книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

больше угла преломления на а°, то отыскание искомого угла падения х сводится к решению уравнения:

sin х

sin (х—а); = п>

которое невозможно разрешить без знания так называе­ мой теоремы сложения, выражающей новые, неизвестные еще нам свойства круговых функций.

3. Если бы удалось найти аналитическое выражение для sin(a ± р) через круговые функции слагаемых а и р, то стало бы возможно составление таблицы круговых функ-

тЛ2"" 1

ций. В самом деле, зная что sin 45° = фу— и sin 30°=у,

нашли бы sin(45° ф 30°) = sin 75° и также sin(45° — 30°) = = sin 15°; также нашли бы sin 22°30', выражая sin 45° =

= sin (22°30' ф 22°30') через sin 22°30', а далее

sin(22°30' — 15°) = sin 7°30' через sin 22°30' и sin 15°.

Частные случаи синуса суммы двух аргументов рассматривались уже в главе о приведении круговых функций к простейшему аргу-

чаем sin (аф g~)=cos а; при^пуя имеем sin (аф^-я)= —cos a и т. д.

Все это приводит к необходимости изучения выражения sin (а ± р), где а и р любые числа, к чему и перейдем в следующем параграфе.

§ 25. Синус и косинус от алгебраической суммы двух аргументов и соответствующие тригонометрические

тождества

Как найти, чему равен sin (а ф Р) или cos(a ф р), если известны, например, sin а и sinp или cos а и cosp? Нет ли такой формулы, которая выражает синус или косинус суммы любых двух чисел через круговые функции этих чисел?

— sin(30° ф 60°) — sin 90° = 1, а sin а ф sin р = sin 30° ф

129

дем эту зависимость сначала для случая, когда аир — дей­

ствительные числа промежутка (0;

Рис. 73.

Для этого отложим на числовой окружности дугу АС = =а радиан и из точки С опустим перпендикуляр CD на ось Ох. По определению синуса и косинуса будем иметь:

CD — sin а и OD = cos a.

Затем проведем новые оси координат х'О у' так, чтобы положительный луч оси абсцисс Ох' прошел через точку С. Можно сказать, что новые оси получаются поворотом преж­ них осей вокруг точки О на угол а.

Отложим на окружности от точки С дугу СМ = ра­ диан и проведем из точки М перпендикуляры: MN на Ох' и МР на Ох. Относительно осей координат х'Оу' точка М выделит на числовой окружности число р, так как дуга СМ = = Р радиан, поэтому ордината этой точки NM = sin р, абсцис­ са ON == cos ’р.'

130’

Относительно прежних осей координат хОу точка М

откуда

EN =? sin a cos p; OE = cos a cos p.

Далее, треугольники FMN и ODC подобны, так как их стороны взаимно перпендикулярны, поэтому:

откуда

FM = cos a sin p; FN — sin a sin p.

Заменяя в равенствах (*) отрезки их выражениями, по­ лучаем искомые формулы:

в предположении, что

0 <а<~

0 < Р

и, следовательно, О .< a 4-р < it, причем на рисунке 73,а

передан:, случай,,: когда' 0 < а 4~-р< пр а ‘-на. рисунке

131

(30 и 31) для всяких действительных чисел аир?

Ответ надо искать исследованием, которое мы проведем

внесколько шагов:

1.Непосредственной подстановкой убеждаемся в спра­

ведливости формул (30 и 31) в тех случаях, когда хотя бы

одно из чисел аир равно 0, у, тс или у.

Так, например, если <х= -%, то левая часть формулы

(30) дает:

sin(a + Р) = sin (у +Pj = - cos р;

Зтс правая часть дает: sin a cos р ф- cos a sin p — sinycos Рф-

Также левая часть формулы (31) при a = у дает:

cos(a 4- р) = cos(у 4- Р) = sin Р;

правая часть дает: cos a cos р — sin a sin p = cosycos p —

— sin у sin p = sin p, следовательно, и эта формула верна.

Аналогично проверяются формулы для 0, у и к.

2. Теперь покажем, что формулы (30 и 31) остаются

132

верными, если в них одно из чисел аир увеличить на у-

Но в предыдущем шаге было доказано, что эти формулы не нарушаются, если в них прибавлять к одному из аргу­

133

sin(a ф- Pi) = sin a cos pt ф- cos a sin pi; cos(a -j- Pi) = cos a cos Pi — sin a sin Pi.

