книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

ГЛАВА VIII

Обратные круговые функции

§32. Понятие об обратной функции

кданной функции

Площадь круга в зависимости от его радиуса выражает­ ся функцией S = № или у = -х2 3,14 х2.

На графике этой функции (рис. 93) видим, что при равнорадиуса площадь круга возрастает неравномерно, а ускоренно.

Если из данной функции выразить радиус в зависимости от площади кру­ га, то получим новую функцию — г =

— или У=]/~^ «У 0,318 х

~ 0,564 У х, график которой изобра­ жен на рисунке 94.

Видим, что при равномерном увели­ чении площади круга радиус возраста­ ет неравномерно, а замедленно.

Функция г = уГназывается об­

ратной к функции s = -г2.

В практике приходится иметь дело с двумя взаимно обратными за­ дачами:

1) по! данным значениям аргумента^находить соответствующие зна­ чения функции;

170

2) по данным значениям функции находить соответствую­

в отыскании отрезков пути S, проходимых свободно падаю­ щим телом в данные промежутки времени I; в обратной задаче находят промежутки времени t, за которые тело может пройти данные отрезки пути S.

Понятно, что при решении обратной задачи приходится переменную t выражать через переменную S в явном виде:

ния ясен; переменные S и t меняются ролями.

В прямой задаче переменная S выражается через t, т. е. является функцией времени t; в обратной задаче перемен­ ная t определяется в зависимости от S, т. е. является функ­ цией пути 5.

Необходимость обращения функции вызывается потреб­ ностями практической деятельности людей. Так, например,

171

ратной функции выражена зависимость температуры t от высоты столбика ртути /г; именно такая зависимость имеется в виду, когда судят о температуре t по высоте стол­

большинства функций весьма сложна, а иногда и вообще не может быть передана конечным числом алгебраических действий.

С такой трудностью приходилось встречаться в курсе алгебры при обращении показательной функции у = 1СН; зависимость х от у в этом случае Джон Непер (1550 — 1617) вынужден был передать условным значком: х = 1g у. Такого рода трудности нам придется преодолеть и при об­ ращении круговых функций.

§ 33. Связь между графиками прямой и обратной функции

В математике принято обозначать аргумент прямой и обратной функции одной и той же буквой, обычно буквой х, а функцию, как прямую, так и обратную, буквой у. Это оказывается весьма удобным при построении графиков

шение у = F(x)..

J72

Рассмотрим обращение данных функций первым и вторым приемами

Получение обратной функции к данной:

Замечаем, что в обратных функциях совершаются опе­ рации, обратные тем операциям, которые осуществлялись над аргументом в прямых функциях.

При изучении функций, обратных к данным функциям, большую пользу оказывает следующая теорема.

Графики данной функции у — f(x) и обратной ей функ­ ции х = /(у) или у = F(x) симметричны относительно биссектрисы I u III координатных углов.

Доказательство.

1. Пусть точка Л4(х0, Уо) принадлежит графику функции

ники МОР и M-lOP-l равны (по гипотенузе и острому углу). Из равенства этих треугольников получаем:

OP = OPi и РМ — PiMlt или х0 = yi и у0 = хь

Подставляя найденные значения х0 и у0 в равенство (*), получаем Xi = /(yi).

173

выведенная нами связь справедлива для всего г. м. точек графиков прямой и ей обратной функции.

Доказанная теорема дает воз­ можность получать график об­ ратной функции зеркальным от­ ражением графика прямой функ­ ции относительно биссектрисы I—III координатного угла. Та­ ким зеркальным отражением по­ лучены на рисунке 96 графики прямых и обратных им функций, рассмотренных в начале этого параграфа.

Быстрое развитие естествознания требовало дальнейшего раз­ вития математического аппарата, в частности теории обратных круговых функций. Швейцарский математик Даниил Бернулли (1700—1782), являвшийся академиком Петербургской Академии наук, в 1729 году рассматривал обратную функцию относительно z/=sin х, а немного позднее, в 1736 году, Леонард Эйлер рассматри­ вает обратную функцию относительно i/=tgz; а дальше стали изучаться и остальные обратные круговые функции.

