книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Давая параметру п значения 0, ±1, ±2,..., мы получим всевозможные значения арксинуса:

Л . . (г0, z0 ± 2те, 20±4-, г0±6тс,...

Arsine Ц_2о±к> _Zo±3^ _го±5-...

Только одно из этих значений z0 принадлежит проме­ жутку [—у; yj; его называют главным значением

Arcsin с и обозначают через arcsin с (прежний знак, но с малой буквой «а»); через него выражаются все остальные значения арксинуса формулой (46). Положив в этой формуле zo = arcsin с, получим:-

Пример. Найдем значения функции Arcsin х при х =—.

По формуле (46 а) имеем:

Arcsin (—у) = (—l)n arcsin(—ф- ад,

где arcsin(—у) = z0 — есть такое число из промежутка

[—-£], синус которого равен —у. Таким числом, оче­

видно, будет—поэтому получим:

Arcsin(-l) = (-1)«(—+ т.п = (-1)”+^ + т.п,

множество значений, из которых одно принадлежит проме­ жутку [—A; yj, и называется главным зна­

чением арксинуса.

Если при любом значении аргумента х брать только главное значение Arcsin х, т. е. то, которое принадлежит промежутку [—yj, то мы получим однозначную

функцию, Которую обозначают через arcsin х и называют главным значением функции Arcsin х.

Итак, arcsin х, где х любое число на отрезке [—1; -|-1 I, есть такое число {или дуга} в промежутке [—р + у],

синус которого {которой) равен х.

4.Основные свойства функции y=arcsinx

По определению —^<arcsinx<y .следовательно, взяв

будет графиком функции у = arcsin х.

Рассматривая этот график (на рисунке он выделен жир­

где п = 0, ±1, ±2, ±3,...

Так на рисунке 99 для значения х = ОС ~ 0,68 имеем:

СМ0 = (—l)°arcsin х +гс-0= 0,68

CMt = (—1)‘arcsin х 4- -• 1 ~— 0,68 4- 3,14 =

= 2.46 Arcsin х = СМ2 = —l-1arcsin х 4* к(—1)~—0,68 —3,14 =

=—3,82 СМ3 — {—l)2arcsinx 4- к-2 «0,684- 6,28 =6,96

и т. д.

180

2) Всякая прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от нее на расстоянии |с| < 1, пересекает кривую BiOB только в одной точке; это подтверждает наглядно однозна­ чность функции у = arcsin х. '

4) Симметрия кривой ВгОВ относительно начала коор­ динат свидетельствует о нечетности функции arcsin х, т. е.

Всправедливости этого можно убедиться также и на основании определения функции.

Всамом деле, положим arcsin (—х) = у, тогда по опре­ делению (47) имеем:

sin у = —х

Рассмотренные нами свойства arcsin х, можно установить и на числовой окружности (рис. 101,а) , но при этом удоб­ нее арксинус обозначить буквой г, а его аргумент — бук­ вой у, т. е. писать: z — arcsin у. По определению (47) эта

запись эквивалентна следующей: у= sinz, где---- yCz<-~.

Проследим, например, как изменяется радианная мера z дуги AM — при изменении у — ординаты точки М.

Пусть Q — проекция точки М на ось Оу и, следователь­ но, OQ — РМ = у.

Пока Q поднимается по оси у от В' до В, точка М опи­ сывает полуокружность В’АВ, а дуга AM изменяется от

181

—у до +у. А это значит, что с изменением у = 0Q

от — 1 до + 1 функция z = arcsin у возрастает от —до

+ -J. Нетрудно заметить, что равномерному движению точ­

ки Q на оси у соответствует на окружности неравномерное движение точки M(z) по закону: z = arcsin у. Это показано и на рисунке 101,5, где у изменяется равномерно от — 1 до

1, a z при этом изменяется неравномерно.

Еще проще на числовой окружности доказать нечет­ ность функции z — arcsin у.

Рекомендуем читателям сделать это самим.

5. Сравнение процессов, выражаемых функциями s=sln t и s== arc sin t

В § 5 и 21 мы рассматривали механизм, на котором происходило преобразование вращательного движения в прямолинейное, что схематически передавалось на рисун­ ке 12.

