книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

однако физический смысл этого соотношения будет иметь место только при

(k — целое число),

т. е. при —+ 2nk,

На рисунке 61 построен график функции NM' — btgut

так как при указанных значениях ср луч SA4 не пересекает экрана LL'.

Выше мы рассмотрели некоторые процессы из области механики, совершающиеся, по законам гармонических колебаний. Особенно большую роль играет теория круго­ вых функций при изучении электромагнитных явлений

119

и, в частности, в электротехнике переменных токов, име­ ющих самое широкое применение как в промышленности и земледелии, так и в бытовой жизни человека. Достаточ­

Естественно встает вопрос, как изменится электродвижу­ щая сила этого тока, если проводник, не изменяя скорости, станет пересекать поле под углом <р к силовым линиям?

Пусть в 1 сек. в первом случае проводник прошел путь AAlt а во втором АА2 (рис. 62). Очевидно, на пути АА2 он пересечет столько силовых линий, сколько их пересе­ кает отрезок АВ, равный проекции ЛЛ2 на прямую ААЬ перпендикулярную силовым линиям. Следовательно, чис­ ло пересеченных за 1 сек. силовых линий во втором случае будет меньше, чем в первом, в том же отношении, в каком находится АВ к АА i; отсюда заключаем, что новая электро­ движущая сила е будет меньше прежней Е в том же отно­

ном случае имеем е = 0,Isincp.

12Q

Таким образом, с изменением угла © электродвижущая

сила возникшего в нем тока достигает своего максимума. Генераторы перемен-

ного тока устраиваются обычно так, что в них проводник совершает круговые движения в однородном магнитном поле. На рисунке 63 дана схема простейшего

не один, а несколько витков). Концы витка присоединены

кконтактным кольцам, изолированным от вала цилиндра.

Ккольцам прижимаются неподвижные щетки Щ, которые соединяются проводами с приемником энергии R. При

вращении цилиндра проводник пересекает силовые линии магнитного поля и в проводнике возникает переменный

электрический ток.

В начальном положении 1 (см. рис. 64) проводник дви­ жется вдоль магнитных линий и не пересекает их, поэтому в этот момент электродвижущая сила равна нулю. Затем

магнитного поля. После этого электродвижущая сила убы­ вает, уменьшаясь до нуля в положении 7. В положениях 8, 9, 10, 11 проводник движется под другим полюсом. В соответствии с этим меняется направление электродвижу­ щей силы, которая, как и в первую половину оборота, достигает своего наибольшего значения в положении 10 и уменьшается затем до нуля.

После одного оборота процесс повторяется.

Нетрудно найти функцию, выражающую изменение электродвижущей силы тока, возникающего в проводнике. Пусть максимальное значение электродвижущей силы рав­ но Е в. Этого значения достигает электродвижущая сила в момент, когда скорость v движущегося проводника направ­ лена перпендикулярно магнитным линиям, т. е. в по-

Рис. 64. Рис. 65.

ложениях Ви В' (рис. 65). Когда проводник находится в положении М, электродвижущая сила будет находиться в том же отношении к своей максимальной величине, в каком

Но = sin<p, где <р — величина угла АОМ (^АОМ =

= ^DCM). Следовательно, е = Esin ср.

Если угловая скорость вращения цилиндра, на котором закреплен проводник, равна ш рад/сек, а время t отсчи­

1 См. объяснение в предыдущей задаче с движением проводника.

122

тывается с момента,- когда проводник находился в положе­ нии А, то дуга AM — — wt рад/сек и, следовательно,

е = £sin<o/.

Таким образом, мы убеждаемся, что изменение электро­ движущей силы переменного тока происходит по закону гармонических колебаний.

На рисунке 66 изображен график электродвижущей силы переменного тока е = Е sin ш/ для случая, когда Е=2в и w = 100-ге рад/сек, т. е. е ~ 2 sin 100 М. Период данной

функции Т — — = — сек. есть время, в течение кото­

рого совершается один цикл изменения электродвижущей силы переменного тока. На графике это выразилось в том, что на отрезке Т = 0,02 уложилась полная волна кривой.

Высота волны Е = 2 в выражает амплитуду колебания электродвижущей силы тока, т. е. наибольшее ее значение. На протяжении первой четверти периода электродвижущая сила возрастает от 0 до 2, затем она убывает и к концу полу­ периода доходит до нуля. Во второй половине периода э. д. с. возникает снова, но противоположного направления и изменяется от 0 до —2, а затем «убывает» от —2 до 0. Поэтому половина волны, соответствующая данному про­ межутку времени, расположена ниже оси абсцисс. Дальше весь процесс изменения повторяется в том же порядке.

