книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

опустим на ось Ох перпендикуляр МР из точки М (рис. 82). Затем в точке А проведем касательную к окружности и на ней отметим точку Т, в которой она встречается с продол­ жением радиуса ОМ.

Рис. 83.

На графиках данных функций содержание доказанного

неравенства выражается в том, что в интервале (0;

все точки синусоиды расположены ниже биссектрисы коор­ динатного угла, а точки тангенсоиды расположены выше этой биссектрисы (рис. 83).

159

Так, взяв, например, х = 15®18', имеем право по этой теореме записать, что

sin 15°18' < arc 15°18' < tg 15°18'

и действительно из соответствующих таблиц книги Брадиса «Математические четырехзначные. таблицы» находим эти значения:

0,2639 < 0,2670 < 0,2736.

160

откуда х —< sin х, что и требовалось доказать.

Содержание неравенства ф) на графике (рис. 85) выра­

зилось в том, что в промежутке (0; у) точки прямой у = х

лежат выше синусоиды у = sin %,а точки кубической пара-

Xs

болы у = х —-у лежат ниже синусоиды.

Для значений х, близких к нулю, данная приближенная

десятичном знаке.

§ 30. Составление таблиц круговых функций

Допустим, требуется составить таблицу круговых функ­ ций с шагом в 1' (мы берем градусное измерение дуг, так как на практике оно более употребительно).

161

4 4

Округлив полученное значение синуса до 11-го знака, найдем

sin 1' » 0,00029088821

с 11-ми верными десятичными знаками.

Если по условию составления таблицы требуется еще большая точность, то следует начинать с вычисления радиан­ ной меры меньшей дуги, например, в Г' и находить sin 1". Вообще, уменьшая начальную дугу Xi, можно получить значение sinxi и всю таблицу круговых функций с какой угодно точностью.

Итак, получив значение sin 1', находим cos 1'.

162

далее sin 4' = sin (3' + 1') = sin 3'yos Г -|- cos 3'sin Г;

любых углов к углам от 0 до 45° , естественно, указанные вычисления нужно довести только до 45° х.

Примечание. Указанные вычисления можно даже до­ вести только до 30°, заметив, что синусы и косинусы углов от 30 до 45° удобно вычислять посредством следующих двух тождеств,- которые легко проверить.

sin (30°+a)^COS a—sin (30°—а); cos (30°+«)=cos (30°—а)—sin а.

Чтобы проверить точность составленной таким путем таблицы, находят значения круговых функций некоторых углов иным путем

таблиц используют в этих целях углы вида 45°и ЗО0-^, для ко­

торых круговые функции легко вычислить по формулам (36, а)

и (37,а).

уТ

Так, sin 45° = cos 45° = —<

составляют таблицы и для этих круговых функций.

1 Так составлялись таблицы синусов Иоганном Мюллером

(1436—1476) родом из деревни Regiomont во Франконии, почему его и называют Региомонтаном.

163

§31. Таблицы логарифмов круговых функции и их построение

Если в процессе решения задачи получили выражение

X—-L-irbi, значение которого надо наити при о = 25,34

и а = 32°12', то можно применить два приема вычисления: I — на основе таблиц круговых функций;

II—на основе таблиц логарифмов круговых функций.

I.1) 62 == 642,1 (табл, квадр.);

2)7гй2 ~ 2017 (табл, умнож.);

3)sin а » 0,5329 (табл, синусов);

4)тсб2 sin а яг 1075 (табл, умнож.);

5)cos"(а 4- 15°) ~ 0,6794 (табл, косинусов);

6)cos2 (а 4- 15°) я» 0,4615 (табл, квадр.);

7)~ (X, ~ 2328 (таблУмнож.)

II.1) 1g «= 0,4971 (лог. числ.)

2)1g 6 як 1,4038

3)21g b = 2,8076 (лог. числ.)

4)Ig sin а = 1, 7266 (лог. син.)

5)1g cos(<z 4-15°) як 1,8322

6)—• 2 1g cos (а 4- 15°) = — 1, 6644 (лог. кос.)

7)1g 3,3670 (сумма предшествующих логарифмов)

8).г ~ 2328 (антилогарифм).

Видим, что прием II оказался более рациональным, сле­ довательно, целесообразно построить таблицу логарифмов круговых функций, что осуществляется весьма просто:

1)Надо предварительно построить таблицу круговых функций, что выполнено в § 30.

2)Надо построить таблицу логарифмов чисел, что из­ лагается в учебном предмете элементарной алгебры1.

