Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

14.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Решение. Положение точки М нам известно, следовательно, известны и перпендикуляры МК и ML, опу щенные из этой точки на стороны угла; обозначим их длины соответственно через а и Ь. Положение искомой прямой Д1В1 вполне определяется углом, который она образует с одной из сторон данного угла, например со стороной ОВ; обозначим этот угол через х, тогда будем иметь:

MBi = -Д-,		МАг		= -.--П5До а г	, и = • / Г		V
1	31п х		1	sm [180 —(+<)] sm (%4-а)
следовательно, МА-.-МВ,				— ——.•		.
		1	1	sm (х + a) sin х
Теперь	ясно,	что	произведение		(МАг -MB^		будет

иметь наименьшее значение тогда, когда стоящее в знаме нателе выражение sin(x + a) sin х будет иметь наибольшее значение.

Но по формуле (39,в) имеем:

sin(x

a) sin х = -у-[cos а — cos (2 х -|- а) ],

аполученная разность будет наибольшей при cos (2 х Ч-а) =

=— 1 и, следовательно, при 2х ф-а = 180°; ■ отсюда

находим	х = 90°-----
Итак,	прямую AtBi следует провести так, чтобы
^AjBiO	был	равен 90°----
	2	. Преобразование сумм в произведения
При вычислениях с помощью таблиц логарифмов бы
вает полезно		преобразование суммы к виду, удобному

для логарифмирования. Для получения формул, облегчаю щих такие преобразования, используем тождества (а, б, в, г) и обозначения:

а + == х, а — £ = у. (*)

Складывая и вычитая почленно равенства (*), находим

2а = х 4- у	и	2(3 = х — у,
откуда a	и	р = -х	(**)

149

Используя обозначения (*) и равенства (**), тождества (а, б, в, г) можно записать в следующем виде:


sin х + sin у = 2sm—cos —g-2;		(40)
sin х — sin у ^2 cos	sin —(4I)
cos x + cos у = 2 cos—cos —g-2;		(42)

cos x— cosy s—2 sin—sin —p^2 sin—p2 sin(^-y—J

(43)

Словесно эти тождества читают так:

Сумма синусов любых аргументов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих аргументов.

Разность синусов любых аргументов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на синус полуразности этих аргументов.

Сумма косинусов любых аргументов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих аргументов.

Разность косинусов любых аргументов равна минус удвоен ному произведению синуса полусуммы на синус полураз ности этих аргументов.

Преобразуем теперь к виду, удобному для логарифми рования, сумму и разность тангенсов:

tg* + tgy =	sin/	siny	sinx cosy -h cosx siny
	cosx	cosy		COSA' cosy
Но числитель правой части равен sin (.г 4- у), поэтому
°	tgx + tgy =			(44)
		COS/	C0Sy
Аналогичным путем получаем:
tgx — tgy ==■ sin(*				(45)
	°	cos/ cosy		'
Выведенные формулы позволяют объяснитьполученные
намиграфическим	путем	результаты		сложения двухфаз
ных и трехфазных токов (см. §			24, стр. 127' Сделаем это.

a) z’i = sjn2ir£; z? = sin(2ir£ -ф -р;

150

i = ii + i2 sin2?tZ 4~ sin(2it^ 4- =
2r.t +(2iti + —)	2~t — (int + y'j
=-=2 sin-—-A2------ —'	cos --------------------- - =

= 2 sin(2it£ 4- -j-)cos ■-= V~2 sin(2it£ -4- y).

[по форм. (40)]

Этот результат показывает, что кривая i, полученная нами раньше сложением графиков zT и г2 (рис. 72), является деформированной синусоидой, и что амплитуда суммарного

тока	Д = CD = \|/2 , его период Т — = 1 и фаза сме-
	Q 1
щения ?0 = -^- = 8-;
б)	Д — я1п2~Д Д = sin(2-rcf —	Z3=sin(2«f---

i = д 4- д 4. i3 — sin2rcZ 4- sin ^2kZ — y-j 4- sin(2it£ —

4n \

Применив к сумме первого и последнего слагаемых фор

мулу (40),		получим:
.		/	4яЛ	/	4it\		2
.	2^4-(2^--з)			2^-2^--з)			2
I	=2 sin------ Ц--------- cos			--------Ц--------- 4-s			(2zr—-п-) =
		2		2			о
	— 2 sin(2rcZ — ^)cos^ 4- sin(2itZ — v) =
		\0/0		\	о/
		= sin( 2~Z—		• ^2 cos-^- 4- 1]-
Ho					1	следовательно,
Ho					у,	следовательно,
	2k	1 = 0,	а потому i — 0.
2cos v 4-		1 = 0,	а потому i — 0.
	О