Прибавим у последовательно m раз к аргументу Pi,

оставляя без изменения а, получим:

Поставим в эти формулы значения a0 и р0 из равенств (*),

т. е. а0 = а — 2~k и Ро = р — 2z^j,

134

получим:

sin [(а + р) — 2л(£ -{- ki) ] = sin(a — 2itk) cos (3 — 2r.k1)-\- + cos(a — 2kZ>) sin (P — 2k&i);

cos [(a + p) — 2т.(k + ki) ] = cos(a — 2*k) cos(P—2k&i) —

— sin (a — 2к&) sin(p—2tc^j).

Откуда на основе периодичности круговых функций имеем:

sin (a -f- р) = sin a cos p -|- cos a sin p; cos (a -f- P) = cos a cos p — sin a sin p.

Итак, теорема сложения для синуса и косинуса доказана нами полностью для любых действительных значений ар­ гументов а и р.

Теорема сложения для синуса была установлена впервые в Гре­ ции в форме «Теоремы Птолемея» (II в. н. э., Александрия). В виде, близком к современному, эта теорема появилась в работах фран­ цузского математика Франсуа Виета (1540—1603), но без необхо­ димых обобщений. Систематизирует теорию сложения круговых функций петербургский академик Фридрих Майер (Петербург, 1697—1729), сделавший по этому поводу специальное сообщение на одном из заседаний Академии наук (1727). .Однако и в это время еще отсутствовало необходимое обобщение теоремы сложения. Только в критический XIX век, когда естествознание (физика, астрономия, механика) потребовало большей строгости от мате­ матики, был заполнен этот пробел французским математиком Л. Карно (1753—1823), который доказал общность данной теоремы; этому обобщению придавали большое значение французские мате­ матики А. Лежандр (1752—1833) и О. Коши (1789—1857).

Покажем применение теоремы сложения на решении задач, поставленных нами в предыдущем параграфе.

1.Задача на сложение двухфазных и трехфазных токов будет рассмотрена далее на основе некоторых следствий из теоремы сложения (см. стр. 150).

2.Задача о нахождении угла падения светового луча на границу двух сред была сведена к уравнению

sin х

- Г — п- sin(x—a)

По теореме сложения (30) имеем:

sin (х — а) = sin [х -|- ( — а) 1 = sin х cos( — a) -f- 4- cos х sin(—а) = cos a sin х — sin a cos х

135

следовательно, данное уравнение перепишется так:

sin х = «(cos a sin х — sin а cos х)

или

sin х (1 — п cos а) = — п sin а cos х,

Если, например, положить а = 10° и взять коэффициент преломления воды п = 1,33, то будем иметь:

раграфе, решается непосредственно по формулам (30) и (31).

-I-cos 45°sin(—30°) = -£?- . 1^-

—]/2")~ 0,2588.

4. Приведем еще один пример на применение формул 30 и 31 Пусть даны sin а=0,6 и sin р=0,8, причем известно, что аир

числа промежутка “); найти sin (a-j- ) и cos (я+Р).

Решение.

cos я=—1—0,36==—0,8;

cos |3=—Y1—0,64 =—0,6;

sin (я+3)=О,6 • (—0,6)+(—0,8) -0,8= —0,36—0,64 =—1;

cos (я+3)=(—0,8)-(—0,6)—0,6-0,8=0. Такой случай возмо-

Зл жен при a+p=2-.

136

Формулы для нахождения синуса и косинуса разности аргумента

В предыдущих задачах нам пришлось уже использо­ вать теорему сложения для отыскания синуса разности двух аргументов. В дальнейшем нам придется весьма часто на­ ходить синус и косинус разности двух аргументов, поэтому выведем здесь соответствующие формулы и постараемся их запомнить:

sin (а — Р) = sin [а -ф (—Р) ] = sin а cos (—• р) +

+ cos а sin (—р) == sin а cos р — cos а sin Р;

cos(a — p)=cos[a -ф (—p)];=cos а cos(—Р) — sin а sin(—р) s=

= cos а cos р + sin а sin р.

Положим, например, с = -j, будем иметь:

у = sin (х + ^-)=sm х cos— 4- cos х sin— = -Ц;—(sin x 4-

4- cos x).

График этой функции можно построить по левой части,

т. е. у = sin (х 4-^- ): это будет смещенная синусоида

осуществляется так:

137

Рис. 74.

А как же построить график функции г — sinfx -ф у), где второе слагаемое также переменное?

Это более сложное построение выполняется в простран­ ственной системе координат через сведение к графику функ­ ции z = sin (х -ф с), где с изменяется в интервале (—со, -фоо). Таким путем получится бесконечное множество кривых (смещенных синусоид), которые образуют поверх­ ность, изображенную на рисунке 75.

Упражнения.

1. Найти косинус угла в 7§°.

138