книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Ясно, что при таком преобразовании графика y==sinw^ длина его волн сохранится, а высота изменится, а именно: до преобразования она равнялась 1 (наибольшему значению функции), после преобразования она станет равной

На рисунке 54 построены графики трех функций: y=sinz, z/1=2sinz и y2=-i-sin z, имеющих один и тот же период

2к, но различные амплитуды: 1, 2 и Этими функциями

выражаются законы гармонических колебаний, совершае­ мых проекциями на ось ординат трех различных точек М, и М2 подвижного радиуса окружности, вращаю­ щегося вокруг ее центра с постоянной скоростью ш= = 1 рад/сек, причем указанные точки взяты так, что ОЛ4=1,

0М1~2и ОЛ42=у. На графиках данных функций весьма

наглядно подтверждается сделанный выше нами вывод о роли параметра 7?, т. е. амплитуды колебания.

Упражнение.

Построить на одном чертеже графики функций:

1

sin z, 3sin z, -ysin z, —sin z, —3sin z.

3. Смещение фазы

Чтобы выяснить влияние начальной фазы колебания Фона график функции 7?sin(u)^-f-<p0), положим 7?=1 и <ot=z, получим функцию y1=sin(z+cpo). Очевидно, эта функция

впроцессе своего изменения проходит те же значения, что

ифункция y=sin z, но «опережает» ее на разность фаз,

аименно: sin(z! +<ро) =sin z, если zi=z—фо или z—Zi=<?. Это обстоятельство дает возможность получить график

функции y!=sin(z+®o) параллельным смещением кривой y=sin z вдоль оси абсцисс «влево» на отрезок <р0, если ф0>0.

В самом деле, пусть N(z, у) — произвольная точка гра­ фика функции у=sin z (рис. 55). Сдвинем эту точку парал­ лельно оси Az влево на отрезок <р0. получим новую точку N'(z—фо! у), которая будет принадлежать кривой уг=

=sin(z+<f>o), так как замена z на z—фо дает:

r/!=sin(z—фо+фо)=8т z—y.

С таким преобразованием графиков мы уже встречались при построении косинусоиды, то есть графика функции

109

z/=cosz=sin(z+y). Как видим, в данном случае cPo=-^L’

поэтому косинусоида получалась параллельным смеще­ нием графика функции z/=sin z вдоль оси абсцисс «влево»

на отрезок ср0=у.

числовой окружности с постоянной скоростью ю=1 рад/сек,

причем точка М' опережает М на дугу ?о=-^-> так

как в начале движения при z=0 точка М находилась в по­ ложении А, а точка М' занимала положение А'так, что

дуга АА'=<ро=-^-. Поскольку точки М и М' движутся

равномерно с одной и той же скоростью, то дуга ММ'

при любом значении z будет равна у радиан, и, следова­ тельно, функция z/i=sin(z-|- -^) будет всегда опережать в

своем изменении функцию y—sinz на одну и ту же вели­

чину аргумента

Все сказанное наглядно иллюстрируется на графиках.

НО

периодических процессов, которые называют простыми гармоническими колебаниями; изменение параметра k у этой функции вызывает изменение амплитуды колебания (на графике — высоты волны); изменение параметра а

вызывает изменение периода колебания, равного— (на

графике—изменение длины волны); изменение параметра b вызывает «смещение колебательного процесса во времени» (на графике — смещение волны вдоль оси абсцисс).

l-sinz, Il-sin2z, III-sinIZz i-ll, 1V-1,5$in(2z+1)

Рис. 56.

График функции y=k &m(az-\-b) может быть получен из обыкновенной синусоиды y=sin z путем:

1)Сжатия (или растяжения) ее вдоль оси абсцисс в отношении а:1(при а>0).

2)Сжатия (или растяжения) в направлении оси орди­ нат в отношении kA (при £>0).

3)Переноса вдоль оси абсцисс на отрезок —\

На рисунке 56 показано, как получается график функ­

порядке указанные преобразования синусоиды i/=sin z, но если перенос синусоиды выполняется до ее «сжатия» вдоль оси абсцисс,

,b

то он производится на отрезок Ь, а не на — ( как это указано выше.

111

Функция k cos (az + b)

Нет необходимости в особых исследованиях функции y=k cos(az+&), так как она представляет собой особый случай уже изученной нами функции.

В самом деле, внесем обозначение az-\-b=z', получим y=k cos z'.

Но cos z'=sin(z'-|-y), следовательно, y=^sin(z'+^-) = = £sin(az-H>+y)=fein(az4-6')> где 6'=6+

Таким образом, функция k cos(az-|-A) = /e sin(az-J-6')> и>

следовательно, отличается от функции ^sin(«z-T^) только

указанным выше операциям:

1)Сжатию (или растяжению) вдоль оси абсцисс в от­ ношении а:1 (если а>0).

2)Сжатию (или растяжению) в направлении оси ор­ динат в отношении k : 1 (если А>0).

3)Параллельному переносу вдоль оси абсцисс на отре-

b

зок —.

а

Мы рассмотрели функции &sin(az -ф Ь) и k cos(az-(/’), представляющие обобщение ранее изученных функций sinz и cosz. Аналогичным образом можно обобщить и дру­ гие круговые функции, т. е. tgz и ctgz, и прийти к функци­ ям вида Atg(az-]-6) и ^ctg(az-pft). Хотя физический смысл

1)ее сжатия (или растяжения) вдоль оси абсцисс в отношении а : 1 (если а > 0),

2)сжатия (или растяжения) в направлении оси орди­ нат в отношении k : 1 (если £>0),

3)параллельного переноса вдоль оси абсцисс на

отрезок у.