Таким образом, мы пришли к тем же результатам, ко торые были получены в начале главы геометрическим сло жением графиков функций ilt iz, и 1я (рис. 68).

151

При решении некоторых задач и, в частности, при ис следовании гармонических процессов приходится иметь

дело	с	преобразованием в				произведение		суммы		вида:
a sina		b cosa.		Это	преобразование производится введе
нием	двух		вспомогательных				величин ср и	г	так,	чтобы
выполнялись равенства:
				а — г coscp		и	b = г sincp.			(*)
Действительно,				если	нам удастся подобрать				такие	числа
ср и г,		то, подставив полученные выражения а и b в данную
сумму,		будем иметь:
	a sina		4- b cosa		= r(cos<p sina 4- sine?			cosa) =
				= r sin (a -J- cp).						(**)
Для определения чисел ср и г возведем обе части равенств
(*) в квадрат, а				затем почленно их сложим,				получим:
			а2 + b2		— r2(cos2a 4- sin2a),
т. е.					а2 4- Ь2 = г2,
откуда				г = j/a2		4- b2 .

Зная г, найдем из равенств (*)

a	a b	b
r	V a^+b^	т О /а2+&2

а следовательно, и аргумент ср.

Пример 1. Приведем указанным способом к виду, удоб

ному для логарифмирования,	выражение s = 3sina —
—]/7 cosa:
r =/з2 4- (-1W = /9Т7=4;
coscp = -\|- = 0,7500,	sincp = — ¥1.

Пользуясь таблицей и учитывая знак синуса, находим, что ср « —41° 24', следовательно, по формуле (**)

$ = 3sina — ^7 cosa = 4 sin (a 4- ср) ~ 4 sin (a — 4 Г24').

Пример 2. Некоторая материальная точка под действием силы/4 может совершать в данном направлении (например;

вдоль оси Оу) гармоническое колебание yi — 2 sin(av/ 4- -^-);

152

под действием Другой силы Fa она может совершать вдоль той же оси колебание у2 = 3 sin л/. Какое движение будет совершать эта точка в 'результате одновременного действия на нее обеих сил?

Решение. По законам механики точка будет со вершать движение, определяющееся так:

у = У1 + у2 = 2sin^ 4- ^+3sinu£ = 2sin-r^-cosy 4-

+2cosit£-sin4- 4- Ssimr^	2 cos-4 4- 3	/	sinir£ 4-
и	О	/

+ (2\ sin-?of-) cost/ = 4 sinitZ 4-/3 coszt

Преобразуем эту сумму введением вспомогательного аргумента ?:

г = ]/Л42 4- (/3 )2= /19 > следовательно, cos? = —

/3~

И SIH? = г------
т	/19
По таблице находим:-^=^-		0,9176, т. е. cos? =
= 0,9176,	откуда ? « 23^_22'	«	0,4078 радиан.
Итак,	t/= 4 sinrc/ 4-/з cosrc£ я»		/19 sin(u/4*0,4078),

т. е. точка будет совершать гармоническое движение с

амплитудой/19 , начальной		фазой ? ~ 0,4078 и с преж
ней частотой.
Упражнения.
1. Привести	к виду, удобному		для логарифмирования,		выра
жение:
sin Л+sin B+sin С,		если 4 + В4-С= 180°.
			• А-\~В	А—В	.....
Решение, sin Д+sin В=2 sin ——cos —2 ’					™
А+В	(180°—С) .	/	С\	С	[ 1Э]
но sin —g——sin	1----- g----- =sm /О		— у) =cos*2 ,		[ 1Э]
следовательно, sin Л-psin В=2 cos		С	А—В
следовательно, sin Л-psin В=2 cos			cos ——",
		С	С