Именно: колесо вместе с пальцем М. вращалось, а рамка, увлекаемая пальцем М, двигалась прямолинейно взад и вперед, а вместе с ней прямолинейно двигался шток BE. Рассмотрим две закономерности наблюдаемого движения:

182

потом ускоренно, когда t

изменяется от у до

§35. Арккосинус—функция обратная косинусу

1.Функция обратная y=cosx

Из равенства у = cos х нельзя выразить переменную х в явном виде через у с помощью алгебраических операций, поэтому приходится так же, как и при обращении синуса удовлетворяться условной записью такого выражения

х — Arccos у,

18S

которую читают так: х равен арккосинусу у, или, подроб­ нее: х есть число, косинус которого равен у.

Поменяв местами буквы хну, получают запись функции, обратной косинусу:

у = Arccos х.

При такой записи буквой у выражается число, косинус которого равен х, т. е.

cos у=х , или cos(Arccos х) = х.

Итак, арккосинусом действительного числа х, принадле­ жащего промежутку [—1; +1 ], называют такое число (или дугу), косинус которого (которой) равен х.

2. График арккосинуса и выделение главного значения арккосинуса

В соответствии с теоремой о графиках прямой и обрат­ ной функций (§ 33) график функции у — Arccos х получает­ ся зеркальным отражением косинусоиды у = cos х отно­

ваются некоторые свойства функции у = Arccos х и прежде всего то, что эта функция многозначная.

В самом деле, возьмем на оси абсцисс какую-либо точ­

которых уо, У1, у2... будут значениями функции у = Arccos х при х = с, т. е.

Arccos с — уоЩ\, Уъ---

В многозначности функции, обратной косинусу, можно убедиться и непосредственно на числовой окружности (рис. 105). С этой целью вернемся к прежним обозначениям косинуса и его аргумента:

перпендикулярную оси Ох, до встречи ее с окружностью в

J84

Рис. 104.

12 И. К- Андропов и А. К. Окунев

точках М и М' [V] (на рис. 105,а) с>0, на рис. 105,6) с<0; если|с| = 1, то точки М и М' сольются [V]. Найдем числа г, соответствующие точкам М и М'.

все эти числа можно записать и одной формулой:

z = ± Zo + , где k = 0, ±1, ±2 ...

Итак, мы нашли бесконечное множество чисел z, ко­ синусы которых равны с. Действительно, по определению косинуса для всякого числа г, изображающегося в точке М или М'; имеем: cos z = ОР = с, следовательно, по опре­

нием Arccos с и обозначают через arccos с (прежний знак, но с малой буквой а) , через него выражаются все остальные значения арккосинуса формулой (49). Положив в этой формуле Zo = arccos с, будем иметь:

Пример. Найдем значения функции Arccos х при х —

_ _/2 2 •

186

По формуле (49 а) имеем!

3.Функция y=arccos х

Мы установили, что при всяком допустимом значении х функция Arccos х принимает бесконечное множество зна­

главное значение функции Arccos х, принадлежащее про­ межутку [0; тс ], то мы придем к однозначной функции, ко­ торую обозначают через arccos х и называют главным зна­ чением Arccos х.

Итак даем определение: '

arccos х, где х любое число на отрезке [—есть та­ кое число (или дуга) из промежутка [0; тс ], косинус которого (которой) равен х;

иначе:

0< arccos х< тс 1 cos(arccos х)~х J

4.Основные свойства функции yi=arccos х

1) Все значения функции Arccos х связаны с главным ее значением равенством:

делим на графике Arccosх ту дугу АА', которая и будет графиком функции у = arccos х. Рассматривая этот график (на рисунке он выделен жирной линией), замечаем, что

относительно оси Оу, ни относительно начала координат, а потому эта функция не принадлежит к классу четных и нечетных функций. Что же касается симметрии графика

arccos х относительно точки на оси Оу, то она подсказы­

Всамом деле, как легко видеть на графике (см. рис. 104 а) у точек М. и ЛГ с абсциссами х и —х ординаты arccos х

иarccos (—х) дают в сумме к.

Всправедливости этого свойства arccos х можно убедить­ ся и другим путем. Действительно, примем обозначение arccos (—х) = у, тогда по определению имеем:

—х = cos у и 0 < у < те,

Это свойство облегчает нахождение значения арккоси­ нуса для отрицательного аргумента.

188