовательно, функция у — Arctg х -многознач­ ная; при любом значении х она принимает бесконечное мно­ жество значений: у0, yi, уг,...

В многозначности арктангенса можно убедиться и не­ посредственно на числовой окружности (рис. 108), только при этом удобнее пользоваться прежними обозначениями тангенса и его аргумента: у = tg z, тогда z = Arctgy.

Отложим на касательной отрезок АТ = у = с (на рис. 108,а) с > 0, на рис. 108,5 с < 0) и проведем прямую ОТ

190

Очевидно, все эти числа можно записать одной формулой:

z — Zo 4- л п, где/г = О, ±1, ±2,...

Итак, мы нашли бесконечное множество чисел z, танген­ сы которых равны с. Действительно, по определению тан­ генса для любого из чисел z, изображенных в точке М или М' имеем: tg z = AT = с, следовательно, по определению арктангенса можно записать:

z =■ Arctg с, т. е.

Arctg с — zo Для, где п = 0, ±1, ±2,... . (52)

Давая параметру п, значения 0, ±1, ±2...... будем полу­ чать всевозможные значения арктангенса:

Arctgc=zo, 2!04-л, Zo—л, 204-2л, z0—2л,...,

но только одно из этих значений Zo находится в промежутке (— F’ т) ’ его называют главным значе­

нием Arctg с и обозначают через arctg с (прежний знак, но с маленькой буквой а); через него выражаются по фор­ муле (52) все значения арктангенса. Положив в этой форму­ ле Zo = arctg с, будем иметь:

где п— произвольное целое число и—-^-<arctgc<-^-.

Найдем, например, значение функции Arctg х, при х =* = ]/3 .По формуле (52 а) имеем

Arctg ]/3 = arctg]/3 4- лп;

192

арктангенса пересекается перпендикуляром к оси Ох,

СМ4 .= 4 - 2т, = — 4* и т. д.

Оо

3.Функция y=arctgx и ее свойства

Мы установили выше, что при всяком значении х функ­ ция Arctg х принимает бесконечное множество значений,

главное значение Arctg х, то мы придем к однозначной функ­ ции, которую обозначают через arctg х и называют главным значением функции у = Arctg х.

Итак, даем определение:

arctg х есть такое число (или дуга) в промежутке (—4> 4)

Графиком функции у = arctg х будет служить та ветвь графика Arctg х (рис. 107), которая заключена между пря­

193

мыми, параллельными оси Ох и отсекающими на оси ординат отрезок [—y] (на рисунке эта ветвь выделена жир­

ной линией).

На графике можно обнаружить важные свойства функ­

Действительно:

1) любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, пе­ ресекает кривую у = arctg х только в одной точке;

Внечетности arctg х можно убедиться и другим путем.

Всамом деле, положим arc tg (—х) = у, тогда по определе­ нию имеем:

Умножим на —1 эти соотношения, получим:

ЯК J

-у>—У>~ у и х = —tgy

—у - arctg х, или у = —arctg х.

Итак,

arctg(—х) = — arctg х, (54)

т. е. arctg х есть нечетная функция.

Пример, arctg (—1) = — arctg 1 = —

В качестве упражнения рекомендуем читателям доказать установленные выше свойства arctg х непосредственно на

194

числовой окружности аналогично тому, как это мы делали для arcsin х и arccos х.

§37. Арккотангенс — функция, обратная котангенсу

1.Функция, обратная y=ctgx

Рассуждая так же, как и при обращении других круговых функций, приходим к равенству у = Arcctg х, выражаю­ щему обратную функцию для котангенса.

Определение, у — Arcctgx — есть функция, обратная котангенсу, эта функция принимает такие значения, ко-

•тангенс которых равен х, т. е. ctg у = х или ctg(Arcctgx) ==

= х.

Определена эта функция при всех значениях х, так как котангенс принимает всевозможные действительные зна­ чения.

2. График Арккотангенса и выделение главного значения Арккотангенса

График Arcctg х (как и других аркфункций) получаем отражением котангенсоиды у = ctg х относительно биссек­ трисы! и III координатных углов (рис. 109). Всякая прямая, параллельная оси Оу, пересекает этот график в бесконечном множестве точек А1о, Mlt Л12,..., ординаты которых у0, у1г у2,... являются значениями арккотангенса. Таким образом, арккотангенс, как и другие аркфункции, есть функция бесконечнозначная.

этом пользоваться прежними обозначениями котангенса и его аргумента: х = ctg z, тогда z — Arcctg х.

Отложим на касательной отрезок ВК = х — с (на рис. 110, а) с> 0, на рисунке 110, б) с < 0) и проведем прямую ОА до встречи с окружностью в точках М и М'. Найдем числа z, соответствующие точкам М и М'.

Пусть AM = г0 радиан — кратчайшая из дуг, окан­ чивающихся в точке М, тогда дуга AM' = (zo 4- л) радиан.

Ми М', а именно:

точке М соответствуют числа zo + 2 itk,

195

У.

2п

Рис. 110.

Все эти числа можно записать одной формулой:

z — zo + wi, где п = 0, ±1, ±2,...

Итак, мы нашли бесконечное множество чисел z, котангенсы которых равны с. Действительно, по определе­ нию тангенса для любого из чисел z, изображенных в точ­

получать всевозможные значения арккотангенса:

Arc ctg с — zo, zo + л, zo — к, zo -ф 2тс,...

Одно и только одно из этих значений zo находится в проме­ жутке (0; я); его называют главным значением Arcctg с и обозначают через arcctg с (прежний знак, но с ма­

генса выражаются через главное его значение.

3. Функция y=arcctg х и ее свойства

Мы установили, что функция Arcctg х бесконечнознач­ ная, но если при всяком значении х брать только главное значение Arcctg х, то мы придем к однозначной функции,

197

Которую обозначают через arcctg х и называют г л а в н ы м значением функции Arcctg х.

Итак, arcctg х есть такое число или дуга в промежутке (0; к), котангенс которого (которой) равен х;

Ясно, что все значения Arcctg х выражаются через главное значение формулой:

График arcctgx не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат, следователь­ но, эта функция не принадлежит к классу четных и нечет­

— х = ctg у и О < у

откуда х = — ctgy = ctg (я — у) и 0 <- — у<я.

Из равенства х = ctg (к — у) получаем:

я — у = arcctg х, т. е. г. = arcctg (— х) ф- arcctg х.

198