по формуле (33) имеем: sin C=2sin ту cos

10 И. К. Андронов и А. К. Окунев

153

Таким образом,				С	С
sin Л-ф-sin B+sin C=2cos		С	А—В	С	С
sin Л-ф-sin B+sin C=2cos		cos —у +2sin у cos			—
	C {	A—В		C\
=2 cos у I cos		—2—+ siny;-
C	180°—(A+B)		i	Л+В \	A+B
Ho sin у= sin---------g-------- = sin			90°— —%— I = cos—%— >
А—В	С	A—В		A+B	A В

поэтому cos —2—+ sin y= cos—у -f- cos—%—= 2 c°sy cos y;

подставив этот результат в предыдущее соотношение, получим:

АВС sin Л-f-sin B+sin С =4 cos у cos у cos у.

2. При каком соотношении между аргументами а, р и 7 спра ведливо равенство:

tg “+ tg Р+ tg 7= tga tg? tgy?

Решение. Перепишем равенство так:

tg a+tg p+tg 7—tg a tg p tg 7=0;

объединим два последних слагаемых в одну группу и вынесем

за

скобку общий множитель

tg 7,

получим:

(tg a-f-tg P)-|-tg 7

(1—tg a tg P)= 0,

но

sin (a+P)

sin 7

tg a+tg 8==----------- 5- [44]

tg 7=------ ; 1—tg a tg P=

6 '

sin a

cos p

cos

° 1

cos a cos p — sin a sin p

cos (a+P)

“

cos a cos p

“cos a cos P'

Подставив эти выражения в предыдущее равенство и

выполнив

сложение,

получим:

sin (a+P) cos 7+cos (a+P)sin 7

cos a cos p cos 7

sin(a+p+7)

что

возможно

только

при

условии:

или ------------s———-=0,

cos a cos р

cos

•'

sin (a+p+7)=0

Последнее

же

равенство

справедливо

при

а+р-|-7=л/’,

где

k — любое

целое

число.

протекают

электротоки:

двух проводниках

/1=40 sin 314/ и

/а=30 sin

л \

два

1314/—-gj. Если эти

проводника соединить в один, то по закону Кирхгофа в объединен ном проводнике будет ток I=Ii+l2. Найти функцию, выражающую этот суммарный ток.

154

Решение.		Обозначим ради краткости 314/ через			г, тогда
		тс	Г	тс	тс 1
I=40 sin,z-}-30 sin (z — —)=40 sin z-\-30 pin z cos				g- — cos z sin -yj
= (40-f-15jA 3 ) sin z — 15 cos z.
Далее	поступаем	так же,	как в первом упражнении, а		именно:
		г=У (40+15-/~3")2+ 152-=66,
40+15/У		п _	— 15	следовательно,
cos <?=------	6^--------	=0,975,	sin <р=—gQ = —0,25,	следовательно,

<р= — Г4°30'; в радианах —0,253.

/ - rsin (z i-'v) ~ 66 sin (314/—0,253).

4. Преобразовать произведения круговых функций в суммы.

a) cos-г- cos -5-; '58

б) sin (х+1) sin х.

5. Кратчайшим путем с помощью натуральных таблиц круго вых функций найти произведения:

а) 2 sin 35°-cos 50°;

б) sin 12°-cos 8°-cos 10°.

Указание. Предварительно представить каждое произ ведение в виде суммы.

6.Показать, что

sin 87°—sin 59°— (sin 93°—sin 61 °)=sin 1°.

7. Преобразовать к виду, удобному для логарифмирования, следующие выражения:

	а)	V 1+cos а—У1—cos а		(0<а< 2тс);
	б)	35,4 sin а—28,6 cos а.
8	Проверить		равенства, не	пользуясь таблицами:
	a)	tg 20°+4sin 20°=/ 3 ;		3
	б)			3
	б)	sin 20°-sin 40°-sin 60°-sin 80°=jg;
	в)				8
	в)	tg 30°+tg 40°+tg 50°+tg 60°=-=cos 20°.
9.	Доказать тождества:			И	о
9.	Доказать тождества:				■
	a)	_______	_______	2	■
	a)	/1+sin z —/1—sin z s2 sin-g-			(0<z <y);
					/ тс h\	/n n