Число полных периодов или колебаний, совершаемых электродвижущей силой тока в 1 сек., называют в электро­

технике частотой тока. Наши электростанции дают обычно токи частотой в 50 периодов в секунду.

Если источник переменной электродвижущей силы е = Esinm/ питает некоторую электрическую цепь (напри­ мер, к источнику подключены провода осветительной сети), то в этой цепи получается также переменный ток, сила которого пропорциональна электродвижущей силе, следо­ вательно, изменяется по закону: i = /sinw/, где /—■ мак­ симальная сила тока, a i — сила тока в данный момент времени t. Электродвижущую силу и силу тока измеряют специальными приборами и выражают в особых единицах — вольтах и амперах.

Упражнения.

1. Найти период, амплитуду и начальную фазу следующих

2. Выразить аналитически закон изменения э. д. с. генератора тока , если известно, что £тах=120 в и частота=50 гц (число полных колебаний в 1 сек,).

(Ответ. е= 120 sin 100 ~t в.)

3. На цилиндре, вращающемся в магнитном поле со скоростью «рад/сек, находятся два одинаковых проводника аг и а2> распо­ ложенные так, что дуга ага1=ср радиан (рис. 67). Выразить закон изменения возникших в них токов,

124

одинаковый с ним период колебания Т=-^-. В электротехнике при­

нято говорить в таких случаях, что генератор дает двухфазный ток. Постройте график «двухфазного тока», положив /=1, ш=10,

<р=у-

4. Если на цилиндре, вращающемся в однородном магнитном силовом поле, закрепить определенным образом три одинаковых (не связанных между собой) проводника аг, а2, as так, что

= <fi и оа3а1=с?2> то в них возникнут три переменных тока:

»i=/sinwZ, i2=/sin (<о/—¥i) и i3=/sin(w/—^2), или, как го­ ворят в электротехнике, трехфазный ток. В генераторах трехфаз­ ного тока указанные проводники располагаются на цилиндре так, что tfi=120° и ^2=240°, тогда сила тока выразится формулами:

Рис. 69,

i1= / sin u>t, i2~I sin (at—-g) и is—I sin (<■>/—-g-). Построить гра­

фики этих токов на одном чертеже, положив /=1 а, ш=2л рад/сек

(рис. 68).

5. Радиус окружности вращается вокруг ее центра с постоян­ ной угловой скоростью о> рад/сек. Отрезок Л4/И1 этого радиуса проектируется на диаметр данной окружности. Найти закон, по которому изменяется величина указанной проекции

125

ГЛАВА VI

Круговые функции от алгебраической суммы аргументов

§ 24. Практическая необходимость знания тождеств, выражающих круговые функции от суммы аргументов через круговые функции от слагаемых

Впяти предшествующих главах изложено много свойств

иособенностей круговых функций и все же этих знаний

недостаточно для раскрытия некоторых закономерностей

вгармонических колебательных движениях.

Всамом деле, рассмотрим несколько примеров.

1.В предшествующей главе мы остановились на рас­ смотрении двухфазных и трехфазных переменных токов. Известно, что на практике приходится часто двухфазный или трехфазный ток направлять в один проводник, при этом

возникает, как показывает опыт, «суммированный» пере­ менный ток, мгновенная сила которого равна сумме мгно­ венных сил слагаемых токов. На рисунке 72 выполнено

Рассматривая полученную кривую, можно высказать до­ гадку, что она представляет деформированную синусоиду с амплитудой, равной отрезку CD, длиной волны,равной отрезку EF, и фазой смещения (F2). Однако строго доказать,

127

что догадка наша верна, и найти точную величину амплиту­ ды «суммарного» тока, его частоту и фазу смещения мы не сможем, не рассмотрев предварительно новых свойств круговых функций, связанных со сложением аргументов.

Еще более сложным явлением будет сложение трехфаз­ ных токов. На рисунке 68 выполнено геометрическое сло­ жение графиков, характеризующих трехфазный ток:

+ sin (2л/ — 4^)?

Опытом решение затруднительно.

Необходимо дополнить теорию учением о круговых функциях.

2. Из физики известно, что при переходе светового луча из одной среды в другую происходит его «преломление», т. е. отклонение от первоначального направления, причем

клонения. При конструировании оптических приборов при­ ходится решать задачи, подобные следующей:

«Как надо направить луч на границу двух сред, чтобы угол падения луча превышал угол преломления на данную величину?»

Если коэффициент преломления равен п, а угол падения

128