книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

2. Показать, что а+6=90°, если sin а= у и sin b=~^, причем

а и & — острые углы.

3.Доказать тождество:

sin (а—b) sin c+sin (&—с) sin a+sin (с—a) sin b = 0.

4. Показать, что sin (a+3) <sin a+sin j3, если a и ° — числа

л

интервала (0, ту).

5.При каком условии выполняется неравенство:

cos a cos 3> sin a sin 3?

6.Доказать справедливость неравенства:

|sin 3x cos 5x+cos 3x sin 5лг|< 1.

Рис. 75.

§ 26. Тангенс и котангенс от алгебраической суммы двух аргументов и соответствующие тригонометрические тождества

Используя тождества (9) и теорему сложения аргу­ ментов для синуса и косинуса, получаем:

139

<32' а>

Эти формулы встречаются впервые в работах петербургского академика Якова Германа (1678—1733).

Для котангенса суммы и разности аргументов получаем следующие формулы:

3.Доказать тождества:

tg (х+у)—tg х—tg у= tg(z+g) ■ tg x ■ tg у.

1 1

4. Тангенсы трех острых углов соответственно равны: -у, -g-

1

и-g. Доказать, что первый угол равен сумме двух других.

5. Угол в 45° разделить на две части так, чтобы тангенс одной из них был вдвое больше тангенса другой.

§27. Следствия из тождеств круговых функций от алгебраической суммы двух аргументов

1.Круговые функции суммы нескольких аргументов

Используя теоремы сложения для двух аргументов, легко получить синус, косинус и тангенс суммы несколь­ ких аргументов. Пусть, например, а, [3 и у — три дей­ ствительных числа, тогда

sin(a+p 4- y) = sin[(a 4- ) 4- у] = sin(a 4- P)cosy 4- 4-cos(a 4- p)sin у;

140

соэ(а-ф(3 -ф T)^cos[(a4-p)+T]==cos(a 4-$)cos 7 —

—sin(a-|-P)sin 7;

tg(«+Ht) - ts[(«+f)+il -

Заменив sin(a+p), cos(a+P) и tg(a+(3) полученными выше выражениями, находим:

sin(a-+-[3-f~7) = sin a cos cos 7 + sin p cos a cos 7 -ф 4~sin 7 cos a cos p—sin a sin p sin 7;

cos(a+p+7) = cos a cos p cos 7 — cos a sin p sin 7 —

—cos p sin a sin 7—cos 7 sin a sin p;

= tg^+tgP+tg 7-tgatg3tg7 gi. T|T|) 1—tgatgP—tgatg-f—tgptg-( '

Эти формулы впервые дает в 1722 году швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667—1748), являвшийся почетным членом Петербургской Академии наук.

Аналогичным путем можно перейти от синуса, косинуса и тан­ генса суммы трех аргументов к круговым функциям четырех и более аргументов.

2. Круговые функции кратного аргумента

Положив в формулах (30), (31), (32) р=а, получаем синус, косинус и тангенс удвоенного аргумента:

тождеств (33) и (34).

Используя эти соотношения и теоремы сложения, легко получить круговые функции утроенного аргумента, учет­ веренного аргумента и т. д.

141

cos 4a = cos2 (2a) s cos'2 2a — sin2 2a s (cos2a — sin2a)2 —

— 4 sin2a cos2a== cos4a — 6 cos2 a sin2a-|- sin4a.

Круговые функции от кратного аргумента были выведены У Франсуа Виета, начало же положено еще Птолемеем.