6)sin a+sin (a+ft)+sin (a+2ft) = 4sin (a+ft)cosl-g+-yj cos \g—2,

sin a+sin (a+/z)+sin (а+2Л) _ B) cos a+cos (a+/z)+cos (a+2/i)~

r) tg 3x—tg 2x—tg xstg Зх-tg 2x-tg x;

10*

155

/2те \ /2те \ 3 д) cos3x+cos3 I-у+х 1 -|-cos3 (у — х 1=^;

а+Ь 64-е c-f-a

е) cos a+cos &-|-cos c-pcos (а+Ь-|-с) s4cos—cos —cos —

10.Показать, что выражения

a)cos2 x4-cos2 (x—a)—2 cos x cos a cos (x—а) и

6)sin2 (x+a)H-sin2 (x+p)—2 cos (a—3) sin (x+a) sin (x+3)

не зависят от x.

11.Показать справедливость следующих равенств при 44-84"

а)	tg Л+tg B+tg C=tg Л-tg B-tg C:
6)	AB AC	В C
	tgy tg y+tgy tg у+tgy tgy = l;
в)	cosM+cos 2B-Fcos2	C+2 cos A cos В cos C=l.

12. Найти значения x в промежутке [0; те ], при которых ниже следующие функции имеют наибольшее значение, а также найти такие значения функций:

a)/(x)=sin x+cos х;

б)	g(x)=3 sin х cos х;
в)	h (х)= sin х sin^ х +

13.Доказать справедливость соотношений:

a)[sin x+cos х|< /"г

/те	\ j те	\ I	1
б) \|sinz sin ly—2jsin^y -j-zl			<"4".

14.Показать, что если Л, В и С — углы треугольника, причем

угол Л	тупой, то
	tg Л-tg В<1.
15.	Показать, что если Л, В и С — углы треугольника, то

выполняется неравенство:

3 1 < cos Л + cos В + cos C<-g*.

ГЛАВА VII

Таблицы круговых функций и их логарифмов с соответствующей точностью

Начиная с подготовительного курса мы стали пользо ваться готовыми таблицами круговых функций, но не объясняли, каким путем были составлены эти таблицы.

Вычисление значений круговых функций с любой сте пенью точности основано на теореме сложения и ее след ствиях, а также на знании основных тригонометрических неравенств \ к которым и перейдем в следующем параграфе.

§ 29. Основные тригонометрические неравенства

Возьмем две функции: у = (х ф- I)21 и у = х2 ф- 2х. Нетрудно видеть, что при любом значении аргумента х

разность (х ф- I)2 — (х2 ф-2х) = 1, следовательно,

(х ф-1)2 > х2 ф- 2х.

(*)

Это обстоятельство весьма наглядно передается на графи ках данных функций (рис. 80).

Итак, если две функции у = /(х) и у = ср(х) при одина ковых значениях аргумента х имеют неравные значения, то

возникает соотношение	вида
/(х) > ср(х)	или /(х) < <р(х),
называемое неравенством.		Значения	аргумента
х, при которых это неравенство		выполняется,	называют

1 Существует и другой более простой прием вычисления зна чений круговых функций, найденный в XVII веке и ныне рассмат риваемый в курсе математического анализа, однако таблицы кру говых функций составлены значительно ранее элементарным мето дом, аналогичным рассматриваемому в этой главе.

157

его решением. Так, в предыдущем примере неравенство

(*) выполняется при любом действительном значении х, следовательно, его решением будет множество всех действительных чисел, т. е. ин

тервал (—оо; 4~°°)- Неравенству х3 > |х|

удовлетворяют значения х, большие единицы, что лег ко усматривается на гра фиках функций у — х3 и у = |х| (рис. 81), следова тельно, его решением будет множество чисел, образую щих интервал (1; + °°).

Определив понятие о неравенстве двух функций, перейдем к неравенствам между круговыми функци ями.

у=/х/

Рис. 81.

Теорема 1.	Если 0 <х <у,
То	sin х < х < tg х.	(а)
Доказательство. Возьмем на числовой окру
жности дугу	AM = х радиан, проведем	хорду AM и

158

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