Пусть надо найти: 1) 1g sin 18° 18';

2) 1g cos43°6';

3) 1g tg 83°12'; поступаем следующим образом:

1 Значительные изменения произошли в тригонометрии от применения логарифмов, введенных шотландским математиком Джоном Непером (1550—1617) и опубликованных в 1614 году под названием «Описание удивительных таблиц логарифмов».

164

2)Находим: а) по табл, косинусов cos 43°6'~ 0,7302;

создавать таблицы логарифмов круговых функций четырех­ значные, то правильнее было бы брать пятизначные таб­ лицы круговых функций и логарифмов чисел.

Чтобы не совершать при вычислениях указанных проме­ жуточных операций, составили таблицу, содержащую лога­ рифмы значений круговых функций для углов от 0 до 90°.

В книге. Брадиса «Математические таблицы» такая таблица дана с четырьмя значащими цифрами с шагом в 6' и готовыми поправками на 1', 2' и 3'. Правила пользо­ вания этой таблицей такие же, как и для таблиц натураль­ ных значений круговых функций.

Построим графики логарифмов круговых функций.

(Зл; 4л) и т. д. синус имеет отрицательные значения, а по­ тому логарифмов его (действительных) не существует.

Заштрихуем полосы, где нет графика 1g sin х (рис. 86,6). В оставшихся (незаштрихованных) интервалах (0; л); (2л; Зл) и т. д. sin х принимает положительные значения, не большие 1, поэтому 1g sin х < 0 и, следовательно, гра­

фик 1g sin х не будет подниматься выше оси абсцисс.

При изменении аргумента х от 0 до у sin х возрастает

от 0 до 1, поэтому 1g sin х также возрастает, проходя отри­ цательные значения от — оо до 0, и, следовательно, график lg sin х в этом промежутке поднимается из —оо до оси Ох, как показано на рисунке 86,6.

165

a 1g sin х убывает от 0 до — оо, поэтому график 1g sin х в этом промежутке опускается от оси абсцисс вниз, уходя снова в — оо.

В силу периодичности синуса его изменение в других интервалах будет протекать в той же закономерности, поэтому будет повторяться изменение 1g sin х и его график. Таким образом, полный график функции у = 1g sin х со­ стоит из бесконечного множества ветвей, разделенных меж­ ду собой «заштрихованными» полосами.

II. Построение графика функции у = 1g cos х осущест­ вляется аналогичным путем (см. рис. 87, а, б).

166

III. Построение графика функции у = 1g tg х.

Сначала построим график t/i = tg х (рис. 88,а).

а поэтому заштрихуем эти полосы (рис. 88,.6).

Пока аргумент х изменяется от 0 до у,тангенс возраста­

ет от 0 до 1, поэтому 1g tg х будет возрастать от — оо до О, а кривая у = lg tg х будет

подниматься из — оо до оси абсцисс (см. рис. 88, б).

Далее х изменяется от у

до у, тангенс возрастает от 1

до оо, a lg tg х также возра­ стает, проходя все положи­ тельные значения от 0 до оо, поэтому кривая у = lg tg х поднимается выше оси абсцисс

И уХОДИТ В оо.

Понятно, что в силу пе­ риодичности тангенса такая же ветвь графика у = lg tg х будет в каждой незаштрихованной полосе.

объясняется наблюдаемое (в таблицах Брадиса) разъеди­ нение строк в начале и в конце таблицы логарифмов тан­ генса, а для углов, меньших 9° и больших 81°, пришлось даже составлять особые таблицы с меньшим шагом.

IV. Построение графика функции у = lg ctg х реко­ мендуется провести читателю самостоятельно.

В заключение рассмотрим некоторые функции, связан­ ные с круговыми, а именно:

1G7

Закон изменений этих функций хорошо виден на их графиках (рис. 89—92).

1) График функции у = sin |х| (рис. 89) симметричен относительно оси ординат, так как эта функция четная. Правая часть графика (справа от оси Оу) совпадает с обык­ новенной синусоидой, так как при х > 0 имеем: |х| = х

и sin |х| = sin х. Левая часть графика (слева от оси Оу) получается зеркальным отражением правой части относи­ тельно оси Оу.

2) График функции у = 1g sin |х| (рис. 90) построен по тому же принципу, что и предыдущий; он симметричен отно­ сительно оси ординат, «правая» его часть совпадает с графи-

Рис. 90.

ком функции у = 1g sin|x|, а «левая» получается зеркаль­

168