3. Круговые функции от «половинного» аргумента

При решении различных задач, а также при составлении таблиц круговых функций применяются формулы, выража­

ющие круговые функции «половинного» аргумента ~ через

круговые функции аргумента а. Чтобы найти такие форму­

лы, заменим в тождествах (33) и (34) аргумент а на у и

переставив правые и левые части этих тождеств, получим:

142

На рисунках 77 и 78 дано графическое толкование тож-

Наконец, разделив почленно (37,а) на (36,а), получаем: ■

<38>

Дтя tg-^-можно получить и другие выражения, более

удобные тем, что в них отсутствует радикал и есть полная

143

Теперь разделим (37) на (*), получим:

Знак перед радикалами в формулах (36, а), (37, а) и (38) берется такой, какой имеет данная функция в соответствую­ щей четверти числовой окружности, т. е. там, где изображен

аргумент у. Так, например, если известно, что число у

изображается на числовой окружности в третьей четверти,

144

то радикалы в формулах (36 а) и (37 а) следует взять со знаком минус, а в формуле (38) — со знаком плюс, так как в этой четверти синус и косинус принимают отрицательные значения, а тангенс — положительные значения.

Если же нам дано только значение косинуса аргумента а, но об аргументе а ничего неизвестно, то в формулах сле­ дует сохранять оба знака, так как каждому значению cos а соответствует два значения любой круговой функции от

аргумента у, отличающиеся между собой знаком. Проверим

это, например, .для sin—.

Пусть cos а — с. Данному значению косинуса соответ­ ствует бесконечное множество значений аргумента а, что

ветствует два противоположных по знаку значения функции sin у; эти значения и дает формула (37,а).

Нахождение круговых функций половинного аргумента имело огромное значение при составлении таблиц хорд и таблиц синусов. Вот почему уже в работе Птолемея имеются зародыши круговых функций от половинных аргументов, хотя и в другой форме. Ин­ дийский математик Вараха-Мира (550 г. н. э.) дает формулу для си­ нуса половины угла, близкую к нашей формуле.

4. О возможности составления таблиц круговых функций

Теоремы сложения и их следствия, рассмотренные нами в данной главе, дают возможность составления таблиц круговых функций вычислительным методом.

В самом деле, зная, что cos 30° = -у- = 0,8660 ...,

мы можем найти по формулам (36,а), (37,а):

cos 15" = + 7 " «/‘ + °;8” «0,9659;

sin 15’= /1-~7.-3.^.«'[/1 т0*660 «0,2588,

что было ранее найдено по другим формулам.

Применяя далее эти формулы, мы найдем косинус и

34) и формулами суммы аргументов (30; 31), мы можем найти значения круговых функций всех углов, кратных, например, 0°56'15" и получить тем самым таблицу с ша­ гом в 0°56'15".

Разумеется, значения круговых функций можно вычис­ лять с. любой степенью точности.

Мы не будем здесь более подробно рассматривать тех­ нику составления таблицы, так как дальше этому вопросу посвящается особая глава.

146

Упражнения.

1.В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине

7

равен —определить синус и косинус угла при основании.

2.Проверить равенства:

a)ctg 15°+tg 15°=4;

значение.

У Казани е. Преобразовать функцию к более простому виду. 5. Доказать, что sin 2г <2 sin г, если 0<г<т.

Г.

6.Доказать, что tg 2г> 2 tg г, если 0 <г <у.

§28. Преобразование произведений круговых функций

всумму и обратное преобразование суммы круговых

функций в произведение

1. Преобразование произведения в сумму

Почленным сложением и вычитанием тождеств:

sin(a р) =■ sin a cos р 4- cos а sin р;

sin(a — р) = sin a cos р — cos a sin р.

Получаем:

Таким же путем из тождеств:

cos (а 4- Р) = cos a cos р — sin a sin Р; cos (а — р) = cos a cos р 4" sin a sin р.

Находим:

Прием 2: х = sin a cos р = sin 16°30'- cos 13с30' =

»0,2840 • 0,9724 ~ 0,2761.

Понятно, что первый прием значительно проще второго.

=cos^+3xj cos^—Зх^принимает наименьшее значение.

Решение. По формуле (39,6) имеем:

Ур4-3х 1 cos+j—3x1= yl cosyj-+cos+g+6xl .

148