112

те

ции sin (z-^-gj получается параллельным смещением «нормальной»

те

синусоиды вдоль оси абсцисс «влево» на отрезок -g, следовательно,

получен двумя путями: либо отражением синусоиды относительно оси абсцисс, либо параллельным смещением ее вдоль этой оси «влево» на отрезок те.

Формула tg(z±")=tgz показывает, что тангенсоида само-

совмещается при параллельном переносе ее вдоль оси абсцисс влево или вправо на отрезок те.

Упражнения.

1. Каким преобразованиям надо подвергнуть «нормальную»

1 Зте

2.Построить график функции i/=-ycos (3z—у).

3.Каким преобразованиям надо подвергнуть «нормальную»

ки следующих функций:

а) 2 tg z; ytg z; —tg z; l-|-tg z; |tg z|?

6) tg (z+ y); tg (z—-у)?

1

в) tg 2z; tg yz?

r)y=ytg(2z+y)?

5.Найти периоды функций:

sin mx; tg mx; cosy; ctgy.

§ 23. Применение обобщенных круговых функций при рассмотрении простых гармонических колебательных движений

К понятию круговых функций и их обобщениям мы пришли в связи с изучением некоторого вида движений, встречающихся в механике. Приведем еще несколько, при­ меров движений такого рода, законы которых выражаются с помощью круговых функ­

ций.

Пример 1. Маховое ко­ лесо паровой машины име­ ет в диаметре 240 см и де­ лает 60 оборотов в минуту, вращаясь вокруг оси, рас­ положенной на высоте в 150 см от плоскости пола машинного отделения.

Выразить функцией за­ кон, по которому изменя­ ется расстояние любой точ-. ки М, взятой на ободе ма­ ховика, от плоскости пола машинного отделения. По­ строить график этой функ­ ции.

Решение. Изобразим схематически в виде окруж­ ности сечение маховика плоскостью, перпендикулярной оси вращения и проходящей через точку М на его ободе (рис. 57). В плоскости сечения ось вращения маховика изобразится точкой 0 — центром окружности, а плоскость

Отсчет времени t начнем с того момента, когда точка М занимает на окружности положение А. Так как угловая

114

Скорость вращения маховика <о = 2л рад/сек, то за / сек. точка М опишет дугу AM = 2к/ радиан.

Опустим из точки М на прямую LL' перпендикуляр МР', величина которого и выражает искомую функцию.

маховик совершает полный оборот. Так как sin 2~t изме­ няется от —1 до -]-1, то наибольшее значение этой функ­ ции

Smax = 1,5 + 1,2 = 2,7 (м)

получается при sin 2я/ = 1 (I), а наименьшее

Smin = 1,5 — 1,2 = 0,3 (л) при sin 2~t = —1 (II).

шает равномерное круговое движение, делая 90 об/мин. Выразить функциями законы движения отдельных частей кривошипного механизма, изображенного схематически на рисунке 59.

PM = r sin а и OP = rcos a

или у = rsin 3-rzt и x = rcos 3kZ.

Возведем эти уравнения в квадрат и сложим почленно, получим

у2 + х2 = r2(sin2 3~t + cos23tcZ) = г2.

Ползун N по условию скользит вдоль оси Ох, поэтому его положение вполне определяется отрезком ON = OP -j-

+ PN.

Но OP = г cos a, PN = УТИМ2 —РЛ42 = У/2 —г2 sin2 a,

следовательно, ON = г cos a -f- УI2— r2 sin2 a, или

ON = r cos 3kZ У/2 — r2 sin2 3~Z.

При t = 0 имеем: a = 0, cosa = 1, sina = 0, и ползун занимает свое крайнее правое положение No, где ONo—r+l.

При t = у сек. имеем:' a = л, cos a =—1, sin a = 0, и

ползун занимает свое крайнее левое положение N':

ON' = r(—1) + ]//2 — г2 • 0 = I — г.

3) Движение шатуна MN.

Шатун MN совершает более сложное движение, однако в каждый момент времени t по выведенным выше уравне­ ниям мы умеем определять положение концов шатуна М и N,

ON =rcos^y+ 2к^У|Л/2—r2sin2(y -|- 2nk ) =УI2—г\

Пример 3.

Материальный шарик М, расположенный между источ­ ником света 5 и экраном LL’ (рис. 60), совершает равно­ мерное движение по окружности О(/?) со скоростью

J17

ш рад/сек. Выразить функцией закон движения тени М', от­ брасываемой шариком на экран, если прямая SO перпен­ дикулярна к экрану и лежит в плоскости окружности.

Решение. Внесем систему координат, приняв прямую SO за ось абсцисс, а точку О за начало координат.

Пусть расстояние источника света S от центра окруж­ ности О равно а, а от экрана равно Ь. Поскольку луч SM совершает колебательное движение в плоскости окружно­ сти, то тень М' от шарика будет совершать колебательные движения по прямой LL' (т. е. по линии пересечения плос­ кости окружности с экраном).

За t секунд шарик М опишет дугу AM = ср =wt радиан, а тень М’ отклонится от своего среднего положения N на расстояние NМ'.

Из подобия треугольников SNM' и SPM находим:

В частности, если источник света расположить в цент­ ре окружности, то SO= а = 0 и функция принимает вид:

118