§34. Арксинус — функция обратная синусу

1.Функция, обратная y=sin г

Из определения синуса известно, что функцией у ~ sin г выражается ордината у той точки числовой окружности, которая соответствует данному числу z. Иначе говоря,

174

знаком sin z коротко передается совокупность двух сле­ дующих операций:

1)отыскание на числовой окружности точки М, соот­ ветствующей данному числу z (или построение дуги А Л4 = z радиан) (рис. 97);

2)определение ординаты этой точки РМ = у.

Найти функцию, обратную у = sin z, это значит вы­ разить z в зависимости от у; точнее: указать те операции, которые надо производить над данными значениями вели­ чины у, чтобы получать соответствующие им значения г. Нетрудно понять, что таких операций также две, а именно:

1) построение на оси Оу отрезка OQ = у (рис. 98) и проведение через точку Q прямой, параллельной оси Ох, до пересечения с окружностью в точках М и М';

2) определение чисел z, соответствующих на числовой окружности точкам М и М' (т. е. нахождение радианной меры дуг AM и AM').

Оказывается, совокупность этих двух операций (так же, как и первых двух, определяющих синус) невозможно передать с помощью алгебраических действий над числом у, поэтому ее обозначили особым знаком «Аге sin у», после чего функцию, обратную у — sin z, стали записывать ра­ венством z = Arcsin у, которое читается так: z равен арк­ синусу у.

Оперативный знак Arcsin при числе у образован из двух

175

sinus — означающее полухорду (MP == ~МК). Таким

образом, запись

z = Arc sin у

означает, что z есть дуга, синус которой равен у. Это вполне соответствует определению функции у = sin z, если ее аргу­ ментом считать дугу г. Если же аргументом синуса являет­ ся отвлеченное число z, то запись z = Arc sin у означает, что z есть такое число, синус которого равен числу у.

Обозначим аргументы синуса и арксинуса буквой х, а сами функции буквой у, будем иметь:

у— sin х (прямая функция);

у= Arc sin х (обратная функция).

Итак, у = Arcsin х есть функция обратная синусу; эта функция принимает такие значения, синус которых равен

х, т. е. sin у = х или sin (Arc sin х) = х.

Короче: арксинусом действительного числа х, при­ надлежащего промежутку [—1; ф-1 ], называют такое число (или дугу), синус которого (которой) равен х.

В этом определении указывается, что аргументу х в функции у — Arcsin х можно давать только такие значения, которые принимает синус, т. е. —при других значениях х эта функция не имеет смысла в области дей­ ствительных чисел.

2. График арксинуса и выделение главного значения арксинуса

На основании теоремы о графиках прямой и обратной функции (см. § 33) график функции у = Arcsinх можно получить зеркальным отражением синусоиды у = sin х относительно биссектрисы координатных углов I и III, как это сделано на рисунке 99.

На графике легко усматриваются некоторые свойства функции у = Arcsin х и прежде всего то, что эта функция многозначная (и даже имеет бесконечное множество значе­ ний).

В самом деле, возьмем на оси абсцисс какую-нибудь точку х = с и проведем через нее прямую, параллельную оси Оу. Если |с| < 1, то эта прямая пересечет график арк­ синуса в бесконечном множестве точек Mo, Mlt Л42,...,

176

а ординаты этих точек уо, yi, уг,... будут значениями функ­ ции у = Arc sin х при х = с, т. е.

Arc sin с = у0, уг, у2, у3...

В многозначности функции, обратной синусу, можно убе­ диться и непосредственно на числовой окружности. С этой целью примем прежние обозначения для синуса и его

Рис. 99.

аргумента: у = sin г, тогда обратная функция запишется равенством: z = Arc sin у. Положим, у ='с, где |с|< 1, и выполним на числовой окружности (рис. 100) те операции, которые обозначены знаком «Arcsin (/» (см. пункт 1 данного параграфа), а именно:

1) На оси Оу откладываем отрезок OQ = у = с (на рисунке 100,а с > 0, 100,6 с < 0) и проводим через точку Q прямую, параллельную оси Ох; эта прямая пересечет

окружность в точках М и М', так как ее расстояние от цент­ ра окружности не больше радиуса (7? = 1).

2) Определяем числа z, соответствующие точкам М и

М'.

точкам М и М', а именно:

все эти числа можно записывать одной формулой:

г=(—1)пг0 + ад, где п = 0, ±1, ±2, ±3,..,

точке М', то sin z = Р'М' = с; как видим, в обоих случаях sin z = с, следовательно, по определению арксинуса имеем:

178